记得快忘得也快（短时记忆）；右脑的海马,是保存自出生

大脑的耳叶中，有一部分叫做“海马”，它是记忆中枢。有趣的是：左脑的海马，是记忆最近的事情，记得快忘得也快（短时记忆）；右脑的海马，是保存自出生以来的一切事物，而且永不丢失（永久记忆）。不过，它却象是被挤在了仓库的角落里，尘封了起来。1第三节体积一、旋转体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积2一.旋转体的体积这直线叫做旋转轴。

旋转体就是由一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周而成的立体，及球体都是旋转体。如图所示圆柱体、圆台体、圆锥、3所以围成的曲边梯形绕x轴旋转一周

求由而成的立体的体积。积分变量为积分区间为在上任取小区间相应的窄曲边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积，用圆柱体的体积近似代替，圆柱体的体积即体积元素：4由曲线和直线与y轴所围成的曲边梯形，旋转一周而成的旋转体的体积为：绕y轴例1求以为底半径，为高的圆锥的体积。当然这个题可以用元素法来解。的直线方程为：于是所求圆锥体的体积为：rOhxyP(h,r)建立坐标系如图解：5当a=b时，旋转椭球体就成为半径为a

的球体,它的体积为例2计算由椭圆所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体（叫做旋转椭球体）的体积。及x

轴围成的图形绕x

轴旋转而成的立体，这个椭球体可以看作是由上半个椭圆解：上半个椭圆的方程为：所以：若绕y

轴旋转xyo6图形绕

x轴旋转而成的旋转体的体积为

解：

例3

计算由摆线的一拱、直线

y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积。xyO7图形绕y

轴旋转而成的

旋转体的体积为x=x1(y)x=x2(y)xyO周期函数奇函数8二.平行截面面积为已知的立体的体积所以则体积元素为：表示过点

x

且垂直于x

轴的截面面积（已知）。

用积分变量为积分区间为在上任取小区间

xbx+dxxaOy9圆柱体所得立体的体积。例4一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角,计算这平面截因而截面积为

解：建立直角坐标系如图：则底圆的方程为：作垂直于x轴的截面，过任意点截面为一直角三角形，它的两条直角边的长分别为及于是所求立体体积为：XR-ROYx10例5求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积。

解：使x

轴与正劈锥的顶平行，建立底面直角坐标系如图，则底圆的方程为：这截面的面积为：过x轴上的点

x

作垂直于x轴的平面，截正劈锥体得等腰三角形。正劈锥体的体积等于同底同高的圆柱体体积的一半。于是所求正劈锥体得体积为：-RRYOXxh11第四节平面曲线的弧长一、平面曲线弧长的概念⌒AB在弧上任取分点设A、B是曲线弧上的两个端点，并依次连接相邻的分点得一内接折线。当分点的数目无限增加且每个小段的极限存在，则称此极限为曲线弧AB的弧长，

⌒⌒并称此曲线弧AB是可求长的。

都缩向一点时，如果折线的长

（Oxy光滑曲线弧(即弧上任意点具有一阶连续导数）是可求长的。

定理:12二.直角坐标情形于是所求弧长为设曲线弧由给出，上具有一阶连续导数，现在来其中f（x）在[a，b]上计算这曲线弧的长度。从而得弧长元素：在上任取小区间---弧微分公式axbxyO13∵解因此所求弧长为：例1

计算曲线上相应于x

从a

到b的一段弧的长度。14(其中c为常数)方程为：计算悬链线上介于与之间一段弧的长度.例2两根电线杆之间的电线，由于其本身的重量，下垂成曲线形，这样的曲线叫悬链线，适当选取坐标系后，悬链线的解∵∴因此所求弧长为：XYO15于是所求弧长为

三.参数方程情形弧长元素为:取t

为积分变量，它的变化区间为设曲线弧由参数方程给出，其中现在来计算这曲线弧的长度。、在上具有连续导数。16∴解:∵例3计算摆线的长度。的一拱xyO17弧长元素为：所求弧长为：四.极坐标情形现在来计算这曲线弧的长度，由直角坐标与极坐标的关系可得：yOx可看作以为参数的情形设曲线弧由极坐标方程在给出，其中上具有连续导数。18例4求阿基米德螺线相应于从到一段的弧长。于是所求弧长为弧长元素为解19小结一、旋转体的体积绕x轴旋转绕y轴旋转二、平行截面面积为已知的立体的体积20(1)直角坐标(2)参数方程(3)极坐标三、平面曲线的弧长思考题：一根弹