利用数学概率购买彩票

利用数学概率购买彩票一些彩民朋友喜欢用数学知识来研究彩票规律，那么下面就一些简明易懂又行之有效的方法，希望能在大家购买彩票方面助上一臂之力。

第一讲

加法原则和乘法原则在求排列组合时，经常要用到两条原则----加法原则和乘法原则。先看下面的问题：从甲地到乙地，可以乘火车，可以乘汽车，也可以乘轮船。一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。问从甲地到乙地共有几种走法？解：因为乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，因此从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法。一般地，有如下的原则：加法原则：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么，完成这件事共有N＝m1十m2十……十mn种不同的方法。再看下面的问题：从甲地到丙地必须经过乙地，从甲地到乙地有A，B，C，D四条道路；从乙地到丙地有H，I，J三条道路。问从甲地到丙地共有几种走法？因为从甲地到乙地有4种走法，而采用每一种走法走到乙地后，又可有3种走法到丙地。所以共有4*3=12种不同的走法。一般地，有如下的原则：乘法原则：完成一件事，有n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，……，第n步有mn种不同的方法，必须通过每一步骤，才算完成这件事，那么完成这件事共有N＝m1×m2×……×mn种不同的方法。思考题：1，一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出1人来完成这件工作，共有多少种方法？2，一件工作要通过两个步骤完成，第一个步骤有5种方法可以完成，第二个步骤有4种方法可以完成。问完成这件工作共有几种方法？第二讲

排列（一）排列的概念

关于排列，我们先看下面的例子：例：由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数?解：题中所指“没有重复数字”就是三位数中的三个数字不能是同一数字。根据题意。第一步，先确定百位上的数字。在1，2，3，4这四个数字中任取一个，共有4种方法；假设我们取3作为百位数。第二步，确定十位上的数字。当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字中1，2，4中去取，共有3种方法；假设我们取2作为十位数。第三步，确定个位上的数字。当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字1和4中去取，共有2种方法。根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有4×3×2＝24种。就是说，共可以排成24个不同的三位数。定义1：一般地说，从n个不同元素中，任取m(m＜＝n)个元素(这里只研究被取出的元素各不相同的情况)，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出个m元素的一个排列。从排列的定义知道，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素相同，而且排列的顺序也必须完全相同。如果所取的元素不完全相同，如问题中的三位数“123”和“321”，虽然它们的元素相同，但排列顺序不同，也是两个不同的排列。思考题：由数字0，1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数?第三讲

排列（二）有重复的排列上一讲我们讨论的排列中是不允许有重复的元素，但是很多情况下我们碰到的是有重复元素的问题，所以有必要对此作一下讨论。在定义前，我们先看一下下面的例子：例：由1－9这九个数字，共可组成多少个六位数？（每个位置上的数字可以重复）解：1，先确定十万位上的数字。在1－9这九个数字中任取一个，共有9种方法。2，确定万位上的数字。在1－9这九个数字中任取一个，还是有9种方法。3，千位，百位，十位和个位上的数字取法如上，都为9种。4，根据乘法原理，共有9×9×9×9×9×9＝531441种取法。定义2：一般地说，从n个不同元素中，任取m(m＜＝n)个元素(元素可以重复），按照一定的顺序排成一列，叫做有重复的排列。在我们身边，“数字型彩票”就是属于有重复的排列。它的游戏规则大家肯定不会陌生，是从0－9这10个数字中任取6个数字组成一个六位数，然后从0－4这5个数字中任取1个数字作为特别号码。只不过这个六位数和数学意义上的六位数有些不同，它允许0作为十万位上的数字。由上述的定义2，不难算出“数字型彩票”共有每次开奖共有特别号码个数×106种

即五百万个不同的开奖号码。

第四讲

排列（三）排列数的计算公式前面两讲中我们讨论的是一些比较简单的排列问题，可以用穷举的方法来解决。但对于一些相对较复杂的问题，就不能这样做了，需要根据具体的计算公式来解答。定义3：从n个不同元素中，任取m(m＜＝n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P(m,n)表示。例如：从5个不同元素中取出3个元素的排列数表示为P(3,5)。求排列数P(m,n)可以这样考虑：设有n个元素m1，m2，...，mn从其中先任选1个元素排在第一个位置，因为m1，m2，...，mn中任选1个都可以，所以有n种方法；排在第二个位置的元素，是除了选作第一位的元素以外的n-1个元素中再任选一个，所以有n-1种方法；这样下去，选第三个，第四个......第m个位置的元素的方法，数目分别是n-2,n-3,...,n-(m-1)。根据乘法原则，它们的总数是这m个排列方法的数目的积，即n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1),所以P(m,n)=n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1)。这里m<=n。这就是说，从n个元素中每次取出m个元素，所有的排列总数等于m个连续自然数的积，其中最大的一个数是n，这个公式叫做排列数公式。当m=n时，叫做n个不同元素的全排列。思考题：计算排列数P(2,4)，P(4,6)，P(7,7)第五讲

排列（四）排列数计算公式的应用

学习了排列数的计算后，我们基本可以解决所有只牵涉到排列的问题。看一下下面的这两个例子。例1：红，黄，蓝三种颜色不同的旗，按不同的次序排成一列表示信号，可以单用一面，或两面，三面并用，问一共可以表示多少不同的信号？解：一面组成的信号有P(1,3)种；两面组成的信号有P(2,3)种；三面组成的信号有P(3,3)种。根据加法原则，得：P(1,3)+P(2,3)+P(3,3)=3+3*2+3*2*1=15(种)例2：有一分，两分，五分的硬币各若干枚。从中挑出1-3枚硬币表示一种代号。可以只用一枚，也可用两枚，也可用三枚，允许重复挑选。问一共有多少种不同的代号？解：这个问题要根据元素重复的排列计算公式来解决。一枚表示的代号有31种，两枚表示的代号有32种，三枚表示的代号有33种。根据加法原则，得：31+32+33=3+9+27=39（种）思考题：在设置电话卡的密码时，可以从0-9这十个数字选取，组成一个密码（密码至少要有四位，五位也可以，最多不超过六位）。问一共有多少个不同的密码？（按有重复数字和无重复数字两种情况讨论）第六讲

组合（一）组合的性质让我们先看一下下面的例子：例：北京--天津--上海三个民航站的直达航线，一共有几种不同的飞机票价？解：因为北京--上海，上海--南京，南京--北京三条航线的距离各不相同，所以有3种不同的飞机票价。这个问题与需要准备几种不同的飞机票是不同的。飞机票的总数，与两个城市的先后顺序有关，这是一个排列问题；而票价只与两个城市的距离有关，与两个城市的先后顺序无关，因此可以看作是从三个不同的元素中任选两个，不管怎样的顺序并成一组，求一共有多少个不同的组，这就是我们要研究的组合问题。

定义：一般地说，从n个不同元素里，每次取出m(1<=m<=n)个元素,不管怎样的顺序并成一组，叫做从n个元素里每次取出m个元素的组合。例如：从3个元素a,b,c里每次取出2个元素的组合，就是指下列三种组合ab,ac,bc。

由组合的定义可以知道，如果两种组合里所含的元素完全一样，只是排列的顺序不同，如ab和ba，那么它们仍是相同的组合。由此可知，组合和排列是不同的。排列和元素排列的顺序有关，但是组合和这种顺序没有关系。思考题：1，从2，3，5，7，11，13这六个数中，每次取出3个数相乘。问可以得到多少个不同的积？2，一分，二分，五分硬币各一枚，一共可以组成多少种不同的币值？第七讲

组合（二）组合数的计算公式由于组合数的计算公式的推导过程比排列要麻烦，所以我们这里略去复杂的推导过程，直接给出组合数的计算公式。定义：从n个不同元素中取出m(m<=n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C(m,n)表示。C(m,n)=n*(n-1)*...*(n-m+1)/(1*2*...*m)当m=n时，C(m,n)=1。让我们来看下面这个例题：例：有七个人进行乒乓球比赛，采用单循环制，即每两人之间要进行一场比赛。问共要进行多少场比赛？解：这个问题等同于从7个不同的元素中选取2个元素的所有组合个数。所以比赛场数等于C(2,7)=7*...*(7-2+1)/(1*2)=7*6/2=21思考题：袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，要求取出的顺序为黑白黑。问共有多少种这样的顺序？第八讲

组合（三）组合的推广定义1:若r1+r2+......+rk=n，把n个不同的元素分成k个部分，第一部分r1个，第二部分r2个，......，第k部分rk个，则不同的分法有：n!/(r1!*r2!*......*rk!)种这里n!叫做n的阶层，它的值为n！=1*2*......*n；定义2:若n个元素中有n1个具有特性“1”，n2个具有特性“2”，......，nk个具有特性“k”，且n1＋n2＋......＋nk＝n，从这n个元素中取出r个，使得具有特性“i”的元素有ri个(1<=i<=k)，而r1＋r2＋......＋rk＝r，这时不同的取法的总数为：C(r1，n1)*C(r2，n2)*......*C(rk，nk)，这里要求ri<=ni。例：有10个砝码，其重量分别为1克，2克，......，10克，从中取出三个；要求取出的三个砝码，一个小于5克，一个等于5克，一个大于5克。问共有多少种不同的取法？解：由上述