2022-2023学年江苏省宿迁市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022-2023学年江苏省宿迁市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.微分方程y′-y=0的通解为()．

A.y=ex+C

B.y=e-x+C

C.y=Cex

D.y=Ce-x

2.

A.6xarctanx2

B.6xtanx2＋5

C.5

D.6xcos2x

3.f(x)在x=0的某邻域内一阶导数连续且则()。A.x=0不是f(x)的极值点B.x=0是f(x)的极大值点C.x=0是f(x)的极小值点D.x=0是f(x)的拐点

4.

5.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法确定敛散性

6.

7.A.A.

B.

C.

D.

8.设y=cos4x，则dy=（）。A.4sin4xdxB.-4sin4xdxC.(1/4)sin4xdxD.-(1/4)sin4xdx

9.

10.

11.

12.

A.1B.0C.-1D.-2

13.

14.

15.

16.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是A.A.椭球面B.锥面C.柱面D.平面

17.

A.

B.

C.

D.

18.

A.2e-2x+C

B.

C.-2e-2x+C

D.

19.

20.()A.A.

B.

C.

D.

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.

25.函数f(x)=在[1，2]上符合拉格朗日中值定理的ξ=________。

26.

27.

28.微分方程y''+6y'+13y=0的通解为______.

29.交换二重积分次序=______．

30.设区域D由y轴，y=x，y=1所围成，则．

31.函数y=x3-2x+1在区间[1，2]上的最小值为______．

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.已知f(0)=1，f(1)=2，f(1)=3，则∫01xf"(x)dx=________。

39.

40.

三、计算题(20题)41.

42.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

43.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

44.证明：

45.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

47.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

48.

49.

50.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

51.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

52.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

53.

54.

55.

56.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

57.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

58.求微分方程的通解．

59.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

60.

四、解答题(10题)61.

62.设有一圆形薄片x2+y2≤α2，在其上一点M(x，y)的面密度与点M到点(0，0)的距离成正比，求分布在此薄片上的物质的质量。

63.

64.设D是由曲线x=1-y2与x轴、y轴,在第一象限围成的有界区域.求:(1)D的面积S;(2)D绕x轴旋转所得旋转体的体积V.

65.

66.

67.(本题满分8分)

68.

69.(本题满分8分)

70.

五、高等数学(0题)71.求极限

六、解答题(0题)72.求微分方程y'-(1/x)y=-1的通解。

参考答案

1.C所给方程为可分离变量方程．

2.C

3.A∵分母极限为0，分子极限也为0；(否则极限不存在)用罗必达法则同理即f"(0)一1≠0；x=0不是驻点∵可导函数的极值点必是驻点∴选A。

4.B

5.A本题考察了级数的绝对收敛的知识点。

6.B

7.A

8.B

9.B

10.A解析：

11.A

12.A

本题考查的知识点为导数公式．

可知应选A．

13.C解析：

14.D

15.A解析：

16.B

17.B本题考查的知识点为交换二次积分次序。由所给二次积分可知积分区域D可以表示为1≤y≤2，y≤x≤2，交换积分次序后，D可以表示为1≤x≤2，1≤y≤x，故应选B。

18.D

19.D

20.A

21.-2-2解析：

22.

23.

24.

25.

由拉格朗日中值定理有=f"(ξ)，解得ξ2=2，ξ=其中。

26.

27.

28.y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)微分方程y''+6y'+13y=0的特征方程为r2+6r+13=0，特征根为所以微分方程的通解为y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x).

29.

本题考查的知识点为交换二重积分次序．

积分区域D：0≤x≤1，x2≤y≤x

积分区域D也可以表示为0≤y≤1，y≤x≤，因此

30.1/2本题考查的知识点为计算二重积分．其积分区域如图1-2阴影区域所示．

可利用二重积分的几何意义或将二重积分化为二次积分解之．

解法1由二重积分的几何意义可知表示积分区域D的面积，而区域D为等腰直角三角形，面积为1/2，因此．

解法2化为先对y积分，后对x积分的二次积分．

作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正向看，入口曲线为y=x，作为积分下限；出口曲线为y=1，作为积分上限，因此

x≤y≤1．

区域D在x轴上的投影最小值为x=0，最大值为x=1，因此

0≤x≤1．

可得知

解法3化为先对x积分，后对Y积分的二次积分．

作平行于x轴的直线与区域D相交，沿x轴正向看，入口曲线为x=0，作为积分下限；出口曲线为x=y，作为积分上限，因此

0≤x≤y．

区域D在y轴上投影的最小值为y=0，最大值为y=1，因此

0≤y≤1．

可得知

31.0本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最小值问题．

通常求解的思路为：

先求出连续函数f(x)在(a，b)内的所有驻点x1,…，xk．

比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)，其中最大(小)值即为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的x即为，(x)在[a，b]上的最大(小)值点．

由y=x3-2x+1，可得

Y'=3x2-2．

令y'=0得y的驻点为，所给驻点皆不在区间(1，2)内，且当x∈(1，2)时有

Y'=3x2-2＞0．

可知y=x3-2x+1在[1，2]上为单调增加函数，最小值点为x=1，最小值为f(1)=0．

注：也可以比较f(1)，f(2)直接得出其中最小者，即为f(x)在[1，2]上的最小值．

本题中常见的错误是，得到驻点和之后，不讨论它们是否在区间(1，2)内．而是错误地比较

从中确定f(x)在[1，2]上的最小值．则会得到错误结论．

32.e

33.

解析：

34.

35.（-35）（-3，5）解析：

36.

37.

38.2由题设有∫01xf"(x)dx=∫01xf"(x)=xf"(x)|01-|01f"(x)dx=f"(1)-f(x)|01=f"(1)-f(1)+f(0)=3-2+1=2。

39.1

40.

41.

42.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

43.

列表：

说明

44.

45.

46.

47.

48.

49.由一阶线性微分方程通解公式有

50.由等价无穷小量的定义可知

51.

52.由二重积分物理意义知

53.

则

54.

55.

56.函数的定义域为

注意

57.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

58.

59.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=