抚顺市教师进修学院高中研训部

抚顺市教师进修学院高中研训部胡文亮Email：gzsxhwlg@163.com推理与证明教学研究一、综合分析（一）内容的定位

1、地位作用：贯穿于高中数学的整个体系．2、整体目标：培养学生的理性思维精神．

3、教材安排：是限定必选的选修内容，文理基本相同．4、学习基础：对命题“如果…，则….”的理解．5、编写特点：以例说理．6、教育价值：有助于学生理解数学的本质．（二）理论基础

1、推理：

推理是由一个或几个已知判断得出新判断的思维形式与过程．

已知命题新命题前提过程结论2．合情推理：

所谓合情推理就是从具体的事实经验出发，通过观察、实验、类比、联想、归纳、猜想等手段而进行的一种推理．

不受逻辑规则的约束

合情推理的结果的正确与否，并不完全依赖于前提条件．在合情推理中，灵感也是一种重要的思维形式．3、归纳推理：

所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．是从真前提出发，按照各种逻辑有效的规则，可得到一定程度为真结论的推理．归纳推理的前提是其结论的必要条件．

归纳推理的前提必须是真实的，否则，归纳就失去了意义．

归纳推理的基本结构：A具有（或不具有）属性S；B具有（或不具有）属性S；C具有（或不具有）属性S；……

→事物P具有（或不具有）属性S．4、类比推理：

是由已知的两类事物具有某些相似性质，从而推断它们在其他性质上也可能相似的推理形式．是根据两个或两类对象在某些属性上相同，推断出它们在另外的属性上（这一属性已为类比的一个对象所具有，另一个类比的对象那里尚未发现）也相同的一种推理．

类比推理的结构：A具有（或不具有）属性P1，P2，……，Pn，P；B具有（或不具有）属性P1，P2，……，Pn，

所以B具有（或不具有）属性P．如何提高类比推理的结论的可靠性？第一，前提中确认的相同属性愈多，那么结论的可靠程度也就愈大；第二，前提中确认的相同属性愈是本质的，相同属性与要推出的属性之间愈是相关的，那么结论的可靠程度也就愈大．5、演绎推理：

由已知普遍事物的成立推断某特殊事物也成立，即由一般到特殊的推理．其前提和结论间具有蕴涵关系，是必然性推理．基本结构：若p

q(真)，

p真，则q真．具有传递性：bc，且a

b，则a

c．三段论及其结构

三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提，得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．用集合论的观点阐述：就是若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．6、合情推理与演绎推理的关系：

从功能上来看：演绎推理是论证的手段，合情推理是“发现”的工具；从阶段上来看：合情推理是演绎推理的前奏，演绎推理是合情推理的升华；演绎推理能力越强，合情推理就越活跃，推理结果也越可靠，因此也可以说演绎推理是合情推理的基础．

7、证明：

是根据一些真实的命题来确定某一命题真实性的思维形式．要证明一个命题是真命题，就是证明凡符合题设的所有情况，都能得出结论．要证明一个命题是假命题，只需举出一个反例说明命题不能成立．任何证明都由论题、论据、论证三部分组成．

证明和推理的联系与区别

联系：证明过程其实质也就是推理过程．区别：（1）结构不同：推理包含前提和结论两部分；证明由论题、论据、论证三部分组成．（2）作用不同：推理只解决形式问题；证明后真实性是确定的．证明必须遵守逻辑规则

（1）

论题要明确：

（2）论题应始终如一：

（3）论据要真实：（4）论据不能靠论题来证明：（5）必须能推出论题：（6）严谨：

反证法：

定义：一般地，假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件．

（三）课标要求

1、合情推理与演绎推理（1）结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．（2）结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理．（3）通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．

2、直接证明与间接证明（1）结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．（2）结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点．3、了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．4．数学文化：（1）通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想．（2）介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用．（四）教学重点与难点

重点：通过具体实例理解合情推理和演绎推理的过程、意义与关系；合情推理结论的猜想与表述；理解直接证明与间接证明的方法和步骤；推理与证明过程的体验与规范．难点：合情推理结论的确定；理解合情推理、演绎推理的联系与区别；证明方法的选择；证明过程的规范．

（五）教学安排

2.1.1合情推理2课时2.1.2演绎推理1课时2.2.1综合法和分析法2课时2.2.2反证法1课时

2.3数学归纳法2课时小结1课时二、各节教学建议

2．1合情推理与演绎推理（文、理相同）教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述．1、合情推理：

归纳推理的本质是从个别事实中概括出一般结论的推理模式．教师要引导学生明确：（1）归纳推理的方法（步骤见教材P54）；（2）要合情（比较多的个例是对的）；（3）归纳是依据若干的，没有穷尽的结论推断尚属未知的结论，这是一种合理的猜测；（4）这种由个别到一般的归纳虽然合情，但如果没有证明，其结论也是不一定正确的；（5）其得到的结论虽不可靠，但应用方便并具有发现的功能．如果再能给予证明就是完全归纳法．形象地说是“先猜后证”的思维方式．2、类比推理：

教师要引导学生明确：（1）类比推理的方法（步骤见教材P57）；（2）类比的两个对象相应的比什么要清晰（如平面三角形和空间四面体的点对线、线对面）；（3）类比是由一种事物的已知属性推测另一种事物的属性；（4）类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．注意问题：

（1）要注意归纳推理与类比推理的特点与区别：二者的结论都是或然的，归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理则是由个别到个别的推理，或是由一般到一般的推理．（2）课时安排比较紧凑，所以在教学时要通过已知的数学实例和生活中明确的易于理解的实例来了解合情推理和演绎推理，重要的是体会其本质、意义和思维的重要性．（3）充分利用教材中的例题，不必再补充过难的问题，避免过于复杂和不必要的扩展加深．（4）尽可能让学生先预习，程度较好的学生可以尝试自学再教师归纳．3、演绎推理：

教材中分别用四个例题依次分别介绍了四种演绎推理方式：假言推理、三段论推理、关系推理（不等式中常用）、完全归纳推理．主要是通过已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的作用和重要性，掌握演绎推理的基本方法和步骤，培养严谨和科学的数学思维．

2．2直接证明与间接证明（文、理相同）1、直接证明：直接证明内容是对学生已学过的基本证明方法的概括、总结，目的是通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性．重点是对方法的选择和过程的体验，对证明的技巧性不宜作过高的要求．要明确数学不同于其它学科，数学结论的正确性必须由数学证明来保证，而不能用实验、实践来证明．综合法与分析法不是截然独立和对立的，在实际运用的过程中，往往是交互运用、分不开的．

综合法的程序框图：

已知条件新的结论与要证的结论是否吻合？结束综合已有的公理、定理和已经得到的结论是否分析法的程序框图：

要证明的结论得到使上面结论成立的充分条件—新结论在已知条件下新结论是否成立？结束综合已有的公理、定理和已经得到的结论是否用新结论代替要证明的结论2、间接证明：

教师要引导学生明确：（1）反证法的基本结构：由证明

p

q转向证明：¬q

r…

t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定¬q为假，推出q为真．（2）应注意的问题：①其适用性；②假设的准确性；③矛盾的显然性．（3）应用的基础是演绎推理．（4）充分利用教材中的素材，不必再进行补充．反证法的程序框图：

要证明的结论把“否定要证明的结论”作为条件是否与已知条件或公理、定理矛盾？结束综合已有的公理、定理和已经得到的结论是否否定要证明的结论