大学测量PPT课件：3 GIS数学基础

第三章gis数学基础地理信息系统

geographicalinformationsystem本章目录1/13/20232地球空间参考空间数据投影空间尺度地图分幅32.1地球空间参考地球的自然表面相对抽象的面（大地水准面）地球椭球面数学模型

一、地球形状4地球的自然表面

包括海洋底部、高山、高原在内的固体地球表面，起伏不定，难以用一个简洁的数学式描述。不适于数字建模，它在诸如长度、面积、体积等几何测量中都面临十分复杂的困难。图2.1固体地球表面

大地控制地图投影地图的比例尺

如何全面地理解地球的形状？?赤道半径6378(公里);极半径6357（公里）;平均半径6371（公里）;地球周长40030（公里）;扁率0.0034地球是一个非常接近圆的地球体有多圆？？一般的圆规画得还没有这么圆赤道半径

6378(公里);极半径

6357（公里）;平均半径

6371（公里）;地球周长40030（公里）;扁率

0.00347相对抽象的面（大地水准面）

地球表面71%被海水覆盖，假设一个当海水处于完全静止的平衡状态时从海平面延伸到所有大陆下部，而与地球重力方向处处正交的一个连续、闭合的水准面。大地水准面是其中一个特殊的重力等位面，它在理论上与静止海平面重合。大地水准面包围的形体是一个水准椭球，称为大地体。大地水准面形状虽然十分复杂，但从整体来看，起伏是微小的。它是一个很接近于绕自转轴（短轴）旋转的椭球体。8地球椭球面

以大地水准面为基准建立起来的地球椭球体模型。大地水准面虽然十分复杂，但是从整体来看，起伏是微小的，很接近绕自转轴旋转的椭球体。为了测量成果计算的需要，选用一个同大地体相近的、可以用数学方法来表达的旋转椭球来代替地球---三轴椭球体。地球椭球并不是一个任意的旋转椭球体。只有与水准椭球一致起来的旋转椭球才能用作地球椭球。地球椭球体三要素：长半径a

短半径b

扁率f9地球表面、大地水准面和地球椭球体之间的关系地球表面大地水准面铅垂线水准面地球椭球体10椭球名称创立年代长半径a（m）短半径b（m）扁率αwgs-841984637813763567521:298.261975年国际椭球（中国1980西安坐标系采用）1975637814063567551:298.257海福特（hayford）（中国1953年以前采用）1910637838863569121：297克拉索夫斯基（Красовбкий）（中国1954年北京坐标系采用）1940637824563568631：298.3表2.1世界地图以及我国不同时期所采用的地球椭球及其几何参数11椭球体名称年代长半径（m）短半径（m）

扁率使用的主要国家白塞尔（德,bessel）1841637739763560791：299.15波兰，罗马尼亚，捷克，斯洛伐克，瑞士，瑞典，智利，葡萄牙，日本克拉克Ι（英，clarke）1866637820663565341：295.0埃及，加拿大，美国，墨西哥，法国克拉克Ⅱ（英，clarke）1880637824963565151：293.47越南，罗马尼亚，法国，南非海福特（美国，hayford）1910637838863569121：297.0意大利，比利时，葡萄牙，保加利亚，罗马尼亚，丹麦，土耳其，芬兰，阿根廷，埃及，中国（1952年前）克拉索夫斯基（前苏，Красовский）1940637824563568631：298.3前苏联（1946年起），保加利亚，波兰，罗马尼亚，匈牙利，捷克，斯洛伐克，原得意志民主共和国，中国1975年国际椭球1975637814063567551：298.2571975年国际第三个推荐值1980年国际椭球198063781371：298.2571979年国际第四个推荐值12椭球定位除了参考椭球，还需要指定一个大地基准面将这个椭球体与大地体联系起来，在大地测量学中称之为椭球定位：依据一定的条件，将具有给定参数的椭球与大地体的相关位置确定下来。条件包括两个方面：1.依据什么要求使大地水准面与椭球面符合；2.对轴向的规定。参考椭球的短轴与地球旋转轴平行是参考椭球定位的最基本要求。1/13/202313地球模型：三级近似地球自然表面极不规则，无法用数学表面进行描述水准面所包围的球体大地水准面所包围的球体旋转椭球体不规则性、动态性、不唯一性不规则性、相对唯一性标准数学曲面1952：海福特椭球1953：克拉索夫斯基椭球1978：1975年国际椭球14二、坐标系统一、分类1、球面坐标系统天文地理坐标系大地地理坐标系空间直角坐标系参心空间直角坐标系地心空间直角坐标系2、平面坐标系统高斯平面直角坐标系地方独立坐标系建立在平面上的直角坐标系统，用（x，y）表达地理对象位置投影直接建立在球体上的地理坐标，用经度和纬度表达地理对象位置15一、地理坐标(geographiccoordinatesystem)地理坐标——地面上任一点的位置，通常用经度（latitude）和纬度（longitude）来决定。经线和纬线是地球表面上两组正交（相交为90度）的曲线，这两组正交的曲线构成的坐标，称为地理坐标系。地理坐标是一种球面坐标。

16大地地理坐标系

图2.5大地地理坐标系

wae为椭球赤道面，nas为大地首子午面，pd为地面任一点，p为pd在椭球上的投影，则地面点pd对椭球的法线pdpk与赤道面的交角为大地纬度，常以b表示。从赤道面起算，向北为正，向南为负。大地首子午面与p点的大地子午面间的二面角为大地经度，常以l表示。以大地首子午面起算，向东为正，向西为负。17空间直角坐标系图2.6参心空间直角坐标系

z

y

x

n

s

o

赤道面

坐标系的原点位于椭球的中心，z轴与椭球的短轴重合，x轴位于起始大地子午面与赤道面的交线上，y轴与xz平面正交，o-xyz构成右手坐标系。在建立参心坐标时，由于观测范围的限制，不同的国家或地区要求所确定的参考椭球面与局部大地水准面最密合。由于参考椭球不是唯一的，所以，参心空间直角坐标系也不是唯一的。

地心地固空间直角坐标系的定义是：原点o与地球质心重合，z铀指向地球北极，x轴指向格林尼治平均子午面与地球赤道的交点，y轴垂直于xoz平面构成右手坐标系。地球自转轴相对地球体的位置并不是固定的，地极点在地球表面上的位置是随时间而变化的。18我国的大地坐标系统

在一个国家或地区，不同时期也可能采用不同的坐标系。我国目前沿用了两种坐标系，即1954年北京坐标系和1980年国家大地坐标系。

陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点——大地原点。iga-75椭球参数a=6378140mb=6356755mf=1/298.25719不同的球面地理坐标系

54—80坐标系地形图邻接状况（中间部分为两个坐标系邻接“真空”带）20二、平面坐标系（projectedcoordinatesystem）

高斯平面直角坐标系：在高斯－克吕格投影带内布置了平面直角坐标系统。具体构成是：规定以中央经线为x轴，赤道为y轴，中央经线与赤道交点为坐标原点。同时规定，x值在北半球为正，南半球负；y值在中央经线以东为正，中央经线以西为负。

图2.7高斯-克吕格坐标表 ya=238765.2myb=-148572.3m纵坐标轴西移500km后，其横坐标分别为：ya’

=738765.2myb’=351427.7m加上带号，如a、b两点位于第19带，其通用坐标为：

ya’’=19738765.2myb’’=19351427.7m

1/13/202321定位坐标系：平面系统直接建立在球体上的地理坐标，用经度和纬度表达地理对象位置建立在平面上的直角坐标系统，用（x，y）表达地理对象位置投影22地方独立平面直角坐标系国家坐标中每个高斯投影带都是按一定间隔划分，其中央子午线不可能刚好落在城市和工程建设地区的中央，从而使高斯投影长度产生变形。为了减小变形，将其控制在一个微小的范围内，使得计算出来的长度与实际长度认为相等，常常需要建立适合本地区的地方独立坐标系。建立地方独立坐标系，实际上就是通过一些元素的确定来决定地方参考椭球与投影面。地方参考椭球一般选择与当地平均高程相对应的参考椭球，该椭球的中心、轴向和扁率与国家参考椭球相同。在地方投影面的确定过程中，应当选取过测区中心的经线或某个起算点的经线作为独立中央子午线；以某个特定使用的点和方位为地方独立坐标系的起算原点和方位，并选取当地平均高程面为投影面。

23任意水准面大地水准面h´aha铅垂线ah´bhbhab高程基准人们通常所说的高程是以平均海面为起算基准面，所以高程也被称作标高或海拔高，包括高程起算基准面和相对于这个基准面的水准原点(基点)高程，就构成了高程基准。

高程基准是推算国家统一高程控制网中所有水准高程的起算依据，它包括一个水准基面和一个永久性水准原点。1/13/202324定位坐标系：高程系统任意水准面大地水准面h´aha铅垂线ah´bhbhab水准原点1985国家高程基准，72.2604米黄海海面1952-1979年平均海水面为0米25位于青岛的我国水准原点262.2地图投影为什么要进行投影？地图投影实质投影变形投影方法投影选择所考虑的因素我国常用的投影方法1/13/202327地图投影概念投影面地球28为什么要进行地图投影地图投影：为什么要进行投影29地图投影：为什么要进行投影地理坐标为球面坐标，不方便进行距离、方位、面积等参数的量算地球椭球体为不可展曲面地图为平面，符合视觉心理，并易于进行距离、方位、面积等量算和各种空间分析投影（project）的含义是指建立两个点集间一一对应的映射关系。1/13/202330地图投影实质

建立地球椭球面上经纬线网和平面上相应经纬线网的数学基础，也就是建立地球椭球面上的点的地理坐标（λ，φ）与平面上对应点的平面坐标（x，y）之间的函数关系：当给定不同的具体条件时，将得到不同类型的投影方式31地图投影：投影变形将不可展的地球椭球面展开成平面，并且不能有断裂，则图形必将某些地方被拉伸，某些地方被压缩，故投影变形是不可避免的。长度变形µ=ds’/dsvµ=µ-1面积变形p=df’/dfvp=p-1角度变形在一定点上，方位角的变形随不同的方向而变化，所以一点上不同方向的角度变形是不同的。投影中，一定点上的角度变形的大小是用其最大值来衡量的，称最大角度变形，通常用符号ω表示。1/13/202332地图投影:投影变形将不可展的地球椭球面展开成平面，并且不能有断裂，则图形必将在某些地方被拉伸，某些地方被压缩，故投影变形是不可避免的。长度变形面积变形角度变形mercatorprojectionmollweideprojection3334地图投影:投影方法投影面地球1/13/202335投影方式地图投影变形规律构成方式几何投影非几何投影方位投影圆柱投影伪圆锥投影圆锥投影多圆锥投影为圆柱投影伪方位投影等积投影等角投影任意投影36地图投影的分类

1、按变形性质分类

等角投影——投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零。等积投影——定义为某一微分面积投影前后保持相等，亦即其面积比为1，即在投影平面上任意一块面积与椭球面上相应的面积相等，即面积变形等于零。等距投影——定义为沿某一特定方向的距离，投影前后保持不变，即沿着该特定方向长度比为1。在这种投影图上并不是不存在长度变形，它只是在特定方向上没有长度变形。等距投影的面积变形小于等角投影，角度变形小于等积投影。

37按构成方法分类几何投影和非几何投影1）几何投影方位投影：以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。圆柱投影：以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。圆锥投影：以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。

1/13/202338投影方式：几何投影正轴斜轴横轴方位圆柱圆锥392）非几何投影

不借助几何面，根据某些条件用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。在这类投影中，一般按经纬线形状又分为下述几类：伪方位投影：纬线为同心圆，中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线，且相交于纬线的共同圆心。伪圆柱投影：纬线为平行直线，中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线。伪圆锥投影：纬线为同心圆弧，中央经线为直线，其余经线均为对称于中央经线的曲线。多圆锥投影：纬线为同周圆弧，其圆心均为于中央经线上，中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线。40各种几何投影423、按照投影面积与地球相割或相切分类割投影——以平面、圆柱面或圆锥面作为投影面，使投影面与球面相割，将球面上的经纬线投影到平面上、圆柱面上或圆锥面上，然后将该投影面展为平面而成。切投影——以平面、圆柱面或圆锥面作为投影面，使投影面与球面相切，将球面上的经纬线投影到平面上、圆柱面上或圆锥面上，然后将该投影面展为平面而成。43地图投影：投影选择因素选择投影制图区域形状和地理位置制图区域范围地图的内容和用途出版方式44地图投影：gis中地图投影gis以地图方式显示地理信息，而地图是平面，地理信息则在地球椭球上，因此地图投影在gis中不可缺少。gis数据库中地理数据以地理坐标存储时，则以地图为数据源的空间数据必须通过投影变换转换成地理坐标；而输出或显示时，则要将地理坐标表示的空间数据通过投影变换变换成指定投影的平面坐标。gis中，地理数据的显示可根据用户的需要而指定投影方式，但当所显示的地图与国家基本地图系列的比例尺一致时，一般采用国家基本系列地图所用的投影。数据输出（具有相应投影的地图）数据获取（不同投影的地图）数据标准化预处理（按某一参照系数字化）数据存储（统一的坐标基础）数据处理（投影转换）数据应用（检索查询、覆盖分析等）

地理基础(地图投影)gis与地图投影关系46地图投影：我国常用地图投影1：100万：兰勃特投影大部分分省图、大多数同级比例尺也采用兰勃特投影1：50万、1：25万、1：10万、1：5万、1：2.5万、1:1万、1：5000采用高斯—克吕格投影。格投影采用6°带、3°带分带投影的方法，我国1：2.5万-1：50万地形图均采用6°带投影，1：1万及更大比例尺地形图采用3°带投影。6°分带法规定：从格林威治零度经线开始，由西向东每隔6°为一个投影带，全球共分60个投影带，分别用阿拉伯数字1-60予以标记。我国位于东经72°-136°之间，共包括11个投影带（13-23带）。3°分带法规定：从东经1°30´起算，每3°为一带，全球共分120带。47正轴割圆锥等面积投影

投影参数：起算纬度：0°或10°n中央经线：105°e或110°e标准纬线1：25°n标准纬线2：45°n或47°n采用原因：

1、中国大部分地方属于中低纬度地区，故采用圆锥投影

2、中国疆域辽阔，纬度跨度很大（有50°的纬差），故必须用割投影（双标准纬线）来控制形变。

3、为强调各省区之间和中国与相邻国家之间的面积对比关系，采用等面积投影。48各大洲地图投影亚洲地图：斜轴等面积方位投影、彭纳投影。欧洲地图：斜轴等面积方位投影、正轴等角圆锥投影。北美洲地图：斜轴等面积方位投影、彭纳投影。南美洲地图：斜轴等面积方位投影、桑逊投影。澳洲地图：斜轴等面积方位投影、正轴等角圆锥投影。拉丁美洲地图：斜轴等面积方位投影。49高斯—克吕格投影高斯—克吕格投影是由德国数学家、物理学家、天文学家高斯于19世纪20年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格于1912年对投影公式加以补充，故称为高斯—克吕格投影（以下简称“高斯投影”）。在投影分类中，该投影是横轴切圆柱等角投影。高斯投影的中央经线和赤道为互相垂直的直线，其他经线均为凹向，并对称于中央经线的曲线，其他纬线均是以赤道为对称轴的向两极弯曲的曲线，经纬线成直角相交。高斯投影的变形特征是：在同一条经线上，长度变形随纬度的降低而增大，在赤道处为最大；在同一条纬线上，长度变形随经差的增加而增大，且增大速度较快。在6˚带范围内，长度最大变形不超过0.14%。506度带是从0度子午线起，自西向东每隔经差6为一投影带，全球分为60带，各带的带号用自然序数1，2，3，…60表示。即以东经0-6为第1带，其中央经线为3e，东经6-12为第2带，其中央经线为9e，其余类推。

3度带是从东经1度30分的经线开始，每隔3度为一带，全球划分为120个投影带。6度带与3度带的中央经线与带号的关系。53分析 采集处理 现实世界（观测尺度）

地图（比例尺） 影像（分辨率）

其它

（操作尺度） 用户接受的信息 图2.15空间分析中的空间尺度 2.3空间尺度54一、观测尺度是指研究的区域大小或空间范围。认识或观察地理空间观察及其变化时一般需要更大的范围，即大尺度（地理尺度）研究覆盖范围较大区域，如一个国家、亚太地区，而研究城市分布及其扩展可用中尺度或小尺度。1/13/202355二、地图比例尺地图比例尺反映了制图区域和地图的比例关系纸质地图：内容、概括程度、数据精度等比例尺的含义：制图区域较小，采用各方面变形都较小的地图投影，图上各处的比例是一致的，故此时比例尺的含义是图上长度与相应地面长度的比例；制图区域较大时，地图投影比较复杂，地图上长度因地点和方向的不同而有所变化，这种地图比例尺一般是指在地图投影时，对地球半径缩小的比率，称为主比例尺。地图经过投影后，体现在图上只有个别点线没有长度变形，也就是说，只有在这些长度没有变形的点或线上，才可用地图上注明的比例尺56地图比例尺反映了制图区域和地图的比例关系。要把地球表面多维的景物和现象描写在二维有限的平面图纸上，必然遇到大与小的矛盾。解决矛盾的办法就是按照一定数学法则，运用符号系统，经过制图概括，将有用信息缩小表示。数字式：即用阿拉伯数字表示。例如：1：100000（或简写作1：10万）。文字式：用文字注解的方法表示。例如：“百万分之一”或“图上1cm相当于实地10km”。图解式：用图形加注记的形式表示的比例尺。图解式主要包括：直线比例尺、斜分比例尺和复式比例尺。无级比例尺概念：无级比例尺信息提取是指以一个大比例尺空间数据库为基础,通过制图综合使得一定区域内空间对象的信息量随比例尺变化自动增减。二、比例尺57三、分辨率图像分辨率简单说来是成像细节分辨能力的一种度量，也是图像中目标细微程度的指标，它表示景物信息的详细程度。对图像光谱细节的分辨能力表达用光谱分辨率(spectralresolution）；对把同一目标的序列图像成像的时间隔称为时间分辨率(temporalresolution)；而把图像目标的空间细节在图像中可分辨的最小尺寸称为图像的空间分辨率(spatialresolution)。58三、操作尺度操作尺度是指对空间实体、现象的数据进行处理操作时应采用的最佳尺度，不同操作尺度影响处理结果的可靠程度或准确度。592.4地形图的分幅和编号

一、地形图的分幅和编号1、分幅概念：各种比例尺的地形图是按适当的面积测制的，所以一个面积大的地区，要将整个制图区域按一定的方法分割成多幅地图表示。目的：便于编图、印刷、保管、查询、使用、必须研究地图分幅与编号。方法：基本比例尺地形图采用经纬线分幅法。60我国地图比例尺与基本比例尺：大比例尺地形图：1：5千—1：2.5中比例尺地形图：1：5万—1：25万比例尺小比例尺地形图：1：50万-1：100国家基本比例尺地形图1：5千、1：1万、1：2.5万、1：5万、1：10万、1：25万、1：50万和1：100万七种

一、地形图的分幅——目前，我国采用的地形图分幅方案，是以1：100万地形图为基准，按照相同的经差和纬差定义更大比例尺地形图的分幅。1：100万地图在纬度0o—60o之间的图幅，图幅大小按经差6o，纬差4o分幅。61二、经纬网分幅法是按照一定的经差和纬差划分制图区域，也就是每幅图的图廊都是由经线和纬线组成。我国基本比例尺地形图均以1：100万地形图为