数字图像处理第三讲2010年3月

第三章图像变换3.1概述3.2图像的线性运算3.3二维离散傅立叶变换及其性质3.4离散图像变换的一般表达式3.5离散沃尔什—哈达玛变换(DWT—DHT)3.6离散余弦变换(DCT)3.7离散K—L变换1复习和引深：二维连续线性系统和傅立叶变换重点介绍二维离散傅立叶变换及其性质总结离散图像变换的一般表达式分别介绍沃尔什变换、哈达玛变换、离散余弦变换以及作为统计性质的K—L变换哈尔变换、小波变换不讲本章学习大纲3.1概述输出输入关系为：

1图像处理的表示34对于一维实际系统而言，其通常是因果系统，而对于图像处理而言，该二维系统通常为非因果系统

数字图像处理的算法一般都认为线性的，空间线性处理要比非线性处理简单图像处理的运算非常麻烦和费时，常采用各种图像变换的方法，如傅立叶变换、沃尔什变换等间接处理技术，可获得更有效的处理2有关图像处理的几点说明xyg(x,y)=4*f(x,y)-f(x-1,y)-f(x,y-1)-f(x+1,y)-f(x,y+1)-2-1012…210-1-2f(x,y)8-1529tf(t)-1012…g(t)=f(t)-f(t-1)因果g(t)=f(t+1)-f(t)非因果5对于一维实际系统而言，其通常是因果系统，而对于图像处理而言，该二维系统通常为非因果系统

数字图像处理的算法一般都认为线性的，空间线性处理要比非线性处理简单图像处理的运算非常麻烦和费时，常采用各种图像变换的方法，如傅立叶变换、沃尔什变换等间接处理技术，可获得更有效的处理2有关图像处理的几点说明63.2图像的线性运算3.2.1二维连续线性系统

1二维连续线性系统满足的条件1）连续性：输入输出连续，传递函数连续2）线性：满足叠加原理7

两种重要函数

定义：1）二维狄拉克(Dirac)冲激函数8

变换可得性：

可分离性：

筛选性：

积分有限性：9102）二维冲激响应函数二维冲激响应函数在分析线性时不变系统方面具有重要作用，通过系统的二维冲激响应函数能够充分描述线性时不变系统的性能。在光学系统中，二维冲激响应函数一般称为点扩散函数。

1）空间不变系统（或位移不变系统)二维狄拉克冲激函数在空间作平移，不影响输出的信号的形式，只是影响位置。2）卷积记为：

三种重要概念113）相关互相关函数：

自相关函数：

123.2.2二维连续傅立叶变换1一维连续傅立叶变换简介若实变量函数是连续可积的，即：且是可积的，则傅立叶变换对一定存在13143.2.2二维连续傅立叶变换如果为实函数，它的傅立叶变换通常是复数形式，即：傅里叶谱：相角：能量谱：例3.1是一窗函数其傅立叶变换为：15形如：的函数称为辛克函数，记为16若二变量函数绝对可积，即：且是可积的，则傅立叶变换对一定存在。2二维连续傅立叶变换1718若二变量函数绝对可积，即：且是可积的，则傅立叶变换对一定存在。2二维连续傅立叶变换傅里叶谱：相角：能量谱：19例3.2二维函数:其二维傅叶变换为：20对应的傅立叶谱为：213.3二维离散傅立叶变换及其性质3.3.1概述

卷积和相关运算在时域中处理，计算量大对信号进行DFT变换，对变换后的信号进行频域处理，比在时域中直接处理更加方便，计算量也大大减少，提高了处理速度

DFT还有一个明显的优点是有快速算法，即FFT223.3.2二维离散傅立叶变换（DFT）

1一维离散傅立叶变换离散点序列表示为：23一维离散付立叶变换对：（书上公式3.3.2与3.3.3中有一点小问题）正变换：反变换：2425离散傅里叶变换前后采样间隔满足如下关系：

对于连续傅里傅立叶变换需要满足连续可积的条件才存在，但离散傅里叶变换处理总是存在，而不必考虑连续傅里叶变换所需要的可积条件2二维离散付立叶变换正变换通常M和N取同样的值:反变换正变换反变换26271线性：设为常量3.3.3二维离散傅立叶变换的性质282可分离性:3.3.3二维离散傅立叶变换的性质29可分离性的重要性：一个二维正（反）傅立叶变换可分解为二个一维正（反）傅立叶变换。3.3.3二维离散傅立叶变换的性质再对沿每一列进行一次一维付立叶变换，又是对沿每一行进行一次一维付立叶变换，即303平移性频域平移，对应的时域需要乘以一个正的指数项，空域平移，相应的频域需要乘以一个负指数项。313平移性32研究中，常将平移到，以更清楚地做谱分析:33344周期性和共轭对称性傅立叶变换的正反变换的周期性：傅立叶变换的正反变换的共轭对称性：35375旋转不变性引入极坐标：则可以把和变换到极坐标下：此式表明，在空间旋转某一角度，在频域也旋转相同的角度，如下图所示：并存在关系式：38应用：海浪的波长及方向检测396)分配性和比例性分配性比例性40417平均值8平均值该算子通常用于检出图像的边缘。429卷积定理循环卷积定义如下：439卷积定理44其中：4510相关定理对于二维连续函数和的相关定义为：相关定理:连续形式:离散形式：46帕斯瓦尔定理47有两个缺点：要进行复数运算，计算比较费时，实际中还采用如沃尔什（Walsh）变换等频域收敛速度较慢，这在图像编码的应用中显得尤为突出动态范围很大，不利于对傅里叶谱的观察

483.4离散图像变换的一般表达式二维离散傅立叶变换的代数表达式：49如果下式成立，它们称为可分离：加法对称：50二维傅立叶变换是一种特殊情况，此时：它们都是可分离的和对称的，因为：

二维付氏变换利用可分离性，用二次一维变换来实现。无论何种变换，只要变换核满足可分离性，都可同样处理。51数字图像都是实数矩阵，而且多为的方阵。设

为图像的灰度值方阵。有：式中：F，f为方阵；P，Q为满秩矩阵。由此得：即f可由其变换完整地恢复出来。52图像的矩阵表示式与代数表达式本质相同：533.6离散余弦变换（DCT）离散余弦变换（DiscreteCosineTransform)的变换核为实数的余弦函数。特点：计算速度快,没有DFT的复数运算对于一阶马尔可夫过程的随机过程信号，DCT是K－L变换的最好近似具有很好的能量压缩特性54正反变换核：一维