加强和改进高等数学基本概念的教学一些实践和体会

加强和改进高等数学基本概念的教学

一些实践和体会同济大学国家工科数学基地郭镜明guojm@加强基本概念教学是高等数学教学中的一个永恒主题，是加强“三基”(基本概念、基本理论、基本方法)的基础。

当前出现了某种“弱化”的倾向，原因是多方面的，诸如：教学时数的限制新教师缺乏经验，准备不足，“不会讲”概念学生理解数学概念“平均能力”的下降应试教学倾向的抬头，把教学变成了一个讲例题、做习题、答考题的枯燥过程

如何加强基本概念教学，要考虑具体的课程特点和所面对的学生情况，就高等数学而言：课程特点：基础性、应用性、与实际联系的紧密性学生情况：一年级新生抽象思维能力较弱，对形式符号不习惯概念教学的基本要件１．概念的引入（几何、物理等应用背景或数学背景，概念的直观描述）２．概念的表述（数学表述、图形表述、语言表述）３．对概念的内涵、外延的进一步说明（例子、注记、比较等）４．概念的应用（实际应用、数学应用）概念教学的基本要求１．准确性２．透彻性３．生动性（可接受性）（本文侧重后两点谈些体会）加强和改进基本概念教学之一：

努力揭示基本概念的客观背景及其在解决实际问题中的意义，尽可能给出几何解释、物理解释以及其他联系实际的解释。例１在教学过程中经常强调导数f

(x)作为变化率的实际意义，并以此解释一些重要的数学结论.从变化率角度解释复合函数的求导公式：反函数的求导公式：参数方程求导公式：从变化率角度来解释近似等式从变化率角度来解释微分中值定理从变化率角度(如经济增长率)来说明f

(x)的符号决定函数的增减从两种不同的实际变化率，导出二元函数的偏导数和方向导数概念例２一些联系学生实际经验的解释(或类比)对学生理解数学概念和方法很有好处。例如二重积分中的极坐标变换的作用可用下图说明。此时，“自然”的“求和”法应是先向径后幅角，而不是先垂直后水平。

类比不能牵强附会，简单化，更不能粗俗加强和改进基本概念的教学之二：

努力揭示抽象概念的“本原”意义，阐明隐藏在形式符号后面的数学思考。

数学教育学奠基人，荷兰数学家H.Freudenthal(1908~1990)有一句名言：

“没有一种数学思想，以其被发现时的那个样子发表出来。一个问题被解决以后，相应地发展成一种形式化的技巧，结果使得大热的思考变成了冰冷的美丽。”

教学艺术就是帮助学生发现的艺术，因此高等数学教师的任务就是：帮助学生“发现微积分”，即发现隐藏在“冰冷的形式”后面的“大热的思考”。例３无穷级数概念的引入第一步以学生原有知识作为引例，如求曲边三角形面积时遇到的一个级数;以及2的平方根:问题：如何理解无穷多个数相加(这是“不可完成”的！)得出一个数？第二步历史争论：Zeno’sParadox(芝诺悖论)Zeno：这是一个没有终结的过程，因此永远跑不到原点。

实际经验告诉我们：若等速行进，跑一半路程化时间T，则跑完全程应化时间2T，即有？如何理解此等式?解决此悖论，要引进极限方法：先算前n项之和：让，上述和．(与实际经验相符！)可见，要把无限多项之“和”＝2T理解为前n项之和，当时的极限。但是，如果以如下方式减速前进：此时需化时？实际经验不能给我们任何启示！若先考虑，则有在这种情况下，Zeno是有道理的：永远不能到达终点。第三步几点结论：

1．无穷级数是以加法形式出现的极限问题；

2．正由于本质是极限，故出现“极限是否存在”的问题，即无穷多项“相加”可能是“没有和”的；

3．正由于本质是极限，故加法的性质(如交换律、结合律等)不可以无条件平移过来；第四步正式定义无穷级数、部分和、和等概念。加强和改进基本概念的教学之三：

作好相似、相近或相关概念的归纳比较，注意展示它们之间的内在联系和相互区别，让学生从比较中学习，从比较中加深理解，从而从整体上把握所学到的诸多概念。

例4微积分以函数作为研究对象，而研究的主要方法是分析增量x和y的关系，可以说，增量分析是微积分的核心内容。以增量分析为线索，可以串联微积分中的诸多基本概念和定理。连续：；可导：；可微：；微分中值定理：

N-L公式：发展脉络二元函数相互联系存在连续偏导数连续性可微连续可偏导存在各方向的方向导数与一元函数相关概念的比较(特别注意“异”)二重极限VS一元极限偏导数VS一元导数全微分VS一元微分二重极限偏导数全微分方向导数梯度例5多元微分学中基本概念的相互联系例6梯度与多元微分学其他概念的联系：梯度与方向导数；梯度与等量面、等量线；梯度与曲面（曲线）的法向量；梯度与极值；梯度与Lagrange乘子法．梯度与方向导数的关系ff=-PDf=c3f=c2f=c1(x,y)=0目标函数:约束条件:例7对学得好一些的学生，还可讲讲一元函数的导数、多元函数的梯度、上的变换的雅可比矩阵之间的内在联系，指出这三者作为“变化率”的相似之处。

对有些相近、相似或相关的概念，可把它们归并成组加以比较，以突出相互之间的区别。

例如一元微积分中如下的这些概念组：数列极限与函数极限；发散量、无界量与无穷大量；一点处的连续（可导）与一个区间上的连续（可导）；左右极限与左右导数；驻点、极大（小）值点与最大（小）值点；连续性、可导性与可积性；原函数、不定积分与定积分；可积性与存在原函数；定积分与反常积分；无穷小量、微分与微元；离散量的平均值与函数的平均值，等等

加强和改进基本概念的教学之四：

恰当利用多媒体等现代教学手段，充分利用现有资源库，制作适用的课件，直观生动地展示数学基本概念。例8函数与它的M-多项式，F-多项式的逼近。

(2)条件极值问题的几何说明例9

(1)二元函数极值与一元函数极值的差别目标函数：约束条件：加强和改进基本概念的教学之五：

对比较复杂的概念，要分解整理，理出所涉及的前期概念，先让学生搞清楚;同时找出影响学生理解概念的难点，作重点讲解例10第二类曲线(曲面)积分的定义中涉及“有向曲线(曲面)”的概念，在计算时还涉及有向曲线(曲面)及其切向量(法向量)的分析表示，教材上的处理一般比较简略，教学中容易忽略，造成学生理解上的困难。因此在定义积分前，要先把这些前期概念交代清楚。例如对第二类曲线积分，可取如下的次序讲解：有向曲线的几何说明（分非闭曲线和闭曲线两种情况)有向曲线上各点处的切向量的指向的规定有向曲线及其切向量的分析表示(分参数方程和显式方程两种情况)引例:变力沿曲线所作的功第二类曲线积分的定义

(第二类曲面积分的情况相类似)加强和改进基本概念的教学之六：

改变目前习题和考题重技巧、轻概念的情况，设计简单而有效的概念测试题，在平时练习并在考试中使用。例11美国教材中有关概念题举例：

ThomasCalculus在“导数的应用”的章复习题中，共出了20道概念问答题，如：

1）函数在其定义域上的极值和最值的含义是怎样的？如果两者都有，那么它们的关系是怎样的？试举例说明。

2）如果函数f在定义域的内点处取得极值，该点处的f会有怎样的情况？由这一事实可导出怎样的求f的极值的步骤？

3)拉格朗日中值定理的条件和结论是什么？对这个定理可作怎样的物理解释？

4)函数的一阶和二阶导数告诉你有关函数图形的什么信息？(注:对一阶和二阶导数的符号和绝对值的作用进行比较对照,是很有意义的)5)什么是函数f(x)在点x=a处的线性逼近？为使f在点a处存在线性逼近，f应满足什么条件？举例说明线性逼近有何应用.

等等例12Stewart编Calculus中的“定性作图题”：根据下面左半图的要求，在右边画出相应的曲线的图形。例13Varberg

编Calculus中“一元积分学”中的有关概念题。例14我们自己编制的有关概念的考试题：加强和改进基本概念的教学之七：

从美国微积分教材中吸取加强基本概念教学的某些好的理念和做法．“４规则”(RuleofFour):对数学对象应尽可能地从几何、数值、分析、语言四个方面加以阐明“阿基米德原理”(ArchimedesPrinciple)正式的定义和方法应根据对实际问题的探究而得出(即“问题驱动式”的讲授法)“４规则”举例：例15函数的局部线性化图形显示：在局部范围，可微曲线y=x2的性态就象一条直线分析表示：一般说来，在f(x)可微的点x=a处，曲线y=f(x)的切线方程是：y=f(a)+f(a)(x-a)，切线方程，即线性函数L(x)=f(a)+f(a)(x-a)，就给出了f(x)的很好的近似。用语言定义”线性化”：如果f在x=a处可微，那么近似函数L(x)=f(a)+f(a)(x-a)称为f在x=a处的线性化。数值验证：在x=０处，近似式的精度近似值｜真值-近似值｜<10-2<10-3<10-5当x的值离开０较远时，误差就加大了，例如对x=2，线性化对的近似值为2，连一位小数的精度都没有。“问题驱动法”举例例16讲了重要极限后，问：若一年分n次计算复利，则银行存款现值P和将来值B之间的关系如何？在连续复利下，即，则得：若本金为1，利息为100%，t=1，则得B=e．本题不仅实用，且使学生对e及其重要极限的感觉亲切得多！

关于“问题驱动式”数学教学，张奠宙、张荫南教授也作了很好的阐述，并称此为NCM（NewConceptMathematics）指出：这种教学方法的实质“是暴露数学的本质，不要把活泼的数学思想淹没在形式的海洋里”建议：”在一些基本概念、基本理论和基本定理的建立时，不能满