新浙教版九年级上3.6圆的内接四边形

3.6圆的内接四边形复习回顾：什么是三角形的外接圆？什么是圆的内接三角形？什么是圆的内接四角形？什么是四边形的外接圆？

定义：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个四边形叫做圆的内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.

思考:

（1）任意三角形都有外接圆吗？（2）任意四边形都有外接圆吗?OCABDOCABDOCABDOCABD注：一个三角形一定有一个外接圆，但一个四边形不一定有外接圆任意画一个圆，在圆上依次取四个点A、B、C、D，连接AB、BC、CD、DA，用量角器量出一组对角的度数之和，你发现了什么？OCABD证法一已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O，求证：∠DAB+∠DCB=180°，∠B+∠D=180°同理可得：∠DAB+∠DCB=180°已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O，求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°ＯＣＢＡＤ证法二几何语言∵四边形ABCD内接于⊙O

∴

∠A+∠C=180°∠B+∠D=180°ＯＣＢＡＤ圆内接四边形的性质定理:圆的内接四边形对角互补E任何一个外角都等于它的内对角1、已知圆内接四边形有一个内角是500，求它的对角的度数2、若⊙O内接四边形ABCD中满足∠A=∠C，∠B=∠D，则四边形ABCD是怎样的特殊的四边形？做一做若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（）（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4（B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4（C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4

（D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶1B补充练习：例题讲解

例1

如图,ΔABC的外角平分线AD交外接圆于D,求证:DB=DC.解：∵AD是∠EAC的平分线∴∠DAC=∠DAE四边形ABCD内接于⊙O∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）又∵

∠BAD+∠DAE=180°∴∠BCD=∠DAE(?)而∠DBC=∠DAC(?)∠DAC=∠DAE∴∠DBC=∠DCB∴DB=DC1、如图，AB为⊙O的直径，已知∠BAC=40°,求∠D的大小2、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:7,则∠A=

∠B=

∠C=

∠D=

。40º60º140º120º设∠

A=2x,则∠C=7x.∵∠A+∠C=180º,∴x=20º.作业题例2如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？如果这根原木长15m，问锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？∵直径AC=BD=30cm∴AO=BO=15cm∴S正方形ABCD=15×15×1/2×4=450（cm2）=4.5×10-2（m2）∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3）答:沿正方形ABCD的四条边，就可以锯出符合要求的截面为正方形的木材，若原木长为15m,其体积为0.675m3.解：如图，设圆木的截面为圆O，要使锯出的木材的横截面正方形ABCD尽可能大，正方形ABCD应内接于圆O.正方形ABCD的各个内角都是直角，得它的两条对角线是圆O的直径，且这两条对角线互相垂直。所以只要在圆O内作互相垂直的直径AC和BD,就可以作出面积最大的正方形ABCD.2、已知:如图以等腰三角形ABC的底边BC为直径的⊙O分别交两腰AB、AC于点D、E，连结DE，求证：DE∥BC。

1、已知:四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝50°，∠D-∠B＝40°求∠B、∠C、∠D的度数作业题ABCODE5、圆内接四边形ABCD中,

AB、BC、CD、DA的度数之比为1:2:3:4

，求四边形ABCD各内角的度数3、圆内接四边形ABCD中,ADC与ABC

的比为3:2，求∠B、∠D的度数。4、已知四边形ABCD,∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比为3:1:2:5

，判断这个四边形是不是圆内接四边形？并说明理由。⌒⌒⌒⌒⌒⌒6、求证：圆内接平行四边形是矩形。OCDBA已知：如图，四边形ABCD是圆的内接四边形并且ABCD是平行四边形。求证：四边形ABCD是矩形。例：如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1

交于点C，与⊙O2

交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1

交于点E，与⊙O2

交于点F。求证：CE∥DF12OOFABECD分析:两圆相交的问题,公共弦是沟通两圆的桥梁.变式1：如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，过A点的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，过B点的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。EDCFAB猜想：CE∥DF仍然成立