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文档简介
第五章维纳滤波5.1维纳滤波问题描述5.2维纳滤波器的时域解5.3维纳预测器5.4维纳滤波器的应用2023/1/141/315.1维纳滤波问题描述……2023/1/14NorbertWiener美国数学家BS
atTuftsCollegePhDatHarvardUniversity1949年出版的书籍《Extrapolation,Interpolation,andSmoothingofStationaryTimeSeries》(平稳时间序列的外延、内插和平滑)被引用次数:41602/315.1维纳滤波问题描述……2023/1/14真实信号观察/测量数据加性噪声/干扰线性估计问题最小均方误差估计(minimummean-squareerror)估计误差维纳滤波->对真实信号的最小均方误差估计问题.3/315.1维纳滤波问题描述2023/1/14平滑滤波预测
这里我们只考虑滤波和预测问题!4/315.2维纳滤波器的时域解……2023/1/145.2.1因果的维纳滤波器设h(n)是物理可实现的,也即因果序列:h(n)=0,n<0将上式对h(m)求偏导(m=0,1,2,…),得:5/315.2维纳滤波器的时域解……2023/1/14即:用相关函数R来表达上式,则得到维纳-霍夫方程的离散形式:6/315.2维纳滤波器的时域解……2023/1/14从维纳-霍夫方程中解出的h就是最小均方误差下的最佳h:hopt(n)。求到hopt(n),这时的均方误差为最小:7/315.2维纳滤波器的时域解……2023/1/145.2.2有限脉冲响应法求解维纳-霍夫方程如何求解维纳-霍夫方程,即下式hopt(n)。有限脉冲响应指h(n)是因果序列,并且序列长度为N,则:8/315.2维纳滤波器的时域解……2023/1/14于是得到N个线性方程:转化成矩阵形式:简化形式:自相关矩阵待求单位脉冲响应互相关序列9/315.2维纳滤波器的时域解……2023/1/14只要Rxx是非奇异的,就可以求单位脉冲响应H:求到hopt(n),这时的均方误差为最小:进一步简化:10/315.2维纳滤波器的时域解……2023/1/14当有限长的N不大时,可以通过下式求解:当有限长的N较大时,可以通过下式求解:举例:若信号s(n)与噪声w(n)互不相关,即:则有:11/315.2维纳滤波器的时域解2023/1/14有限长序列维纳—霍夫方程和均方误差转化如下:【例5-1】参见教材pp.7212/315.3维纳预测器……2023/1/14上节主要用当前观测信号x(n)和过去观测数据x(n-1)、x(n-2)、x(n-3)……来估计当前信号值本节主要用当前观测信号x(n)和过去观测数据x(n-1)、x(n-2)、x(n-3)……来估计当前或将来的信号值。也是用真值和估计值的均方差最小为估计准则。13/315.3维纳预测器……2023/1/145.3.1因果的维纳滤波预测器如下图所示就是维纳预测器的模型(N>0),yd(n)是期望得到的输出,y(n)是实际的估计值。与维纳滤波器的推导一样,设h(n)是物理可实现的,即因果序列:h(n)=0,当n<0时,则有14/315.3维纳预测器……2023/1/14要使均方误差最小,则将上式对h(m)分别求偏导,并且等于0,则:即:用相关函数R来表达上式:如果是N点长序列,则有:15/315.3维纳预测器……2023/1/145.3.2一步线性预测器对于纯预测问题(没有噪声信号w(n)),有:然而预测的问题往往建立在过去的p个观测值的基础上来预测当前值,即:这就是一步线性预测公式,常用如下式子表示:16/315.3维纳预测器……2023/1/14式中,p为阶数,。预测的均方误差为:要使均方误差最小,将上式右边分别对求偏导,得p个等式:最小均方误差为:17/315.3维纳预测器……2023/1/14Yule-Walker方程Yule-Walker方程与维纳-霍夫方程比较:(1)维纳-霍夫方程要估计的量是s(n),Yule-Walker方程估计的量是x(n)本身;(2)维纳-霍夫方程要已知x(n)与s(n)的互相关函数,实际中往往是未知的,Yule-Walker方程只需x(n)的自相关函数。结论:Yule-Walker方程比维纳-霍夫方程更具有实用价值。维纳-霍夫方程18/315.3维纳预测器2023/1/14pp.81,【例5-5】19/31回顾2023/1/141、滤波器的目的?信号和干扰以及随机噪声同时输入滤波器时,在输出端能将信号的尽可能精确的还原出来。2、维纳滤波器的输入与输出的关系?20/312023/1/14回顾3、平滑(内插)、滤波、预测的概念?平滑滤波预测
21/312023/1/14回顾4、判断维纳滤波器的类型有限脉冲维纳-霍夫方程因果维纳-霍夫方程信号与噪声不相关的有限脉冲维纳-霍夫方程Yule-Walker方程22/312023/1/14回顾5、将【例5-5】中的p=3,实现一步线性预测器,并求最小均方误差。23/315.4维纳滤波器的应用……2023/1/14应用例子1:维纳滤波方法提取脑电诱发电位维纳滤波器的传递函数:两信号的相干函数:前i次观测信号的功率谱密度和前i-1次的关系修正如下:噪声修正如下:相干函数加权构造的维纳滤波器:24/315.4维纳滤波器的应用……2023/1/14应用例子2:时-频平面维纳滤波在高分辨心电图的应用对每次观测用短时傅立叶变换求时频表示(TFR):对N次观测的时频表示(TFR)求平均:样本平均为:样本平均的时频表示(TFR)为:25/315.4维纳滤波器的应用……2023/1/14得到一个基于样本平均的简单时-频平面后验维纳滤波器:分别对和修正:26/315.4维纳滤波器的应用……2023/1/14流程图如下:27/315.4维纳滤波器的应用2023/1/14结果如下:(a)原信号是两个正弦波,观测信号混有白噪声测量的单个样本样本平均TFPW滤波原始信号(b)原信号是线性调频信号,观测信号混有白噪声测量的单个样本样本平均TFPW滤波原始信号28/31本章小结2023/1/141、掌握:维纳滤波的数学模型;2、熟悉:维纳滤波器的时域解;3、了解:维纳预测器和维纳滤波的应用。29/31本章习题2023/1/141、总结和归纳维纳滤波器。30/312023/1/14下集预告第六章卡尔曼滤波31/31实验三详解……2023/1/14clearallnp=0:99;%p=sin(pi/5*np);%正弦%p=exp(-0.06*np);%指数衰减%p=sin(pi/5*np).*exp(-0.06*np);%指数衰减正弦p=ones(size(np));%方波figure;subplot(2,2,1);plot(np,p);n=0:1000;w=randn(size(n));s=zeros(size(n));A=3;%衰减系数s(100:199)=s(100:199)+A*p;s(500:599)=s(500:599)+A/3*p;s(800:899)=s(800:899)+A/3/3*p;x=s+w;figure;subplot(3,1,1);plot(n,w);title('Noise');subplot(3,1,2);plot(n,s);title('Signal');subplot(3,1,3);plot(n,x);title('SignalwithNoise');p=[p,zeros(1,length(x)-length(p))];%如果要求归一化相关系数(相干系数),两个序列要同样长Rpw=xcorr(w,p,'coeff');Rps=xcorr(s,p,'coeff');Rpx=xcorr(x,p,'coeff');n2=(n(1)-n(end)):(n(end)-n(1));figure;subplot(3,1,1);plot(n2,Rpw);title('Rpwofp(n)andw(n)');title('Rpwofp(n)andw(n)');subplot(3,1,2);plot(n2,Rps);title('Rpsofp(n)ands(n)');title('Rpsofp(n)ands(n)');subplot(3,1,3);plot(n2,Rpx);title('Rpxofp(n)andx(n)');title('Rpxofp(n)andx(n)');源程序:32/31实验三详解……2023/1/141、模板为方波信号,A=3,噪声均值为0,方差为133/31实验三详解……2023/1/142、模板为正弦信号,A=3,噪声均值为0,方差为134/31实验三详解……2023/1/143、模板为指数衰减信号,A=3,噪声均值为0,方差为135/31实验三详解……2023/1/144、模板为指数衰减正弦信号,A=3,噪声均值为0,方差为136/31实验三详解……2023/1/145、只改变模板信号的形状,A=3,噪声均值为0,方差为1方波正弦波指数衰减波指数正弦衰减波37/31实验三详解……2023/1/146、模板信号为方波,A=3,噪声均值为0,方差为0.5、1和2噪声均值为0,方差为0.5噪声均值为0,方差为1噪声均值为0,方差为238/31实验三详解……2023/1/147、模板信号为方波,A=3,噪声均值为0,方差为1,3种函数:线性互相干函数线性互相关函数线性卷积函数39/31实验三详解……2023/1/148、模板信号为正弦波,A=3,噪声均值为0,方差为1,3种函数:线性互相干函数线性互相关函数线性卷积函数40/31实验三详解……2023/1/149、模板信号为指数衰减波,A=3,噪声均值为0,方差为1,3种函数:线性互相干函数线性互相关函数线性卷积函数41/31实验三详解2023/1/1410、模板信号为指数衰减正弦波,A=3,噪声均值为0,方差为1,3种函数:线性互相干函数线性互相关函数线性卷积函数42/31实验三详解2023/1/1411、模板信号为方波,A=3,噪声均值为0,方差为1,2种循环函数:1001点循环相关函数1001点循环卷积函数Vpw=circler(p);Cpw=w*Vpw;Vps=circler(p);Cps=s*Vps;Vpx=circler(p);Cpx=x*Vpx;Vpw=circlel(p);Rpw=w*Vpw;Vps=circlel(p);Rps=s*Vps;Vpx=circlel(p);Rpx=x*Vpx;43/31实验三详解2023/1/1412、模板信号为正弦波,A=3,噪声均值为0,方差为1,2种循环函数:1001点循环相关函数1001点循环卷积函数Vpw=circler(p);Cpw=w*Vpw;Vps=circler(p);Cps=s*
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