高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活的优化问题举例课件 新人教A版选修22

第一章导数及其应用§1.4生活中的优化问题举例1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点生活中的优化问题问题导学

新知探究点点落实1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为

.2.利用导数解决优化问题的实质是

.3.解决优化问题的基本思路是：上述解决优化问题的过程是一个典型的

过程.优化问题求函数最值数学建模答案返回类型一面积、容积的最值问题解析答案题型探究

重点难点个个击破例1

请你设计一个包装盒，如图所示，abcd是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得abcd四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，e，f在ab上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设ae＝fb＝xcm.(1)若广告商要求包装盒侧面积s(cm2)最大，则x应取何值？当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积s(cm2)最大，则x＝15.(2)若广告商要求包装盒容积v(cm3)最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.解析答案反思与感悟反思与感悟令v′>0，得0<x<20；令v′<0，得20<x<30.1.这类问题一般用面积公式，体积公式等作等量关系，求解时应选取合理的边长x作自变量，并利用题目中量与量之间的关系表示出其他有关边长，这样函数关系式就列出来了.2.这类问题中，函数的定义域一般是保证各边(或线段)为正，建立x的不等式(组)求定义域.反思与感悟解析答案跟踪训练1

某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆心为o，半径为100m，并与北京路一边所在直线l相切于点m.点a为上半圆弧上一点，过点a作l的垂线，垂足为点b.市园林局计划在△abm内进行绿化.设△abm的面积为s(单位：m2)，∠aon＝θ(单位：弧度).(1)将s表示为θ的函数；(2)当绿化面积s最大时，试确定点a的位置，并求最大面积.解s′＝5000(2cos2

θ＋cos

θ－1)＝5000(2cosθ－1)(cosθ＋1).解析答案类型二利润最大问题解析答案例2

已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为r(x)万元，且r(x)＝(1)求年利润w(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.解当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.反思与感悟解析答案解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数.反思与感悟跟踪训练2

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝

＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；所以a＝2.解析答案(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解析答案解由(1)可知，该商品每日的销售量所以商场每日销售该商品所获得的利润从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6).解析答案于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.例3

已知a、b两地相距200km，一只船从a地逆水行驶到b地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h(8<v≤v0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？类型三费用(用材)最省问题解析答案反思与感悟解设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.设全程燃料费为y，由题意，得令y′＝0，得v＝16，∴当v0≥16，即v＝16km/h时全程燃料费最省，ymin＝32000(元)；解析答案反思与感悟当v0<16，即v∈(8，v0]时，y′<0，即y在(8，v0]上为减函数，综上，当v0≥16时，v＝16km/h全程燃料费最省，为32000元；反思与感悟1.用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.2.利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.反思与感悟跟踪训练3

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用c(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：c(x)＝

(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；解析答案解设隔热层厚度为xcm，而建造费用为c1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0，当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.返回解析答案1.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为(

)a.4 b.6

c.4.5 d.8解析答案达标检测

1234解析设底面边长为x，高为h，a2.某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产(

)a.9千台 b.8千台

c.6千台 d.3千台解析答案1234c解析构造利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2，由y′＝0得x＝6(x＝0舍去)，x＝6是函数y在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点.3.将一段长100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________cm.1234解析答案1234解析答案解析设弯成圆形的一段铁丝长为x，则另一段长为100－x，设正方形与圆形的面积之和为s，12344.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；1234解析答案解设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2).由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21].(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？1234解析答案1234解根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x[0,2)2(2,12)12(12,21]f′(x)－0＋0－f(x)↘极小值↗极大值↘故x＝12时，f(x)取得极大值.因为f(0)＝9072，f(12)＝11664.所以定价为30－12＝18，才能使一个星期的商品销售利润最大.1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变