自控原理(3)教程文件

自控原理(3)*过渡过程：系统受到外作用时，控制过程不会立即发生，而是有一定的延缓，这就使得被控量恢复到期望值或跟踪输出量有一个时间过程。一般认为c(t)进入±△（误差带）后过渡过程结束。例如：单位阶跃输入信号作用下，反馈系统的过渡过程为：

r(t)10ta

单位阶跃信号10tc(t)0.52Δ

tdtrtptsb、单位阶跃信号作用下反馈系统的过渡过程曲线（误差带2△一般取0.02或0.05）2)

动态性能指标：

延迟时间

td

：指响应从0到第一次达到终值（稳态值）的一半时所需要的时间；上升时间

tr

：指响应从0到第一次达到终值（稳态值）时所需要的时间；AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析峰值时间

tp

：指响应从0到达第一次峰值（最大值）时所需要的时间；调节时间

ts

：即过渡过程时间。指响应到达并保持在终值±5%（△=0.05）或±2%（△=0.02）内所需要的最短时间。超调量σ

：指阶跃响应的最大值超出其稳态值的部分。振荡次数N：指c(t)穿越c(∞)水平线的次数的一半。

其中σ——平稳性；N——阻尼性。

3)稳态性能指标：

稳态误差ess：指响应的稳态值与期望值之差。系统控制精度（准确性）或抗扰动能力的一种度量。AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析3．2一阶系统的时域分析(1)一阶系统的数学模型

(2)一阶系统的单位阶跃响应

微分方程式复域表达式（惯性环节）AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析即c(t)是单调上升的。

t

0

T2T

3T

4T

5T…c(t)

00.630.86

0.950.980.99…为描述方便，取t=nT,得下表根据此表数据，绘制出一阶系统的单位阶跃响应如下图：分别计算t：0→∞时的c(t)值：有c(0)=c(t)∣t=0=0,…，c(∞)=c(t)∣t=∞=1AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析c(t)10t

T2T3T4T5T一阶系统的单位阶跃响应从图中可知:当△=0.05时，ts

=3T

；

△=0.02时，ts

=4T

；结论：时间常数T

决定系统的惯性：由此可见

ts

是由T决定的。而

tp=0，σ

=0，N=0,td,tr

均可求得。

T越小，即系统惯性越小，过渡过程越快；T越大，即系统惯性越大，过渡过程越慢。

AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析

(3)一阶系统的：单位脉冲响应、单位斜坡响应及单位加速度响应参见教材P74-76。（分析方法同“单位阶跃响应”）3.3二阶系统的时域分析(1)二阶系统的数学模型

比如：RLC振荡电路的微分模型为

一般化其中

二阶系统时间常数/秒

二阶系统阻尼比或相对阻尼系数/(无量纲)

AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析一般式拉氏变换二阶系统标准式其中

二阶系统自然振荡频率或无阻尼振荡频率（弧度/秒）二阶系统阻尼比(2)二阶系统的闭环极点与单位阶跃响应1)

二阶系统的闭环极点

由闭环特征式：

得：

系统的闭环特征方程有：（S1

，S2二阶系统的闭环极点）

AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析对应于ζ

的不同取值，可以得到

s1，s2

在[s]平面上不同的分布。2)

二阶系统的单位阶跃响应

当r(t)=1时

或R(s)=1/s

时，

有：

故其中而s1，s2是ζ和ωn的函数，显然c(t)只与ζ

，ωn有关，即ζ

，ωn决定着c(t)的形式。分别讨论如下：AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析①ζ

＞1时，（过阻尼）s1，s2

为一对不等的负实数根。

s1、s20j0jt②

ζ=1时，（临界阻尼）s1，s2

为一对相等的负实数根。③0＜ζ

＜1时，（欠阻尼）s1，s2

为一对具有负实部的共轭复根。AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析④当ζ

=0时，（无阻尼，零阻尼）s1，s2

为一对幅值相等的虚根。

⑤当ζ

＜0时，（负阻尼）s1，s2

为一对不等的正实部根。

小结：i）二阶系统正常工作的基本条件是ζ＞0；而ζ＜0系统不稳定；ii）当ζ≥1时，其阶跃响应曲线是单调上升的（即非周期性的）；iii）当0＜ζ＜1时，其阶跃响应曲线是振荡衰减的（即具周期性）。AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析3）欠阻尼即0＜ζ＜1时二阶系统的单位阶跃响应动态性能分析设r(t)=1，即则二阶系统在时的单位阶跃响应式为：

AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析其中cosβ=ζ

即β=arccosζ(β

称为阻尼角)分析：

由此可见，它为一振荡衰减过程（指数衰减），振荡频率为ωd

。图示如下：e(t)10tc(t)10tAutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析ii）e(t)及c(t)的衰减速度取决于ζ

ωn的大小；iii）t→∞时，e(∞)=0则c(∞)=1；iv）σ≠0,N≠0即存在超调和振荡；σ即s1，s2的实部。亦即闭环极点到虚轴的距离；

ωd即s1，s2的虚部。亦即闭环极点到实轴的距离；ωn（自然振荡频率）：闭环极点到原点的距离;ζ=cosβ（β为阻尼角）：ωn

与负实轴夹角的余弦;v）σ、ωd、ωn、及ζ

、β的关系图示如下:AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析

峰值时间

tp

：指响应从0到达第一次峰值（最大值）时所需要的时间；由求c(t)极值的方法，即由c’(t)=0求得：jωdωnβσS1S20

6)性能指标分析σ、ωd、ωn、及ζ

、β的关系图上升时间tr：指响应从0到第一次达到终值（稳态值）时所需要的时间；所以AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析

调节时间

ts

：即过渡过程时间。指响应到达并保持在终值±5%（△=0.05）或±2%（△=0.02）内所需要的最短时间。在工程上，一般采用下列公式进行估算：延迟时间td

：指响应从0到第一次达到终值（稳态值）的一半时所需要的时间；当ζ≥0.7时：当0＜ζ

＜0.7时：在工程上，一般采用下列公式进行估算：具体求法参见教材P77。AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析超调量σ

：指阶跃响应的最大值超出其稳态值的部分。

即

σ=[c(tp)－1]×100%

结论分析：根据定义，并因为c(∞)=1，故有将代入后简化得：

a)tr、tp、ts、td

与ωn

的关系（反比关系）；b)tp、td与ζ的关系（正比关系）；ts与ζ的关系（反比关系）.AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析

c)、σ与ζ的关系（反比关系）；ζ小时，系统的平稳性差；ζ大时，系统的平稳性好。3．欠阻尼情况下，二阶系统的单位脉冲、斜坡及加速度响应的动态性能分析4．其他几种阻尼情况下，各种典型信号响应的动态性能分析不要求。5．例题分析

例题1教材：P78例题3-1(欠阻尼)、P79例题3-2（临界阻尼）。实际设计中，一般取ζ=0.4~0.8。其中以ζ=0.7时为最佳阻尼。AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析解因为例题2

某单位反馈的二阶系统，其单位阶跃输入下的系统响应如下图所示。确定系统的开环传递函数G（s）。AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析例题3

某单位反馈系统如下图所示，（1）确定系统特征参数ωn、ζ与其实际参数K、T的关系；（2）若K=16（rad/sec）、T=0.25sec，计算系统的动态性能指标。R(s)C(s)解（1）、因为与二阶系统标准形式比较，可知（2）、当K=16，T=0.25时所以AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析而因此补充练习题1

某单位反馈系统如下图所示，要求系统具有15%的超调量和0.8秒的峰值时间：（1）确定系统参数K1、K2；（2）确定系统参数K1、K2

下，系统性能指标tr、ts。R(s)C(s)(参考答案)AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析例题4

某单位反馈的二阶系统，其单位阶跃输入下的系统响应如下图所示。确定系统的传递函数G（s）。43解：由于稳态值为3（不是1）即系统增益为3而不是1。此时，系统模型变为：由于所以AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析

例题5

已知系统结构图如下图所示，单位阶跃响应的超调量σ％＝16.3％，峰值时间tp＝1s。试求：

(1)开环传递函数G(s)；

(2)闭环传递函数Φ(s)；

(3)根据已知性能指标σ％及tp确定参数K及τ；解AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析即有又因为所以AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析例题6、某控制系统结构图如下，图中G1(s)的单位阶跃响应为8/5（1-e-5t)，若r(t)＝20×1（t），求系统稳态输出c（∞）、超调量σ％及过渡过程时间ts。解(或根据定义求取)AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析根据闭环特征式，有AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析

系统结构图如下。（1）已知G1(s)的单位阶跃响应为1-e-2t，试求G1(s)；（2）当G1(s)=1/（s+2），且r（t）=10×1（t）时，求：①系统的稳态输出；②系统的峰值时间tp，超调量σ%，调节时间ts；③概略绘制系统输出响应c（t）的曲线。补充练习题2

（例题6之同类例题）AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析例题7、巳知系统的单位脉冲响应为(1)求系统的传递函数；(2)确定系统的单位阶跃响应达到稳态值的95％所需的时间。(1)系统的传递函数可通过对系统的单位脉冲响应求拉氏变换得到，即(2)系统的单位阶跃响应可通过对系统的单位脉冲响应求积分得到(教材Page30-31：传递函数性质4)注解注若巳知系统的单位脉冲响应为g(t),则系统单位阶跃响应为(因为r(t-τ)=1):AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析所以，系统的单位阶跃响应达到稳态值的95％所需的时间ts由下式决定解得（）(待定系数法)(其余同上)AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析6．二阶系统性能的改善1)改善的目的：获得满意的动态性能与稳态性能，更好的控制效果。2)改善的办法：（P83~88）①比例+微分（引入零点）：在前向通路中串一个PD控制环节；②采用测速反馈控制。3)PD控制与测速反馈控制两种方案比较（见下页附表）例题分析例题1

例如前述的补充练习题1、例题5等；

例题2

教材：P86例题3-5；AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析

性能指标

方案

PD控制测速反馈控制阻尼比增大自然频率不影响开环增益不影响降低稳态误差不影响影响超调量影响程度不同（大）（小）性能都能改善，但改善程度不同

适用场合由于其放大作用，在输入端存在严重噪声时，不宜采用对噪声有滤波作用，使用广泛附表：

PD控制与测速反馈控制两种方案比较

AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析R(s)C(s)例题3

设控制系统如图所示。试设计反馈通道传递函数H(s)，使系统阻尼比提高到希望的ζ1值，但要保持增益参数K及自然振荡频率ωn不变。解：由结构图得闭环传递函数根据题意要求，应取H(s)=τs此时，系统闭环特征方程为令解得故反馈通道传递函数为AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析3．4高阶系统的时域分析

1、定义：能用三阶或三阶以上的微分方程描述的控制系统。2、分析方法：1）定性分析；2）主导极点法；3）计算机分析3主导极点与偶极子问题

①主导极点：在所有的闭环极点中，那些离虚轴最近、且附近又没有其它零、极点，对系统动态性能影响起主导的决定性作用的闭环极点，称之为主导极点。

主导极点法：利用主导极点代替系统全部闭环极点来估算系统性能的方法，称为主导极点法。一般要求：5*∣Re[主导极点]∣＜∣Re[非主导极点或零点]∣。AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析

②

偶极子：当一对闭环零、极点重合或它们之间的距离比较小（它们之间的距离比其本身的模值小一个数量级以上）时便构成偶极子。4、利用主导极点法系统性能指标

利用主导极点法可以将高阶系统化成低阶（一阶或二阶系统来近似地对高阶系统进行等效分析。3．5线性系统的稳定性1、稳定的定义：若线性系统在初始扰动影响下，其动态过程能够逐渐衰减并趋于零，即系统能回到原来的平衡工作点，则称系统渐近稳定，简称稳定。否则为不稳定。2、系统稳定的充要条件（P95）：系统的所有闭环特征根都具有负实部；或者系统闭环传递函数的极点均严格位于左半s平面。（ζ

＞0）

<说明如下>

AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析系统稳定的“充要条件”的两点说明：

1）若有部分闭环极点位于虚轴上，而其余极点分布在左半S平面时，系统将处于临界稳定状态（ζ

=0）。2）若有一个或一个以上的闭环极点位于右半S平面时，则系统将处于不稳定状态（ζ

＜0）。3、稳定性的判定1）三个稳定判据

劳斯（Routh）判据;<常用>

胡尔维茨（Hurwith）判据;

林纳德-奇帕特（Lienard-Chipard）判据a、前提：稳定的充分必要条件（特征方程的根）；b、依据：根与系数的关系；c、方法：列（劳斯）表计算。AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析2)

Routh判据判定方法：根据劳斯表中第一列元素的符号来判定：若劳斯表中第一列元素的符号均严格为正，则系统稳定；若劳斯表中第一列元素的符号出现负号，则系统不稳定；3）劳斯表的列写

首先，将D（s）=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0的系数排成两行：

sn

a0

a2

a4

a6…sn-1

a1

a3

a5

a7…其次，分步计算（空位置零），列写劳斯表。〈见下页〉

最后，根据劳斯表中第一列元素的符号来判定稳定性。AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析sna0a2a4…sn-1a1a3a5…sn-2b1=(a1a2-a0a3)/a1

b2=(a1a4-a0a5)/a1

b3=(a1a6-a0a7)/a1

…sn-3c1=(b1a3-a1b2)/b1

c2=(b1a5-a1b3)/b1

c3=(b1a7-a1b4)/b1

…：………0S1x1

x200S0an

000劳斯(Routh)表若a0、a1、b1、c1、xn、an都严格为正，则系统稳定；若a0、a1、b1、c1、xn、an中出现负值，则系统不稳定；此时，元素号改变的次数，恰好是具有正实部的闭环特征根个数。AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析4）劳斯表特殊情况处理①第一列元素出现“0”项（下面一项为∞）：在原特征方程D（s）=0中乘以一个任意的（s+a）因子，（a＞0），然后对新的特征方程D（s）（s+a）=0重新列写劳斯表。劳斯表中出现全0行：以全0行上面那一行的系数建立一个辅助方程F（s）=0，并对其求导一次，再用F'（s）=0的系数代替全0行各元素，继续列劳斯表。若系统存在正实部根，则可以由辅助方程F（s）=0求出一部分，其余的正实部根可以由D（s）/F（s）=0求得。AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析例题1

教材：P96例3-8(用劳斯判据验证)。解：由于得到特征方程为s32TK+1s2T+2Ks1(T+2)(K+1)-2TKT+20s0K0根据特征方程，列些劳斯表根据劳斯判据要求T>0,T+2>0,K>0及由于T与K互为条件，因此可以解得：以及AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析例题2

教材P98例3-9、P99例3-10、P100例3-11。

例题3设某线性系统的闭环特征方程为试用劳斯判据判定系统稳定性。s4135s3240s2150s1-600s0500由于劳斯表中第一列元素出现了“-6”，且“+”、“-”符号变化了两次，说明系统不稳定，系统有两个正实部根。解：根据特征方程，列些劳斯表AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析例题4设单位反馈系统的开环传递函数为(1)试确定系统稳定时K的取值范围。s315s26Ks1(30-K)/60s0K0解(1)根据开环传递函数，得特征方程(2)若要求系统的闭环特征根均位于s=-0.1垂线之左边，那么K应该取什么值？并列些劳斯表如下:由劳斯表可知，K的取值范围是：0<K<30(2)若要求系统的闭环特征根均位于s=－0.1垂线之左边，可用z=s+0.1代替s做线性变换

，并将s=z－0.1代入原来的特征方程，得：再以该特征方程列些劳斯表，求得0.441<K<21.39AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析例题5设某线性系统的闭环特征方程为试求(1)

在[s]平面右半部分的根(正实部根)的个数(正实部根);(2)虚根。解（1）根据特征方程，列些劳斯表s6182016s521216s421216s300由于s3的对应行的元素全为0，所以，利用其上面行的元素作为系数，构成辅助方程：对其求导一次，得再以系数8和24取代s3

的对应行的0元素，继续列些劳斯表。AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析s6182016s521216s421216s3824s2616s12.67s016由于表中第一列元素全为正，所以，没有特征根在[s]右半平面。（1）虚根虚根可由辅助方程求得，令解得AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析例题6、已知单位负反馈系统的开环传递函数为试确定使系统以2rad/sec的频率持续振荡的K和a的取值。系统特征方程为s31K+2s2aK+1s1（a-1）K+2a-1a0s0K+10列写劳斯表解AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析考虑到系统以ωn=2等幅振荡，用s2行的系数构造辅助方程

F（s）=as2+K+1=0依题意，表中应有全0行，故有联立（1）、（2）解得a=0，K=－1和a=3/4，K＝2

将两组解分别代入特征方程可知a=0，K=－1不符合题意。因此，使系统以2rad/sec的频率持续振荡的a=3/4，K＝2…（1）…（2）得即AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析例题7：已知系统结构图如下，试用劳斯稳定性判据确定能使系统稳定的反馈参数τ的取值范围。解：系统的闭环传递函数为R（S）

1+1/S1/S（S+1）τSC（S）闭环特征方程为：劳斯表为

s

311

s

21+τ1

s

1

τ/（1+τ）0

s

010根据表中第一列元素大于零的要求，可知

τ＞0AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析

例题8：单位反馈系统的开环传递函数如下，试确定能使系统稳定的K的取值范围。解：系统的闭环特征方程为：s（0.1s+1）(0.25s+1)+K=0

s

30.0251

s20.35K

s1(0.35-0.025K)/0.350

s

0

K列写劳斯表如下：根据表中第一列元素大于零的要求，有0.35-0.025K＞0及K＞0即：0.025s

3+0.35s

2+s+K=0故有0＜K＜14AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析例题9：某控制系统的特征方程为:

s

3+（λ+1）s

2+(λ+μ-1)s+μ-1=0式中λ、μ为待定参数,试确定能使系统稳定的参数λ、μ的取值范围。（提示：用劳斯稳定性判据可确定。参数λ、μ的取值范围是λ＞0及μ＞1）

小结：

①系统的稳定性只与本身结构参数有关，而与初始条件、外作用无关；②系统的稳定性只取决于系统的闭环特征根（极点），而与零点无关。AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析3.6误差分析与计算1、误差的概念：在外作用下，系统的实际输出与期望输出之间的偏差。（1）误差E（s）－G（s）H（s）R(s)E(s)C(s)B(s)系统的误差又有两种定义方法，分述如下：一种是，从输出端定义：E（s）=R（s）－C（s）特点：容易测量。但由于信号的性质可能不一样，故不便于理论分析。有两种描述方式，即误差E（s）与稳态误差ess。AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析第二种，是从输入端定义：E（s）=R（s）－B（s）这种的特点是：不容易测量，但便于理论分析。（教材以第二种为主）（2）稳态误差ess只有稳定系统才讨论稳态误差ess，并可应用极限或终值定理求得。2系统的类型及稳态误差的计算（1）系统的类型设某高阶系统具有以下开环传递函数形式或者（极限法）（终值定理法）AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析其中：K——开环增益τi，Tj——时间常数υ——开环系统[s]平面坐标原点上的重极点数。并定义系统：当υ=0时为0型系统；

υ=1时为Ⅰ型系统；

υ=2时为Ⅱ型系统；……

υ=n

时为n

型系统.（2）给定输入下稳态误差的计算①阶跃信号输入下稳态误差ess与静态位置误差系数KP的计算设r（t）=R·1（t）即R（s）=R/s

则有:AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析其中

KP

=K

υ=0相应地，ess=R/（1+K）υ=0∞υ≥10υ≥1（静态位置误差系数）斜坡信号输入下稳态误差ess与静态速度误差系数Kv的计算设r（t）=R·t,即R（s）=R/s2

则有:其中(静态速度误差系数)AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析设r（t）=R·t2/2,即R（s）=R/s3

则有:

Ka

=0υ=0，1相应地，ess=∞υ=0，1

K

υ=2R/K

υ=2∞υ≥30υ≥3

Kν

=0υ=0相应地，

ess=∞υ=0

K

υ=1R/K

υ=1∞υ≥20υ≥2③加速度信号输入下稳态误差ess与静态加速度误差系数Ka的计算其中(静态加速度误差系数)AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析小结：见P107附表3-5输入信号作用下的稳态误差注意：K——系统开环增益AutomaticControlTheory§3.线性系统时域分析