自动控制原理第八章复习进程

自动控制原理第八章..前面几章讨论的系统都是线性系统，即满足叠加性和齐次性。实际上，由于控制元件或多或少地带有非线性特性，所以严格地说实际的自动控制系统都是非线性系统。如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件或环节，则此系统即为非线性系统。非线性对象指其运动规律要用非线性代数方程或微分方程描述，而不能由线性方程描述。控制系统中若含有非线性部件或环节，就成为非线性控制系统。引言1/13/20232《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统一些非线性系统作为线性系统来分析，这是由于：①系统的非线性不明显，可近似为线性系统；②某些系统的非线性特性虽然较明显，但在某些条件下，可进行线性化处理，作为线性系统来分析。这类系统统称为非本质非线性系统。但是当系统的非线性特征明显而且不能进行线性化处理，或者它的时域响应不能用线性微分方程（一般只能用非线性微分方程来描述，具有非线性数学模型）来描述，则称为非线性系统，或称为本质非线性系统。1/13/20233《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统非线性系统的特性一、稳定性线性系统的稳定性只取决于系统结构和参数，与输入信号及初始条件无关。但非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，还与输入信号及初始条件有关。即，可能在某个初始条件下稳定，而在另一个初始条件下系统可能不稳定。例如，某系统的数学模型为非线性方程描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即x1=0和x2=1。将上式改写为。设t=0时，系统的初始状态为x0，积分上式得1/13/20234《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统（1）当初始条件x0＜1时，1－x0＞0，上式具有负的特征根，其暂态过程按指数规律衰减，该系统稳定。（2）当x0=1时，1－x0=0，上式的特征根为零，其暂态过程为一常量。（3）当x0＞1时，1－x0＜0，上式的特征根为正值，系统暂态过程按指数规律发散，系统不稳定。系统的暂态过程如图所示。由于非线性系统的这种性质，

在分析它的运动时不能应用线性叠加原理，这是与线性系统的本质区别。1/13/20235《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统二、响应过程线性系统响应过程与输入信号的大小及初始条件无关。如果某系统在某初始条件下的响应过程为衰减振荡，则其在任何输入信号及初始条件下该系统的暂态响应均为衰减振荡形式。

非线性系统可能会出现某一初始条件下的响应过程为单调衰减，而在另一初始条件下则为衰减振荡，如图所示。在静态下，非线性系统的输出量中可能含有输入信号中没有的模态。1/13/20236《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统三、自持振荡线性二阶系统只在阻尼比ζ=0时给予阶跃作用，将产生周期性响应过程,此时系统处于临界稳定状态。实际上,一旦该系统参数发生微小变化,该周期性状态就无法维持,要么发散至无穷大,要么衰减至零。而非线性系统即使在没有外作用时,也有可能产生频率和振幅一定的稳定周期性响应。该周期响应过程物理上是可实现并可保持的,通常将其称为自持振荡或自振荡,如右图所示。1/13/20237《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统如果自振荡的幅值在允许范围内，按照李雅普诺夫(Lyapunov)关于稳定性的定义（第十一章），系统是稳定的。自振荡是人们特别感兴趣的一个问题，对它的研究有很大的实际意义。如火炮系统若发生自振，当瞄准具对准一个目标，炮口由于自振而不停摆动，是打不中目标的，另外对系统本身磨损也很厉害，所以有必要专门研究非线性系统的稳定性及自振问题。在多数情况下,正常工作时不希望有振荡存在，必须设法消除它。但在某些情况下，特意引入自振荡，将使系统有良好的稳态、暂态性能。1/13/20238《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统四、正弦输入响应在正弦信号作用下，线性系统的输出是与输入信号同频率的正弦信号。而非线性系统在正弦信号作用下的响应则很复杂，有时输出信号频率为输入频率的倍频、分频等现象。非线性系统的倍频振荡和分频振荡

1/13/20239《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统一些非线性系统的幅频特性会出现跳跃谐振及多值响应现象。非线性系统响应还有其他与线性系统不同的现象，无法用线性系统的理论来解释。在一些情况下，引入某些非线性环节，可以使系统获得比线性系统更为优异的性能。实际上大多数智能控制都属于非线性控制范畴。非线性弹簧输出的幅频特性

1/13/202310《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统实际中常见的非线性例子实际的非线性例子：晶体管放大器有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；有时，工程上还人为引入饱和特性用以限制过载。电动机输出轴上总是存在摩擦力矩和负载力矩，只有在输入超过启动电压后，电动机才会转动，存在不灵敏区（死区）；当输入达到饱和电压时，由于电动机磁性材料的非线性，输出转矩会出现饱和，限制了电动机的最大转速。各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙。开关或继电器会导致信号的跳变。1/13/202311《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统常见非线性因素对系统运动特性的影响一、死区死区又叫不灵敏区，系统中的死区是由测量元件的死区、放大器的死区以及执行机构的死区所造成的。有时人为地引入死区特性，可用于消除高频小幅度振荡，减少系统中器件的磨损。1/13/202312《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统二、饱和饱和特性也是系统中最常见的一种非线性特性，几乎所有的放大器都存在饱和现象。饱和特性及其信号的等效放大倍数如下图所示。粗略看，饱和特性的存在相当于在较大信号作用时，系统增益下降。1/13/202313《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统设随动系统如下图所示当系统输入端加上一个幅值较大的阶跃信号时，若放大器无饱和限制，系统的时间响应曲线如图中的曲线1；放大器有饱和限制时的时间响应曲线如曲线2。1/13/202314《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统若随动系统的方块图如下图所示若系统中不存在饱和特性的限制，系统是振荡发散的（曲线1）；若系统中存在饱和特性的限制，则系统不再发散，而是出现稳定的等幅振荡，如曲线2。1/13/202315《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统系统包含饱和时，等效K↓出于对系统安全性的考虑，实际应用中常常加入各种限幅装置，使系统产生自振荡，其特性也属饱和特性。1/13/202316《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统三、间隙间隙对系统性能的影响也很复杂，一般来说，间隙的存在对系统总是不利的:(1)首先，它使系统的稳态误差扩大；(2)使系统的动态性能变差，使振荡加剧，稳定性变差。齿轮传动系统中，为了保证转动灵活不至于卡死，必须有少量的间隙。由于存在间隙，当主动轮的转向开始改变时，从动轮仍保持原有的位置，直到主动轮转过了2b间隙，在相反方向与从动轮相啮合后，从动轮才开始转动。1/13/202317《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统四、摩擦摩擦非线性对小功率角度随动系统来说，是一个很重要的非线性因素。它的影响，从静态上看，相当于在执行机构中引入了死区，从而造成了系统的静差，这一点和死区的影响相类似。直流电动机的方框图摩擦力矩示意图1/13/202318《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统小功率随动系统方框图低速爬行现象改善慢变化过程平稳性的方法

1/13/202319《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统五、继电为了改善系统的性能，常常在系统中引入继电器特性。如图是用极化继电器控制伺服电动机的原理图。当继电器线圈中的电流i=0时，其触点位于中间位置，电动机断电。当0＜i＜i1时,（i1是极化继电器的吸合动作电流）触头仍不动作，当i＞i1时，触头动作，电动机电枢电压U=Um。当继电器线圈中电流减小时，由于返回电流i2小于动作电流i1，故仅当i＜i2时触点才断开，电动机断电。当继电器线圈电流反向变化时也会出现类似的情况。1/13/202320《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统继电器的输入输出特性若i=0，即继电器的动作电流及返回电流均为零值切换，则称这种特性为理想继电器特性，如右图所示。理想继电器特性1/13/202321《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统1.非线性现象的普遍性非线性是宇宙间的普遍规律非线性系统的运动形式多样，种类繁多线性系统只是在特定条件下的近似描述2.非线性系统的一般数学模型其中，f(·)和g(·)为非线性函数。8.1非线性控制系统概述1/13/202322《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统3.非线性系统的分类按非线性环节的物理性能及非线性特性的形状划分，非线性特性有死区、饱和、间隙和继电器等。

x(t)

y(t)(1)死区特性（不灵敏区特性）很小时作为线性特性处理特征：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。调节器和执行机构的死区各类液压阀的正重叠量系统的库伦摩擦测量变送装置的不灵敏区弹簧预紧力等较大时将使系统静态误差增加系统低速不平滑性死区或不灵敏区1/13/202323《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统特点：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持恒定。

x(t)

y(t)放大器的饱和输出特性磁饱和元件的行程限制功率限制等(2)饱和特性1/13/202324《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统(3)间隙特性特点：输入输出之间具有多值关系。元件开始运动：输入信号<a时，无输出信号；当输入信号>a以后，输出随输入线性变化。元件反向运动：保持在运动方向发生变化瞬间的输出值；输入反向变化>2a，输出随输入线性变化。齿轮传动中的齿隙液压传动中的油隙间隙输出相位滞后，减小稳定裕量，动态特性变坏。

y(t)

x(t)c1/13/202325《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统

y(t)

x(t)(4)继电器特性理想继电器

具有死区的单值继电器具有滞环的继电器具有死区和滞环的继电器包含有死区、饱和、滞环特性

y(t)

x(t)

y(t)

x(t)

x(t)

y(t)

y(t)

x(t)1/13/202326《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统以非线性环节的输入和输出之间存在的函数关系划分，非线性特性可分为单值函数和多值函数两类。死区特性、饱和特性和理想继电器特性都属于单值情况；间隙特性和一般继电器特性属于多值情况。多值函数的非线性特性将使频率响应产生。1/13/202327《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统4.非线性系统特征不适用叠加性原理稳定性分析复杂非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，也与初始条件以及系统的输入信号的类型和幅值有关。可能存在自持振荡（极限环）现象自持振荡是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内部产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动。线性系统的运动状态只有收敛和发散，只有在临界稳定的情况下才能产生周期运动。1/13/202328《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统频率响应发生畸变非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量外，还含有w的高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。

应当明确指出的是：非线性系统分析中不能使用叠加原理,也不能使用线性系统分析中传递函数、频率特性数学模型，即G(s)、G(jw)对非线性系统不适用。1/13/202329《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统5.非线性系统的分析与设计方法非线性系统分析的重点某一平衡点是否稳定，如果不稳定应当如何校正？系统中是否会产生自持振荡，如何确定其周期和振幅？如何利用或消除自持振荡以获得需要的性能指标？1/13/202330《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统基本的非线性系统研究方法小范围线性近似法逐段线性近似法反馈线性化法相平面法相平面法是非线性系统的图解法，只适用于阶数最高为二阶的系统。

描述函数法（一次谐波近似法,1940年P.J.Daniel）描述函数法是非线性系统的频域法，适用于具有低通滤波特性的各种阶次的非线性系统。

李雅普诺夫（Lyapunov）法（第十一章）计算机仿真（非线性微分方程的一种数值解法。）1/13/202331《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统8.3描述函数法问题的提出线性系统理论相对成熟，能否将一些非线性系统近似为线性系统研究？描述函数:非线性环节的近似等效频率特性，可应用线性系统理论中的频率法对非线性系统进行频域分析。它是受线性系统频率法启发而发展出的一种分析非线性系统的方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。基本思想：当系统满足一定假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似。主要解决的问题：无外作用情况下，非线性系统的稳定性和自持振荡。1/13/202332《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统一、描述函数的定义1.基本概念y(t)奇函数（斜对称）输出的一次谐波分量1/13/202333《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统2.应用基本假设设非线性系统可以简化为如下一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构形式。设非线性环节的输入输出特性y(x)是x的奇函数，或是正弦输入下的输出为时间t的奇对称函数，则直流分量A0＝0。设非线性环节中不包含储能元件。设系统的线性部分应具有较好的高频（低通）滤波性能（则高次谐波分量通过线性部分后将被衰减到忽略不计,可以近似认为当输入为正弦信号x(t)时，只有y(t)的基波分量沿闭环反馈回路送至比较点，其高次谐波分量可忽略不计）。1/13/202334《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统3.描述函数的物理意义非线性环节的描述函数反映了非线性系统正弦响应中一次谐波分量的幅值和相位相对于输入信号的变化（或者说描述函数是非线性环节的“频率特性”，是非线性特性的谐波线性化）。线性系统频率特性是非线性系统描述函数的特例。关于输入正弦信号幅值的复变增益放大器。1/13/202335《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统举例说明：y(t)为非正弦周期函数，∵非线性特性为单值奇对称，12–1–2–1–2–3–412340xy。。。。描述函数的物理意义（续）1/13/202336《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统（只与A有关）。∴只要x(t)的A一定，描述函数的物理意义（续）也就完全确定了。1/13/202337《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统相当于用斜率为1.25的直线代替了元件的非线性特征

描述函数的物理意义（续）

之间成为线性关系，即当12–1–2–1–2–3–412340xy。。。。1/13/202338《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统

同理，A＝4时，相当于用斜率为3.5的直线代替；即进行了线性化处理。的线性关系也随之改变。

描述函数的物理意义（续）12–1–2–1–2–3–412340xy。。。。并且说明：当A改变时，N(A)也随之改变，1/13/202339《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统★用描述函数表示非线性特性时，相当于用斜率随输入振幅A而变的一簇直线代替了元件本来的非线性特性。因此，可以把非线性元件看作是一个放大器，其增益是一个复数（即复数增益放大器），该复数的模值和幅角是幅值A的函数。★用描述函数表示非线性元件后，就可以用线性理论中的频率法来研究非线性系统的基本特性，其中关键是N(A)的计算。描述函数的物理意义（续）1/13/202340《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统二、典型非线性特性的描述函数1.理想继电器特性傅氏展开斜对称、奇函数A0=An=0输入1/13/202341《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统2.一般继电特性的描述函数理想继电特性：死区继电特性：纯滞环继电特性：1/13/202342《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统∵y(t)为奇函数∴3.饱和特性1/13/202343《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统

(条件：A>c)[A<c时为线性，求N(A)无意义]；

可见:N与ω无关。饱和特性的描述函数（续）1/13/202344《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统可见：N与ω也无关。4.死区特性1/13/202345《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统5.死区饱和特性6.间隙特性

y(t)

x(t)c1/13/202346《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统几点说明：一般而言,描述函数N(A)是A的函数,与频率w无关；非线性环节为单（非单）值函数时,N(A)是实（复）数，虚部为（不为）0；如果某一非线性可以看作是两个非线性的叠加、即（并联）设y1、y2、y分别有N1(A)、N2(A)、N(A）1/13/202347《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统三、利用描述函数法分析非线性系统稳定性1.稳定性的定性分析在满足一定假设时，有其特征方程为Nyquist判据：若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是G(j)的轨迹不包围G平面的(-1,j0)。负倒描述函数（描述函数的负倒数特性)线性系统(-1,j0)?1/13/202348《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统③G(j)与负倒描述函数相交闭环系统出现自持振荡(极限环振荡)？稳定？不稳定?!振幅（A）?!频率()假设：系统开环的线性部分G(j)稳定

①G(j)不包围负倒描述函数闭环系统稳定②G(j)包围负倒描述函数闭环系统不稳定1/13/202349《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统2.自持振荡（极限环）分析当微小扰动使振幅A增大到c点时，c点被G(j

)轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A继续增大； 不返回到a。当微小扰动使振幅A减小到d点时，d点未被G(j

)轨迹包围， 系统稳定； 振幅A继续减小； 不返回到a。a点为不稳定的自振交点，无法观察到。微小扰动稳定极限环和不稳定极限环1/13/202350《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统当微小扰动使振幅A增大到e点时，e点未被G(j)轨迹包围， 系统稳定； 振幅A减小； 返回到b。当微小扰动使振幅A减小到f点时，f点被G(j)轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A增大； 返回到b。b点为稳定的自振交点，形成可观察到的稳定自持振荡。稳定极限环和不稳定极限环1/13/202351《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统1/13/202352《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统1/13/202353《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统轨迹和非线性部分的轨迹相交，这可以通过加校正实现。

1/13/202354《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统例：试判断图中各系统是否稳定；-1/N(A)与G(jω)两曲线交点是否为自振点。(a)不是(b)是(c)是(d)a,c点是，b点不是(e)是(f)a点不是，b点是(g)a点不是，b点是(h)不稳定(i)不稳定(j)稳定1/13/202355《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统1/13/202356《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统1/13/202357《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统1/13/202358《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统1/13/202359《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统用描述函数法分析系统稳定性的步骤：(1)将非线性系统化成典型结构图；(2)由定义求出非线性部分的描述函数N(A)；(3)在复平面作出G(jw)和-1/N(A)的轨迹；(4)判断系统是否稳定，是否存在极限环；(5)如果系统存在极限环，则进一步分析极限环的稳定性，并确定它的频率和幅值。另外，用描述函数法设计非线性系统时，很重要的一条是避免G(jw)和-1/N(A)的轨迹相交，这可以通过非线性校正方法实现。1/13/202360《自动控制原理》第八章非线性系统第八章非线性系统K①分析非线性系统的稳定性；②如果系统出现自持振荡，如何消除？K＝20，死区继电器特性M＝3，a＝l非