2021-2022学年湖南省湘潭市桂花中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2021-2022学年湖南省湘潭市桂花中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：C考点：椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：设P（m，n），由得到n2=2c2﹣m2

①．把P（m，n）代入椭圆得到b2m2+a2n2=a2b2

②，把①代入②得到m2的解析式，由m2≥0及m2≤a2求得的范围．解答：解：设P（m，n），=（﹣c﹣m，﹣n）?（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2

①．把P（m，n）代入椭圆得

b2m2+a2n2=a2b2

②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又

m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选C．点评：本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用．2.若直线被圆所截的弦长不小于2，则与下列曲线一定有公共点的是A．

B．．

C.

D．参考答案：B略3.已知直相切，则等于

（

）

A．－1

B．－5

C．－1或－5

D．1或－5参考答案：B4.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a)，B(2,b)，且cos2α=，则|a－b|=（

）A． B． C． D．1参考答案：B解答：由可得，化简可得；当时，可得，，即，，此时；当时，仍有此结果.

5.已知m，n是空间中两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且m?α，n?β．有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定定理，分别判断，即可得出结论．【解答】解：①若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m∥β，正确；③若α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，不正确；④若α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，l与n相交则α⊥β，不正确．故选：B．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定，根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键．6.不等式对于任意及恒成立，则实数a的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：D7.如图，正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是A.线段

B.圆弧

C.椭圆的一部分

D.抛物线的一部分参考答案：A8.已知集合A={-3，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，4，6}，设M={x|x∈A，且xB}，则M=A．{-3,-1,2}

B．{-l,0,1}

C．{-3,0,1}

D．{-3,0,4}参考答案：C由题易知，选C．9.若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则的值为（

）A． B．84 C．3 D．21参考答案：D依据题意作出椭圆与双曲线的图像如下：由椭圆方程，可得，，由椭圆定义可得…（1），由双曲线方程，可得，，由双曲线定义可得…（2）联立方程（1）（2），解得，，所以，故选D．10.如图，正四面体，是棱上的动点，设（），分别记与，所成角为，，则（

）A．

B．C.当时，

D．当时，参考答案：D作交于时，为正三角形，，是与成的角，根据等腰三角形的性质，作交于,同理可得，当时，，故选D.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设在函数的图象上的点处的切线斜率为k，若，则函数的图像大致为参考答案：A略12.如图所示，在边长为的正六边形中，动圆的半径为，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量为实数），则的最大值为____________．参考答案：5略13.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若圆的极坐标方程为，若以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系，则在直角坐标系中，圆心的直角坐标是

.参考答案：略14.某高校“统计初步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课的学生人数情况，具体数据如右表,则最大有

的把握认为主修统计专业与性别有关系．0．0250．0100．0050．0015．0246．6357．87910．828

非统计专业统计专业男1510女520参考公式：参考答案：略15.如图,点P是正方形ABCD-A1B1C1D1外的一点,过点P作直线l,记直线l与直线AC1，BC的夹角分别为，，若，则满足条件的直线l有

条。参考答案：416.“”是“对恒成立”的

条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．参考答案：充分不必要17.若如图所示的算法流程图中输出y的值为0，则输入x的值可能是________(写出所有可能的值)．参考答案：0，－3,1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知函数，设函数．

（1）求证：函数必有零点

（2）若在上是减函数，求实数的取值范围；

（3）是否存在整数，使得的解集恰好是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．参考答案：解：-----------------------------------2分

---------4分所以----------------------------------------------------------6分因为在[-1，0]是减函数，所以，解得；所以当，因为在[-1，0]是减函数，所以方程的两根均大于零或一根大于零，另一根小于零，且对称轴--------------------------------------------------------------------------8分所以

或

解得

所以综上所述，实数m的取值范围是；-------------------------------------10分----------------------------------------------------------12分---------------------------14分----------------------------------------------16分

--------------------18分

19.已知数列的前n项和为，(1）证明：数列是等差数列，并求；(2）设，求证：.参考答案：（I)由知，当时：，

即，∴，对成立。

又是首项为1，公差为1的等差数列。

∴

∴=

20.（12分）已知f（x）=ex﹣ax2，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=bx+1．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；（3）证明：当x＞0时，ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，计算f′（1），f（1），求出a，b的值即可；（2）求出f（x）的导数，得到导函数的单调性，得到f（x）在[0，1]递增，从而求出f（x）的最大值；（3）只需证明x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，根据函数的单调性得到ex+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，从而证出结论即可．【解答】解：（1）f'（x）=ex﹣2ax，由题设得f'（1）=e﹣2a=b，f（1）=e﹣a=b+1，解得a=1，b=e﹣2．（2）由（1）知f（x）=ex﹣x2，∴f'（x）=ex﹣2x，f''（x）=ex﹣2，∴f'（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，所以f'（x）≥f'（ln2）=2﹣2ln2＞0，所以f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）max=f（1）=e﹣1．（3）因为f'（x），又由（2）知，f（x）过点（1，e﹣1），且y=f（x）在x=1处的切线方程为y=（e﹣2）x+1，故可猜测：当x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y=（e﹣2）x+1的上方．下证：当x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x+1，x＞0，则g'（x）=ex﹣2x﹣（e﹣2），g''（x）=ex﹣2，由（2）知，g'（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，又g'（x）=3﹣e＞0，g'（1）=0，0＜ln2＜1，∴g'（ln2）＜0，所以，存在x0∈（0，1），使得g'（x）=0，所以，当x∈（0，x0）∪（1，+∞）时，g'（x）＞0；当x∈（x0，1）时，g'（x）＜0，故g（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又g（0）=g（1）=0，∴g（x）=ex﹣x2﹣（e﹣2）x﹣1≥0，当且仅当x=1时取等号，故．由（2）知，，即，所以ex+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，即ex+（1﹣e）x﹣1﹣xlnx≥0成立，当x=1时，等号成立．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．21.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，分别是AC，B1C1的中点．求证：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B.参考答案：（1）证明：取AB的中点P，连结因为M,P分别是AB,AC的中点，所以且在直三棱柱中，，，又因为是的中点，所以且.

所以四边形是平行四边形，所以，

而平面，平面，所以平面.

（2）证明：因为三棱柱为