常用数学建模方法及实例

3常用数学建模方法及实例概述机理分析法直接相似法系统辨识法概率统计法定性推理法层次分析法计算机辅助建模3.1概述常见数学建模方法及其分类传统：机理分析与试验统计现代：层次分析和定性推理、系统辨识分类：机理分析法、直接相似法、系统辨识法、回归统计法、概率统计法、量纲分析法、网络图论法、图解法、模糊集论法、层次分析法、定性推理法、“灰色”系统法、蒙特卡洛法、分析统计法等。3.1概述数学建模方法的一般选择选择依据：系统状况、建模目标、建模精度、周期和费用原则：“白盒”问题：机理分析法、直接相似法、量纲分析法、图解法。“灰盒”问题或“黑盒”问题：可以通过试验进行观察的：系统辨识法、回归统计法、概率统计法、蒙特卡洛法、分析统计法不能直接通过试验观察的：想定法、网络分析法盒图解法边界不清楚的不确定性问题：模糊论集法、概率统计法、蒙特卡洛法生物、医学系统：隔舱系统法结合其他建模方法（蒙特卡洛法）非工程的社会问题：层次分析法、网络分析法，结合博弈矩阵描述法。3.2机理分析法原理在若干简化假设条件下，以各学科专业知识为基础，通过分析系统变量间的关系和运动规律，而获得解析型数学模型。步骤分析系统的功能、原理，描述建模目标找出系统的输入和输出变量按照系统（部件、元件）遵循的物化（或生态、经济）规律列写出各部分的微分方程或传递函数消除中间变量得到初步数学模型进行模型标准化进行验模3.2机理分析法－－实例机械系统力学模型：力平衡方程：牛顿第二定律：质点运动的功和能：拉格朗日方程：力与能的关系。刚体运动的拉格朗日方程：平动、转动方程刚体运动的欧拉方程：力矩和力方程3.2机理分析法－－实例例：质量－弹簧－阻尼系统：M1M2k1f1f2y1y2FK23.2机理分析法－－实例电子（电气）系统电阻器、电容器、电感器模型基尔霍夫定律：第一（电势）、第二（电流）定律戴维南定律：阻抗理论3.2机理分析法－－实例例：串联RC滤波电路C1C2R1R2i1i2u1u23.2机理分析法－－实例机电系统例：电机拖动位置伺服系统系统工作原理分析：由检测元件（自整角机）、放大器、执行电机、局部测速反馈、减速装置和负载构成的典型负反馈闭环位置随动系统。变量：输入r，输出c方程：自整角机：比例环节放大器：比例环节伺服电机：基尔霍夫定律等负载特性：齿轮、力矩传递函数：模型变换验模：试验测试，辨识3.2机理分析法－－实例3.2机理分析法－－实例3.2机理分析法－－实例微分方程为:3.3直接相似法原理定义：利用相似原理实现系统之间变量等效的一种建模方法应用：系统的数学模型，不同的物理变量。下面二阶系统中的变量可以是：电荷或磁通线位移角位移3.3直接相似法相似系统间的参数对应关系及模型系统类型对应相似参数模型（方程）电路系统电压u电流I电量Q电阻R电感L电容C线运动力F速度v位移y阻尼N质量M刚度K角运动力矩T角速度w角位移阻尼惯性矩J刚度K液压系统压力p流量q容积V阻尼惯性M液容c气压系统压力p流量q容积V阻尼惯性M气容c3.3直接相似法共同点:常参量线性元件和线性控制的运动方程是常系数微分方程运动方程的系数由元件或者系统结构本身的参量组合而成,是不是实数对于统一元件或系统,由于取输出量不同,运动形式也不同方程的形式取决于:元件系统结构物理过程一维常系数线性系统运动微分方程普遍式:3.4系统辨识方法定义：通过测量系统在外作用（输入）下的系统响应（输出）数据，按照一定的准则，在给定的约束条件下，从试验数据中选择和拟合一个反映系统本质属性的数学模型结构，并确定出模型中的未知参数。系统辩识三要素:数据模型类等价准则黑箱理论与模型辨识差异系统黑箱人比较模型实践结果实践结果实践结果认识对认识修改3.4系统辨识方法系统辨识基本过程明确辩识的目的和先验知识试验设计模型类型和结构的确定参数估计模型校验3.4系统辨识方法系统辨识过程模型框架：模型类别根据对被识系统的综合分析和建模目标，确定模型类：静态或动态，线性或非线性，连续或离散，定量或定性，参数或非参数模型结构：变量间关系判别方法：辨识模型的阶次。经典法：统计假设检验法近似法：预报误差法和信息度量法模型参数：向量参数。参数估计、状态估计性能准则函数：二次型准则、极大似然准则估计算法：阶跃响应法；最小二乘法、极大似然法3.4系统辨识方法应用火力热电场热工过程的动态特性飞行器气动参数模型自适应控制系统算法设计化工工程动力学参数确定大气污染扩散模型人口控制中的预报和决策模型3.5概率统计法原理在理论分析和实验的基础上，利用概率统计知识和方法建立实际随机系统或过程的数学模型的过程。实质是：通过理论分析和试验寻求适合与系统随机性的概率分布。过程确定分布类型，进行验证。正态分布：电子噪声、测量误差泊松分布：典型排队服务系统（交通管理、飞机起降、电话呼叫）指数分布：电子元器件寿命爱尔朗分布：话务密度应用某武器系统可靠性预估人口随机模型：出生率和死亡率3.5概率统计法实例－－可靠性预估复合系统的可靠度模型：系统的可靠度概率模型：3.6定性推理法概念：定性仿真(QualitativeSimulation)是以非数字手段处理信息输入、建模、行为分析和结果输出等仿真环节，通过定性模型推导系统的定性行为描述。是系统仿真与人工智能理论交叉产生的新领域。特点：这种仿真能处理多种形式的信息，有推理能力和学习能力，能初步模拟人类思维方式，人机界面更符合人的思维习惯，结果更易理解。3.6定性推理法现实意义实际系统过于复杂或知识不完备、缺乏信息，无法构造精确定量的模型实际系统具有模糊性和不确定性，难以量化有时仅需知道系统的定性结果，而无需作复杂的定量计算希望模拟人的思维方式，得到一类模型的一般解定性仿真为人工智能、专家系统、智能控制等领域提供了有效的定性模型评价手段3.6定性推理法原理模仿人的思维方式，推导系统定性行为的描述三大类别：（1）模糊数学法、（2）归纳推理法（GSPS技术）、（3）朴素物理学法3.6定性推理法推理方法基于P－范数的近似推理方法：多输入(采用对应语义规则处理信息)和单输出系统。可以用神经网络来实现：分层(5层)的多输入单输出系统

系统输入R1R2Rnf()yx1x2xnz1z2zn3.6定性推理法应用轧钢加热炉的能耗预测定义语义规则，建立定性模型利用数据进行神经网络训练检验训练结果3.6定性推理法定性仿真的发展方向（1）采用定量与定性结合的仿真方法（2）采用模型分解方法（3）采用并行定性仿真方法3.7层次分析法（AHP）美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂SAATY于本世纪70年代初，在为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。综合定性与定量分析，模拟人的思维决策过程以解决许多因素，特别是难以定量描述的社会系统的分析方法77年第一届国际数学建模会议《无结构决策问题的建模——层次分析理论》

3.7层次分析法定义是将决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。

对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法

原理将复杂的问题分解成若干层次，在比原来简单的低层次上逐步分析。比较若干因素对同一目标的影响，把决策者的主观判断用数量形式表达和处理，从而确定出它在目标中的比重，最终选择比重最大的系统方案。是一种定性和定量相结合的系统分析方法，半定性、半定量的问题转化为定量计算问题，复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析、决策提供定量的依据。

3.7层次分析法层次分析法的步骤：

（1）通过对系统的深刻认识，确定该系统的总目标，弄清规划决策所涉及的范围、所要采取的措施方案和政策、实现目标的准则、策略和各种约束条件等，广泛地收集信息。

（2）建立一个多层次的递阶结构，按目标的不同、实现功能的差异，将系统分为几个等级层次。

（3）确定以上递阶结构中相邻层次元素间相关程度。构造两两成对比较的判断矩阵A,矩阵运算的数学方法，确定对于上一层次的某个元素而言，本层次中与其相关元素的重要性排序--相对权值。进行层次单排序及其一致性检验：求A的特征根

（4）计算各层元素对系统目标的合成权重，进行总排序，以确定递阶结构图中最底层各个元素的总目标中的重要程度。

（5）根据分析计算结果，考虑相应的决策。

3.7层次分析法层次分析法基本思路-----先分解后综合的系统思想

整理和综合人们的主观判断，使定性分析与定量分析有机结合，实现定量化决策。

首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。3.7层次分析法应用层次分析法注意事项

如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的关系不正确，都会降低AHP法的结果质量，甚至导致AHP法决策失败。为保证递阶层次结构的合理性，需把握以下原则：

1、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多；

2、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较3.7层次分析法应用资源分配选优排序政策分析冲突解决决策预报3.8计算机辅助建模模式辅助建模系统基本组成数据库：试验数据、中间和最后结果、数学模型算法库：参数辨识算法、矩阵指数及其积分算法、仿真积分算法知识库：学科知识、数学知识、模型分析知识推理方法产生式规则：IF、THEN（条件和动作）。数据驱动、目标驱动、混合策略框架结构：三级嵌套表（格、槽、面）推理方法：例示、继承、匹配等模式描述式建模方法使用符号模式表示辅助数学建模和模型表示。如：控制系统结构图；工程系统中的方框图、状态图、数据流图；化工键图；液压键图等3.8计算机辅助建模实际应用Matlab/Simulink（一体化建模/仿真/可视化工具）在计算机技术飞速发展的今天，许多科学研究、工程设计由于其复杂性越来越高，因此与计算机的接合日趋紧密。也正是计算机技术的介入，改变了许多学科的结构、研究内容和研究方向。例如，计算流体力学、计算物理学、计算声学等新兴学科的兴起，均与计算机技术的发展分不开。控制理论、仿真技术本身与计算机的接合就十分紧密，而随着专业领域的研究深入和计算机软硬件技术的发展，这种联系呈现更加紧密。计算控制论的建立，足以说明这个问题。而这种发展，又以系统仿真技术的发展分不开的。为了满足用户对工程计算的要求，一些软件公司相继推出一批数学类科技应用软件，如Matlab、Xmath、Mathematica、Maple等。其中MathWorks公司推出的Matlab由于有强大的功能和友好的用户界面受到越来越多的科技工作者的青睐，尤其是控制领域的专家和学者.3.8计算机辅助建模Matlab具有友好的工作平台和编程环境、简单易学的编程语言、强大的科学计算和数据处理能力、出色的图形和图像处理功能、能适应多领域应用的工具葙、适应多种语言的程序接口、模块化的设计和系统级的仿真功能等，诸多的优点和特点。支持Matlab仿真是Simulink工具箱，Simulink一般可以附在Matlab上同时安装，也有独立版本来单独使用。但大多数用户都是附在Matlab上，以便能更好地发挥Matlab在科学计算上的优势，进一步扩展Simulink的使用领域和功能。3.8计算机辅助建模近几年来，在学术界和工业领域，Simulink已经成为动态系统建模和仿真领域中应用最为广泛的软件之一。Simulink可以很方便地创建和维护一个完整地模块，评估不同地算法和结构，并验证系统的性能。由于Simulink是采用模块组合方式来建模，从而可以使得用户能够快速、准确地创建动态系统的计算机仿真模型，特别是对复杂的不确定非线性系统，更为方便。Simulink模型可以用来模拟线性和非线性、连续和离散或者两者的混合系统，也就是说它可以用来模拟几乎所有可能遇到动态系统。另外Simulink还提供一套图形动画的处理方法，使用户可以方便的观察到仿真的整个过程。Simulink没有单独的语言，但是它提供了S函数规则。所谓的S函数可以是一个M函数文件、FORTRAN程序、C或C++语言程序等,通过特殊的语法规则使之能够被Simulink模型或模块调用。S函数使Simulink更加充实、完备，具有更强的处理能力。3.8计算机辅助建模同Matlab一样，Simulink也不是封闭的,他允许用户可以很方便的定制自己的模块和模块库。同时Simulink也同样有比较完整的帮助系统，使用户可以随时找到对应模块的说明，便于应用。综上所述，Simulink就是一种开放性的，用来模拟线性或非线性的以及连续或离散的或者两者混合的动态系统的强有力的系统级仿真工具。目前，随着软件的升级换代，在软硬件的接口方面有了长足的进步，使用Simulink可以很方便地进行实时的信号控制和处理、信息通信以及DSP的处理。世界上许多知名的大公司已经使用Simulink作为他们产品设计和开发的强有力工具。3.8计算机辅助建模利用Simulink仿真，因此，我们对其建模有以下基本要求：清晰性一个大的系统往往由许多子系统组成，因此对应的系统模型也由许多子模型组成。在子模型与子模型之间，除了为实现研究目的所必需的信息联系以外，相互耦合要尽可能少，结构尽可能清晰。切题性系统模型只应该包括与研究目的有关的方面，也就是与研究目的有关的系统行为子集的特征描述。对于同一个系统，模型不是唯一的，研究目的不同，模型也不同。如研究空中管制问题，所关心的是飞机质心动力学与坐标动力学模型；如果研究飞机的稳定性和操纵性问题，则关心的是飞机绕质心的动力学和驾驶仪动力学模型。3.8计算机辅助建模精确性同一个系统的模型按其精确程度要求可以分为许多级。对不同的工程，精确程度要求不一样。例如用于飞行器系统研制全过程的工程仿真器要求模型的精度较高，甚至要考虑到一些小参数对系统的影响，这样的系统模型复杂，对仿真计算机的性能要求也高；但用于训练飞行员的飞行仿真器，对模型的精度要求则相对低一些，只要被培训人员感觉“真”即可。集合性这是指把一些个别的实体能组成更大实体的