ch3一元函数积分学

第三章微分法:积分法:互逆运算一元函数积分学二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念3.1不定积分的概念与性质第三章一、原函数与不定积分的概念引例:一个质量为m的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:已知求在变力试求质点的运动速度依据牛顿其次定律,加速度定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间

I

上的一个原函数.则称F(x)为f(x)如引例中,的原函数有问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理1.

存在原函数.初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数定理2.原函数都在函数族(C为随意常数)内.证:1)又知故它属于函数族即定义2.在区间I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;若则(C为随意常数)C称为积分常数,不行丢!例如,记作不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的全部积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线.二、基本积分表从不定积分定义可知:或或利用逆向思维(k为常数)或或例3.求解:原式=例4.求解:原式=三、不定积分的性质推论:若则例5.求解:原式例6.求解:原式=内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.干脆积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质若的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B??或由题意其原函数为思索与练习作业题:1（2）2（1）（3）（5）（7）（9）（11）（13）（15）（17）（19）P137二、其次类换元法3.2一、第一类换元法换元积分法第三章其次类换元法第一类换元法基本思路设可导,则有一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)例1.

求解:令则故原式=注:当时留意换回原变量例2.

求解:令则想到公式例4.

求解:类似例5.

求解:∴原式=常用的几种配元形式:万能凑幂法例6.

求解:原式=小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)奇异换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如思索与练习1.下列各题求积方法有何不同?二、其次类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得其次类换元积分法.难求，定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,证:令则则有换元公式例16.

求解:令则∴原式说明:1.被积函数含有除接受三角接受双曲代换消去根式,所得结果一样.或代换外,还可利用公式2.再补充两个常用双曲函数积分公式原式例19.

求解:令则原式当x<0时,类似可得同样结果.小结:1.其次类换元法常见类型:令令令或令或令或2.常用基本积分公式的补充7)

分母中因子次数较高时,可试用倒代换

令作业题:P1471.（1）（3）（5）（7）（9）（11）（13）2.（1）（3）（5）（7）（9）（11）（13）（15）（17）（19）（21）（23）（25）（27）3.3由导数公式积分得:分部积分公式或1)v简洁求得;简洁计算.分部积分法第三章例1.

求解:令则∴原式思索:如何求提示:令则原式例2.

求解:令则原式=例3.

求解:令则∴原式例4.

求解:令,则∴原式再令,则故原式=说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必需一样.解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的依次,前者为后者为例5.求解:令,则原式=反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数说明:分部积分题目的类型:1)干脆分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(留意:两次分部选择的u,v函数类型不变,解出积分后加C)3)对含自然数n的积分,通过分部积分建立递推公式.例4内容小结分部积分公式1.运用原则:易求出,易积分2.运用阅历:“反对幂指三”,前u后3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式4.计算格式:例13.求解:令则可用表格法求多次分部积分思索与练习1.下述运算错在哪里?应如何改正?得0=1答:不定积分是原函数族,相减不应为0.求此积分的正确作法是用换元法.作业题:P1531、3、5、7、9、11、13、15、173.4一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的近似计算定积分四、微积分基本公式一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积解决步骤:1)

大化小.在区间[a,b]中随意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)

常代变.在第i个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得3)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积二、定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称f(x)在[a,b]上可积.记作积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和可积的充分条件:定理1.定理2.且只有有限个间断点(证明略)例2.

用定积分表示下列极限:解:三、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k为常数)线性区间可加6.若在[a,b]上则推论1.若在[a,b]上则保号推论2.7.设则说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对8.积分中值定理则至少存在一点使内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理矩形公式梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算抛物线法公式作业题:P1634.（1）、（3）二、积分上限的函数及其导数三、牛顿–莱布尼茨公式一、引例3.5微积分基本公式一、引例在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数之间有关系:物体在时间间隔内经过的路程为这种积分与原函数的关系在确定条件下具有普遍性.二、积分上限的函数及其导数变上限积分函数定理1.

若说明:1)定理1证明白连续函数的原函数是存在的.2)其他变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开拓了道路.三、牛顿–莱布尼茨公式(牛顿-莱布尼茨公式)

定理2.函数,则例4.计算解:例5.计算正弦曲线的面积.解:内容小结则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿–莱布尼茨公式作业题:P1691（1）2（1）（3）（5）（7）（9）3（1）（3）二、定积分的分部积分法3.6不定积分一、定积分的换元法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法

定理1.设函数单值函数满足:1)2)在上则说明:1)当<,即区间换为定理1仍成立.2)必需留意换元必换限,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来运用,即或配元配元不换限例1.

计算解:令则∴原式=且例2.

计算解:令则∴原式=且例3.证:(1)若(2)若偶倍奇零设f(x)是连续的周期函数,周期为T：并由此计算二、定积分的分部积分法

定理2.

则例5.计算解:原式=内容小结基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限作业题:P1771（1）（3）（5）（7）（9）（11）（13）（15）2（1）（3）（5）（7）3（1）（3）3.7利用元素法解决:定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分的应用表示为什么问题可以用定积分解决?

1)所求量U是与区间[a,b]上的某分布f(x)

有关的2)U对区间[a,b]

具有可加性,即可通过“大化小,常代变,近似和,取极限”定积分定义一个整体量;如何应用定积分解决问题?第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式其次步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式这种分析方法称为元素法(或微元分析法)元素的几何形态常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等近似值精确值其次节4.旋转体的侧面积(补充)3.已知平行截面面积函数的立体体积一、1.平面图形的面积2.平面曲线的弧长定积分在几何学上的应用第三章1.平面图形的面积1）.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则边梯形面积为A,右下图所示图形面积为例1.

计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解:由得交点例2.

计算抛物线与直线的面积.解:由得交点所围图形为简便计算,选取y作积分变量,则有一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程

给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积2）.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应当小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为对应

从0变例5.计算阿基米德螺线解:到2所围图形面积.2.平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理:随意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)则称(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):(自己验证)3.已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,特殊,当考虑连续曲线段轴旋转一四周成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一四周成的立体体积时,有内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程留意:求弧长时积分上下限必需上大下小3.已知平行截面面积函数A(x)的立体体积旋转体的体积绕x轴:4.旋转体的侧面积侧面积元素为(留意在不同坐标系下ds的表达式)绕y轴:(柱壳法)思索与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积A及边界长s.提示:交点为弧线段部分直线段部分以x为积分变量,则要分两段积分,故以y为积分变量.3.81.变力沿直线所作的功2.液体的侧压力3.引力问题4.转动惯量(补充)定积分物理应用第三章1.变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从xa移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.在其上所作的功元素为因此变力F(x)在区间上所作的功为例1.一个单求电场力所作的功.解:当单位正电荷距离原点r时,由库仑定律电场力为则功的元素为所求功为说明:位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处(a<b),在一个带+q电荷所产生的电场作用下,面积为A的平板2.液体侧压力设液体密度为深为h处的压强:当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为••内容小结(1)先用元素法求出它的微分表达式dQ一般元素的几何形态有:扇、片、壳等.(2)然后用定积分来表示整体量

Q,并计算之.1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量Q的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功,侧压力,引力,转动惯量等.条、段、环、带、二、无界函数的反常积分3.9常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的反常积分反常积分(广义积分)反常积分第三章一、无穷限的反常积分引例.曲线和直线及x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为定义1.设若存在,则称此极限为f(x)的无穷限反常积分,记作这时称反常积分收敛;假如上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若则定义则定义(c为随意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.并非不定型,说明:上述定义中若出现它表明该反常积分发散.引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:例1.

计算反常积分解:思索:分析:原积分发散!留意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能运用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.