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文档简介

一、矩阵乘积的秩二、矩阵乘积的行列式§4.3矩阵乘积的行列式与秩三、非退化矩阵=思考:?2m×n矩阵A的行向量组:m×n矩阵B的行向量组:矩阵A+B的行向量组:R(A)=r1R(B)=r2作新的行向量组:则可由向量组线性表出,r3≤的秩≤r1+r2R(A+B)=r33令设的行向量组为的行向量组为则向量组合4即有故可由线性表出.所以．同理，=证C的列向量组可由A的列向量组线性表出.5一、矩阵乘积的秩定理1

设为数域上的矩阵，则推广如果

，则6例1设是3维列向量,证明:证明:而所以作业:设是3维列向量,证明:若线性相关,则7定理2

设为数域上的级矩阵，则二、矩阵乘积的行列式证明：构造2n级的行列式|A||B|=记AB=C=(cij)8要证：|A||B|=|C|=|AB|9第一列乘b11，第二列乘b21，……，第n列乘bn1，加到第n+1列10推广为级方阵，则□11证明：例2．设A为n级方阵，且证明：

由有而于是有所以12定义若，称为退化的．若，则称为非退化的；注：

级方阵非退化

级方阵

退化 设

为数域上的级方阵，

三、非退化矩阵(非奇异)(奇异)13推论设为数域上的级矩阵，则非退化都非退化证：退化或退化非退化且都非退化.14例8.证明：

15证明:方法一:

对k用数学归纳法

k=1,按第一行展开即可.

设k=m-1时等式成立

k=m时,按第一

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