福建省福州市黄岐中学2022年高三数学理联考试卷含解析

福建省福州市黄岐中学2022年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用（万元）1245销售额（万元）10263549[来源:学&科&网]根据上表可得回归方程的约等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为（

）。A．54万元

B．55万元

C．56万元

D．57万元参考答案：D，中心点为，代入回归方程得时.考点：回归方程2.执行如图的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A．s B．s C．s D．s参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=9，S=1时，不满足输出条件，故S值应满足条件，执行循环体后：S=，k=8；当k=8，S=时，不满足输出条件，故S值应满足条件，执行循环体后：S=，k=7；当k=7，S=时，不满足输出条件，故S值应满足条件，执行循环体后：S=，k=6；当k=6，S=1时，满足输出条件，故S值应不满足条件，故判断框内可填入的条件是s，故选：B3.在直角△中，，，设则的最小值为__________.A．

B．

C．

D．参考答案：B4.若函数图象上任意点处切线的斜率为，则的最小值是A.

B.

C.

D.参考答案：A略5.在半径为的球面上有三点，如果，，则球心到平面的距离为A.

B.

C.

D.参考答案：C6.已知全集（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略7.抛物线y=4x的焦点坐标为

A．(2，0)

B．(1，0)

C．(0，-4)

D．(-2，0)

参考答案：B略8.已知集合，则=

（

）A. B. C. D.参考答案：C9.（06年全国卷Ⅱ）函数的最小正周期是(

)（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：D解析：所以最小正周期为,故选D10.设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α等于 ()参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则关于的不等式组的解集为

.参考答案：12.（04年全国卷Ⅱ文）已知a为实数，(x＋a)10展开式中x7的系数是－15，则a＝

参考答案：答案：－

13.某单位名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取名职工作为样本.用系统抽样的方法将全体职工随机按～编号，并按编号顺序分为组（～号，～号，，，，，～号），若第组抽出的号码为，则第组抽出的号码应是

，若改用分层抽样的方法，则岁以下年龄段应抽取

人.参考答案：略14.已知函数为上的偶函数，当时，，则▲

，▲

.参考答案：．，

15.在△ABC中，角A、B、C的对边边长分别是a、b、c，若A=，a=，b=1，则c的值为．参考答案：2【考点】解三角形．【分析】直接利用正弦定理求出B，求出C，然后求解c即可．【解答】解：∵，∴，∴，∵a＞b，所以A＞B．角A、B、C是△ABC中的内角．∴，∴，∴．故答案为：2．16.经过原点且与函数（为自然对数的底数）的图象相切的直线方程为

参考答案：17.设是函数的两个极值点，若，则实数a的取值范围是________．参考答案：（2,6）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数(a为实常数).(1)若，求证：函数在(1，+．∞)上是增函数；(2)求函数在[1，e]上的最小值及相应的值；(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.参考答案：（1）当时，，当，，故函数在上是增函数．…………………4分（2），当，．若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时．………………6分若，当时，；当时，，此时是减函数；当时，，此时是增函数．故．若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数在上是减函数，此时．……8分综上可知，当时，的最小值为1，相应的x值为1；当时，的最小值为，相应的x值为；当时，的最小值为，相应的x值为．……………………10分（3）不等式，

可化为．∵,∴且等号不能同时取，所以，即，因而（）………………12分令（），又，…14分当时，，，从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，故的最小值为，所以a的取值范围是．………16分略19.记函数f(x)＝的定义域为A，g(x)＝lg(x－a－1)(2a－x)(a<1)的定义域为B.(1)求A；(2)若B?A，求实数a的取值范围．参考答案：(1)由2－≥0，得≥0.解上式得x<－1或x≥1，即A＝(－∞，－1)∪1，＋∞)．(2)由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0.由a<1，得a＋1>2a.所以g(x)的定义域B＝(2a，a＋1)．又因为B?A，则可得2a≥1或a＋1≤－1，即a≥或a≤－2.因为a<1，所以≤a<1或a≤－2.故当B?A时，实数a的取值范围是(－∞，－2∪．20.已知函数f（x）=（a＞0）（Ⅰ）求证：f（x）必有两个极值点，一个是极大值点，一个是极小值点；（Ⅱ）设f（x）的极小值点为α，极大值点为β，f（α）=﹣1，f（β）=1，求a、b的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设g（x）=f（ex），若对于任意实数x，g（x）≤恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）利用极值的定义证明即可；（Ⅱ）利用韦达定理，结合f（α）=﹣1，f（β）=1，求a、b的值；（Ⅲ）原问题可化为m≤对一切x∈（﹣∞，0）∪(

)，+∞）恒成立，构造函数，研究函数的值域，即可求实数m的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：f′（x）=﹣令f′（x）=ax2+2bx﹣a=0

…△＞0，∴f′（x）=0有两实根不妨记为α，βx（﹣∞，α）α（α，β）β（β，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）

极小

极大

∴f（x）有两个极值点，一个极大值点一个极小值点

…（Ⅱ）解：ax2+2bx﹣a=0，由韦达定理得α+β=﹣∵f（α）=﹣1，f（β）=1，∴α2+αα+b+1=0，β2﹣αβ﹣b+1=0．∴（α+β）（α﹣β）=0…∴α+β=0，∴b=0，α=﹣1，β=1，∴a=2

…（Ⅲ）解：∵g（x）=f（ex），∴m≥0

…当x=0时，不等式恒成立∴原问题可化为m≤对一切x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立设u（x）=，则u′（x）=设h（x）=（ex﹣e﹣x）x﹣2（ex+e﹣x﹣2），∴h′（x）=（ex+e﹣x）x﹣（ex﹣e﹣x），h″（x）=（ex﹣e﹣x）x，当x＞0时，ex＞e﹣x，∴h″（x）＞0，当x＜0时，ex＜e﹣x，∴h″（x）＞0，∴h′（x）在R上单调递增，又∵h′（0）=0∴当x＞0时，h′（0）＞0，当x＜0时，h′（0）＜0∴h（x）在（﹣∞，0）上递减，（0，+∞）递增，∴h（x）＞h（0）=0

…∴当x＞0时，u′（x）＞0，当x＜0时，u′（x）＜0，∴u（x）在（﹣∞，0）上递减，（0，+∞）递增，∴x→0，u（x）→1∴0≤m≤1．

…【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，正确构造函数的关键．21.已知函数，它在处的切线方程为.（1）求a、b的值；（2）求函数f(x)在上的最小值；（3）若斜率为k的直线与曲线交于，，两点，求证.参考答案：(1)，(2)(3)证明见解析【分析】(1)由题得到关于，的方程组，解方程即得解；（2）对t分三种情况讨论，利用导数求函数在上的最小值；（3）先求出，再令，设，利用导数证明，再令，设，再证明,即证.【详解】（1），∵，∴，即，∵，∴，即.（2）∵，令，∴，①时，在单调递增，，②时，即时，在单调递减，单调递增，.③时，∵，∴舍去.综上.（3）∵，，∴，，∵，∴，令，设，，∵，∴，即在单调递减，∵，∴，∵，∴，即，，令，设，，∵，∴，即在单调递增，∵，∴，∵，∴，即，综上，即.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调性和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.已知数列中，，，.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若且，，求证：使得，，成等差数列的点列在某一直线上.参考答案：解：（1）将已知条件变形为……1分

由于，则（常数）……3分即数列是以为首项，公比为的等比数列……4分所以，即（）。……5分（2）假设在数列中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为，，（，），由题意得，，将，，代入上式得……7分………………8分化简得，，即，得，解得