高三数学第一轮复习 空间中的垂直关系 新人教B版

学案5空间中的垂直关系名师伴你行SANPINBOOK名师伴你行SANPINBOOK考点1考点2填填知学情课内考点突破规律探究考纲解读考向预测考点3考点42.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK考纲解读空间中的垂直关系以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.3.名师伴你行SANPINBOOK考向预测

1.在客观题、解答题中以特殊几何体为载体考查线面垂直、面面垂直关系以及逻辑推理能力.2.考查线面角、面面角的方法，考查作图、证明、计算空间想像能力和推理论证能力。3.近年来开放型问题不断在高考试题中出现，这说明高考对学生的能力要求越来越高，这也符合新课标的理念，因而在复习过程中要善于对问题进行探究.立体几何中结合垂直关系，设计开放型试题将是新课标高考命题的一个热点考向.返回目录

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1.空间任意两条直线互相垂直的一般定义如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为

，则称这两条直线互相垂直.直角名师伴你行SANPINBOOK5.返回目录

2.直线与平面垂直（1）空间直线与平面垂直的定义如果一条直线（AB）和一个平面（α）相交于点O，并且和

，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作

，这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段叫做这个点到这个平面的垂线段.

叫做这个点到平面的距离.（2）直线与平面垂直的判定定理定理如果

，则这条直线与这个平面垂直.推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么

.这个平面内过交点（O）的任何直线都垂直AB⊥α垂线段的长度一条直线与平面内的两条相交直线垂直另一条直线也垂直于这个平面名师伴你行SANPINBOOK6.返回目录

（3）直线与平面垂直的性质定理①如果两条直线垂直于同一个平面，那么

.②一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的

.3.平面与平面垂直（1）定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线

，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作

.这两条直线平行任何一条直线都垂直互相垂直α⊥β名师伴你行SANPINBOOK7.返回目录

（2）平面与平面垂直的判定定理如果

，则两个平面互相垂直.（3）平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么

.在一个平面内垂直于它们交一个平面过另一个平面的一条垂线线的直线垂直于另一个平面名师伴你行SANPINBOOK8.返回目录

如图,AB为圆O的直径,C为圆周上异于AB的任一点,PA⊥面ABC,问:图中共有多少个Rt△?【分析】找出直角三角形,也就是找出图中的线线垂直.考点1线线垂直问题名师伴你行SANPINBOOK9.返回目录

【解析】∵PA⊥面ABC,∴PA⊥AC,PA⊥BC,PA⊥AB.∵AB为圆O的直径,∴AC⊥BC.又∵AC⊥BC,PA⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥面PAC.∵PC平面PAC,∴BC⊥PC.故图中有四个直角三角形:△PAC,△PBC,△PAB,△ABC.名师伴你行SANPINBOOK10.返回目录

线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的重要依据.名师伴你行SANPINBOOK11.如图,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于E,过E作EF⊥SC交SC于F.(1)求证:AF⊥SC;(2)若平面AEF交SD于G,求证:AG⊥SD.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK12.证明:(1)∵SA⊥平面AC,BC平面AC,∴SA⊥BC,∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥BC,∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥AE,又SB⊥AE,∴AE⊥平面SBC,∴AE⊥SC,又EF⊥SC,∴SC⊥平面AEF,∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC,又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD,∴DC⊥AG,又由(1)有SC⊥平面AEF,AG平面AEF,∴SC⊥AG,∴AG⊥平面SDC,∴AG⊥SD.返回目录

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如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=，求证：MN⊥平面PCD.考点2线面垂直【分析】（1）因M为AB中点，只要证△ANB为等腰三角形，则利用等腰三角形的性质可得MN⊥AB.（2）已知MN⊥CD，只需再证MN⊥PC，易看出△PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可得MN⊥PC.名师伴你行SANPINBOOK14.返回目录

【证明】(1)如图,连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN=PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN=PC.∴AN=BN,∴△ABN为等腰三角形,又M为底边的中点,∴MN⊥AB,又∵AB∥CD,∴MN⊥CD.名师伴你行SANPINBOOK15.(2)连接PM,CM，∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC，∴PA=BC.又∵M为AB的中点，∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,∴MN⊥平面PCD.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK16.

垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来.返回目录

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如图所示,Rt△ABC的斜边为AB，过A作AP⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：PB⊥平面AEF.名师伴你行SANPINBOOK18.证明：AP⊥平面ABCAP⊥BCBC⊥ACAP∩CA=AAF⊥PCAE⊥PBBC⊥AFAF⊥面PBCAF⊥PBBC∩PC=CAF∩AE=A返回目录

BC⊥面APCAF面APCPB⊥面AEF.名师伴你行SANPINBOOK19.考点3面面垂直返回目录

［2009年高考山东卷］如图7-5-6，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，图AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分别是棱AD,AA1的中点.（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1;（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.名师伴你行SANPINBOOK20.【证明】（1）证法一：取A1B1的中点为F1.连结FF1,C1F1.由于FF1∥BB1∥CC1,所以F1∈平面FCC1,因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连结A1D,F1C,由于A1F1D1C1CD,所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D,得EE1∥F1C.而EE1平面FCC1，F1C平面FCC1，故EE1∥平面FCC1.返回目录

【分析】证明线面平行，可转化为证线线平行或面面平行，故由条件寻求转化的关系；而证明面面垂直，一般用判定定理证明.名师伴你行SANPINBOOK21.证法二：因为F为AB的中点，CD=2,AB=4,AB∥CD,所以CDAF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.又CC1∥DD1,FC∩CC1=C,FC平面FCC1,CC1平面FCC1,AD∩DD1=D,AD平面ADD1A1,DD1平面ADD1A1,所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.故平面D1AC⊥平面BB1C1C.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK22.(2)连结AC，在△FBC中，FC=BC=FB,又F为AB的中点，所以AF=FC=FB.因此∠ACB=90°,即AC⊥BC.又AC⊥CC1，且CC1∩BC=C,所以AC⊥平面BB1C1C.而AC平面D1AC,故平面D1AC⊥平面BB1C1C.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK23.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK证明线面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线与添加辅助线解决.24.返回目录

如图,△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥EC且EC=CA=2BD,M为EA中点.求证：（1）平面BDM⊥平面ACE；（2）平面DEA⊥平面ECA.名师伴你行SANPINBOOK25.返回目录

【证明】(1)取CA中点N，连结MN,BN，在△ACE中，M,N分别为AE,AC中点，∴MN∥EC，MN=EC.而BD∥EC，BD=EC,∴BD∥MN,∴B,D,M,N四点共面.∵EC⊥平面ABC，BN平面ABC，∴EC⊥BN.又∵BN⊥AC，BN⊥EC，AC∩EC=C,∴BN⊥面ECA.又BN面BMD，∴平面BMD⊥平面ACE.名师伴你行SANPINBOOK26.返回目录

(2)∵DM∥BN，BN⊥平面ACE,∴DM⊥平面ACE.又DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ACE.名师伴你行SANPINBOOK27.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK［2009年高考北京卷］如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D,E分别在棱PB,PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC;(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由.考点4线面角与二面角28.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK【分析】（1）由PA⊥平面ABC,∠BCA=90°易证得.（2）作出∠DAE，解直角三角形.（3）先证∠AEP为二面角A—DE—P的平面角再探求.【解析】（1）证明：∵PA⊥底面ＡＢＣ，∴PA⊥BC.又∠BCA=90°,∴AC⊥BC.又∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.29.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK(2)∵D为PB的中点，DE∥BC,∴DE=BC.又由（1）知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E，∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角.∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB.又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD=AB.30.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK在Rt△ABC中，∠ABC=60°,∴BC=AB,∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=.∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为.31.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK(3)∵DE∥BC,又由（1）知，BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC.又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角.∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴∠PAC=90°,∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时，∠AEP=90°.故存在点E使得二面角A—DE—P是直二面角.32.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK（1）求直线和平面所成的角时,应注意的问题是：(1)先判断直线和平面的位置关系.(2)当直线和平面斜交时,常用以下步骤:①构造——作出或找到斜线与射影所成的角;②设定——论证所作或找到的角为所求的角;③计算——常用解三角形的方法求角;④结论——点明斜线和平面所成的角的值.（2）求二面角的大小,一般先作出二面角的平面角.此题是利用二面角的平面角的定义作出∠CDC′为二面角A—BD—C的平面角,通过解∠CDC′所在的三角形求得∠CDC′.其解题过程为:作∠CDC′→证∠CDC′是二面角的平面角→计算∠CDC′,简记为“作、证、算”.33.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a,M,N分别是AB，PC的中