《空间点直线平面之间的位置关系》设计

《空间点、直线、平面之间的位置关系》教学设计【教学目标】1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．2.了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示3.了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．【教学重点】掌握直线、平面之间的位置关系【教学难点】理解两异面直线的定义【课时安排】1课时【教学过程】新知初探1．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．(2)异面直线的画法：①②2．空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点思考：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？[提示]不一定．可能平行、相交或异面．3．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示思考：“直线在平面外”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗？[提示]不是.前者包括直线与平面平行及直线与平面相交这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．4．两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示α∥βα∩β＝l图形表示小试牛刀1．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面D解析：由两条直线的位置关系，可知答案为D2．正方体的六个面中互相平行的平面有()A．1对 B．2对C．3对 D．4对C解析：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，故六个面中互相平行的平面有3对．3．直线a在平面γ外，则()A．a∥γB．a与γ至少有一个公共点C．a∩γ＝AD．a与γ至多有一个公共点D[直线a在平面γ外，则直线a与平面γ平行或相交，因此直线a与γ至多有一个公共点．]4．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是．[答案]平行例题讲解空间中两条直线的位置关系【例1】⑴如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是；②直线A1B与直线B1C的位置关系是；③直线D1D与直线D1C的位置关系是；④直线AB与直线B1C的位置关系是．(2)已知三条直线a，b，c，a与b异面，b与c异面，那么a与c有什么样的位置关系？并画图说明．[思路探究][解析](1)①平行②异面③相交④异面(2)直线a与c的位置关系有三种情况，如图所示．直线a与c可能平行，如图①；可能相交，如图②；可能异面，如图③.方法总结1．判断空间中两条直线位置关系的方法(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．2．判定两条直线是异面直线的方法(1)证明两条直线既不平行又不相交．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，B∉l，l⊂α，则AB与l是异面直线(如图)．当堂练习1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上)③④解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．空间中直线与平面的位置关系[例2]给出下列四个命题：①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线，其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4思路点拨：判断直线与平面位置关系,除了定义法外,还可以借助几何体模型(如长方体等)和举反例进行逐项判断.A[解析]对于①，直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α.故①错．对于②，∵直线a在平面α外包括两种情形：a∥α，a与α相交，故②错．对于③，由直线a∥b，b⊂α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，故③错．对于④，∵a∥b，b⊂α，∴在平面α内与b平行的直线都与a平行，故④正确．方法总结直线与平面位置关系的判断(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．当堂练习2下列结论正确的是________．(1)若直线a∥平面α，直线b⊂α，则a∥b；(2)若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a与b相交；(3)若直线a⊄平面α，则a∥α或a与α相交；(4)若直线a∩平面α＝A，则a⊄α；(5)若直线a⊂平面α，直线b⊄平面α，则a，b无公共点．(3)(4)解析：(1)错，a，b还可能异面；(2)错，a，b还可能异面或平行；(3)正确，a⊄α包含两种情况，相交或平行；(4)正确，a∩α＝A，则a与α相交，有a⊄α；(5)错，a，b还可能相交．平面与平面的位置关系例3⑴给出的下列四个命题中,其中正确命题的个数是()①平面α内有两条直线和平面β平行,则这两个平面平行;②平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行;③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等,则α与β平行;④若两个不重合平面有无数个公共点,则这两个平面的位置关系是相交. (2)完成下列作图：①在图中画出一个平面与两个平行平面相交．②在图中分别画出三个两两相交的平面．解析:⑴如图甲,平面α内有无数条直线与β平行,但α与β相交;如图乙,△ABC的三个顶点到β的距离相等,但α与β相交.故①②③均错.不重合的两个平面,若它们有公共点,则它们有无数个公共点,都在它们的交线上,故④正确.(2)①如图所示，②如图所示，方法总结1．平面与平面的位置关系的判断方法：(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点．(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．2．常见的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；(2)长方体的六个面中，三组相对面平行.当堂练习3已知下列说法：①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；③若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．其中正确的是__________．(将你认为正确的序号都填上)②解析：①错，a与b也可能异面；②对，∵α∥β，∴α与β无公共点．又∵a⊂