现代控制理论第10讲

现代控制理论第十讲主要内容:1、能观标准型；2、普通状态空间表达式化为能观标准型；3、按能控性对系统进行结构分解；4、按能观性对系统进行结构分解；5、按能控性和能观性对系统进行结构分解；四、单输入单输出系统的能观标准型能观Ⅰ型∑01（A01,B01,C01,）能观Ⅱ型∑02（A02,B02,C02,）∑01（A01,B01,C01）系统，其能观判别阵为：Rank(N)=n,满秩，所以∑01可观。五、普通状态空间表达式化为能观标准Ⅰ型定理：

一般系统∑（A，b，c），如果系统可观，那么可以通过非奇异变换：将系统∑（A,B,C）变换成能观Ⅰ型。其中b01中的βi=CAib

(i=0,1,…,n-1)六、普通状态空间表达式化为能观标准Ⅱ型

定理：

一般系统∑（A，b，c

），如果系统可观，那么可以通过非奇异变换：

的线性变换，可以将系统转换成能观Ⅱ型，其中b02由下列公式求得:

【例3－14】试将【例3－12】中的系统转化为能观Ⅰ型和能观Ⅱ型。满秩，所以系统可观。解：能观判别阵系统特征方程为：

根据定理，通过T01=N-1的线性变换，就可以得到系统能观Ⅰ型∑01（A01,B01,C01），其中：

根据定理，通过To2的线性变换，就可以得到系统能观Ⅱ型∑o2（Ao2,Bo2,Co2），其中：用MATLAB程序可以求出系统的能观I型：%Example5-12ObservabilityIA=[120;3-11;020];B=[2;1;1];C=[001];D=0;To1=obsv(A,C)[Ao1,Bo1,Co1,Do1]=ss2ss(A,B,C,D,To1)end标准型式及其主要应用约旦标准型：状态转移矩阵的计算，可控性和可观性分析；能控标准型：系统状态反馈及系统设计；能观标准型：状态观测器的设计及系统辩识。问题：不完全能控和不完全能观系统的能控性和能观性分析。分析方法：不完全能控系统，其状态空间所有的能控状态构成能控子空间，其余为不能控子空间；不完全能观系统，其状态空间所有的能观状态构成能观控子空间，其余为不能观子空间；通过非奇异变换把状态空间按能控性和能观性进行分解。（结构分解）3—8线性系统的结构分解一、按能控性分解1、从模拟结构图理解系统按能控性分解2、按能控性分解设线性定常系统：是不完全能控的，即其能控性判别矩阵M的秩：

rank(M)=rank([BAB…An-1B])=n1<n则存在非奇异变换：

将状态空间表达式变换为：3、从状态空间理解按能控性分解非奇异变换把状态空间分解成二个子空间，即：n1维子空间：能控子空间n-n1维子空间：不能控子空间4、非奇异变换的构成（1）R1,R2,…Rn1是能控矩阵M中n1个线性无关的列；（2）Rn1,…Rn是确保变换RC非奇异性条件下的任意列矢量。【例3－15】

线性定常系统如下，判别其能控性，若是不完全能控，试将其按能控性分解。解：（1）计算能控性判别矩阵并判别能控性：（2）构造非奇异变换矩阵：（3）、求变换后的状态空间表达式：说明：非奇异变换n-n1列的选取不影响能控子空间。二、按能观性分解1、从模拟结构图理解系统按能观性分解2、按能观性分解设线性定常系统：是不完全能观的，即其能控性判别矩阵N的秩：

rank(N)=rank([CCA…CAn-1]T)=n1<n则存在非奇异变换：

将状态空间表达式变换为：3、从状态空间理解按能观性分解非奇异变换把状态空间分解成二个子空间，即：（1）R1’,R2’,…Rn1’是能观矩阵N中n1个线性无关的行；4、非奇异变换的构成（2）Rn1’

,…Rn

’是确保变换R0非奇异性条件下的任意行矢量。n1维子空间：能观子空间n-n1维子空间：不能观子空间【例3－16】

线性定常系统如下，判别其能观性，若是不完全能观，试将其按能观性分解。解：（1）计算能观性判别矩阵并判别能观性：（2）构造非奇异变换矩阵：3、求变换后的状态空间表达式：三、按能控性和能观性进行分解问题：若系统是不完全能控和不完全能观时如何对系统结构进行分解？解决问题的方法：作非奇异变换把系统分解为能控且能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四个部分。1、从模拟结构图理解不完全能控和能观系统的分解2、按能控性和能观性分解设线性定常系统：是不完全能控和能观的，则存在非奇异变换：

将状态空间表达式变换为：3、从状态空间理解按能控性和能观性分解非奇异变换把状态空间分解成四个子空间，即：

（1）能控能观子空间

（2）能控不能观子空间

（3）不能控能观子空间

（4）不能控不能观子空间

4、非奇异变换的构成方法：逐步分解法（1）将系统∑=（A，B，C）按能控性分解取状态变换：将系统变换为：能控状态不能控状态按能控性分解构造的变换矩阵（2）将不能控子系统按能观性分解取状态变换：分解为:不能控但能观的状态不能控不能观的状态按能观性分解构造的变换矩阵（3）将能控子系统按能观性分解取状态变换：【例3－17】已知系统:是状态不完全能控和不完全能观的，试将其按能控性和能观性进行结构分解。解：（1）按能控性分解为：（2）不能控子系统按能观性分解：不能控子空间是一维的,显然是能观的,故无需再分解。

（3）能控子系统∑c

按能观性分解构造非奇异变换系统按能控和能观分解的表达式为：5、结构分解的另一种方法方法：化为约旦标准型→按能控性判别规则和能观性判别规则判别各状态的能控性和能观性→按能控能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四种类型分类排列