2022-2023学年湖南省郴州市嘉禾县高二年级上册学期第三次月考数学试题【含答案】

2022-2023学年湖南省郴州市嘉禾县第六中学高二上学期第三次月考数学试题一、单选题1．已知向量若则（

）A． B．1 C． D．1【答案】D【分析】由空间向量垂直的坐标公式求解即可【详解】因为，所以，即，解得．故选：D．2．已知直线，若，则与之间的距离（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】首先求，再根据平行线间距离公式求解.【详解】因为，所以，即，两平行线之间的距离.故选：B3．已知等差数列的前n项和为，若，则（

）A．25 B．40 C．44 D．55【答案】D【分析】由等差数列的性质求解.【详解】等差数列中，，则，则.故选：D．4．已知三棱柱，点为线段上一点，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据空间向量的运算，利用基底表示向量.【详解】由题意得，因为，，所以.故选：D.5．已知抛物线的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，则（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】根据抛物线的定义结合已知可求得结果.【详解】设，由A，B中点的横坐标为2，可得，所以．故选：C．6．若直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】考虑当直线与曲线相切且切点在第四象限时，实数的值；考查直线分别过点、时，直线与曲线的公共点个数，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】由可得，且，故曲线为圆的右半圆，作出直线与曲线的图象如下图所示：当直线即与曲线相切且切点在第四象限时，，且有，解得，当直线过点时，直线与曲线有两个公共点，此时；当直线过点时，直线与曲线只有一个公共点，此时.结合图形可知，若时，直线与曲线只有一个公共点.故选：A.7．我国古代数学名著《算法统宗》记有行程减等问题：三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．意为：某人步行到378里的要塞去，第一天走路强壮有力，但把脚走痛了，次日因脚痛减少了一半，他所走的路程比第一天减少了一半，以后几天走的路程都比前一天减少一半，走了六天才到达目的地．请仔细计算他每天各走多少路程?在这个问题中，第四天所走的路程为（

）A．96 B．48 C．24 D．12【答案】C【分析】每天所走的里程构成公比为的等比数列，设第一天走了里，利用等比数列基本量代换，直接求解.【详解】由题意可知：每天所走的里程构成公比为的等比数列.第一天走了里，．第4天走了.故选：C．8．已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若，且，则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意设椭圆右焦点为，根据椭圆的定义以及余弦定理可求出的关系，即可求出椭圆的离心率.【详解】设椭圆右焦点为，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，因为，可得，所以，则，，由余弦定理可得，即，即故椭圆离心率故选：C.二、多选题9．平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线.则（

）A．曲线的方程为B．曲线关于轴对称C．当点在曲线上时，D．当点在曲线上时，点到直线的距离【答案】AC【分析】根据抛物线的定义可判断曲线C为抛物线，求出其方程，结合抛物线的性质一一判断各选项，可得答案.【详解】由抛物线定义，知曲线C是以为焦点，直线为准线的抛物线，则焦准距，故其方程为，故A正确；抛物线关于y轴对称，不关于x轴对称，故B错误；由知，故C正确；当点在曲线上时，由于抛物线开口向上，当点位于原点时，到直线l的距离最小为1，故点P到直线l的距离，所以D错误，故选：.10．下列命题是真命题的有（

）A．平面经过三点，，，是平面的法向量，则，B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则D．，，，是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面【答案】BD【分析】根据平面的法向量和平面的关系，可求得，判断A;根据两直线的方向向量的数量积等于0，可判断B;根据直线的方向向量和平面的法向量的数量积为0，可判断线面关系，判断C;根据空间向量基底的含义，可判断，，共面，从而判断D.【详解】对于A，，由题意知，故，解得，A错误.对于B，,故可得l与m垂直，B正确；对于C，,故可得在内或，C错误；对于D,是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则，，共面，可得共面,D正确；故选:11．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（

）A． B．数列是等比数列C． D．数列是公差为2的等差数列【答案】AC【分析】根据题意列方程求得公比，可判断A;求出，利用等比数列定义可判断B；利用，可判断C；求出，可得的通项公式，判断D.【详解】根据题意，等比数列中，，即，又由，可得或,又由公比q为整数，则当时,有，当时,，不合题意；对于A，，A正确；对于B，又由，则，则，则，该比值不是常数，故数列不是等比数列，B错误，对于C，，则，C正确，对于D，，为等比数列，则，故，数列是公差为的等差数列，D错误；故选：．12．在正方体中，点M在线段上运动，则下列说法正确的是（）A．直线平面B．直线与平面所成角的正弦值的最大值为C．异面直线AM与所成角的取值范围是D．三棱锥的体积为定值【答案】ABD【分析】根据空间点线面之间的关系，逐项分析判断即可得解.【详解】对A选项，在正方体中，如图，又平面，所以，所以平面，所以，同理，所以直线平面，故A正确；对选项B，连接交于点，连接交于点，根据对称性，当点M位于点时，直线与平面所成角最大为，设正方体的边长为2，则，此时，故B正确；对C，由，异面直线AM与所成角为直线AM与所成角，故当在点处时所成角最大，此时，所成角为，当在点或处时，所成角最小为，故C错误；对D，因为，平面，所以平面，又直线，所以动点到平面的距离恒定，故三棱锥的体积为定值，D正确，故选：ABD三、填空题13．经过点，且垂直于直线的直线方程为________.【答案】【分析】根据两直线的垂直，确定所求直线的斜率，即可写出直线的点斜式方程，即得答案.【详解】直线的斜率为，故与直线垂直的直线的斜率为，故经过点，且垂直于直线的直线方程为，即，故答案为：.14．已知焦点为，的椭圆的方程为，且，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为________.【答案】16【分析】由题意求得椭圆的半长轴，表示出的周长并化简，即可得答案.【详解】设椭圆的焦距为，则，故，所以的周长为，故答案为：16.15．已知直三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，，则球的表面积为___________．【答案】【分析】设和外接圆的圆心为，，则球心为的中点，在中由正弦定理可求得其外接圆半径，结合球的性质可求球的半径，进而求得其表面积．【详解】设和的外心分别为D，E．由球的性质可得三棱柱的外接球的球心O是线段的中点，连接，设外接球的半径为R，的外接圆的半径r，因为，由余弦定理可得，由正弦定理可得，所以，而在中，可知，即，因此三棱柱外接球的表面积为．故答案为：．16．已知数列满足，，则数列的前100项和______．【答案】【分析】叠加法求解，再裂项相消法求和即可.【详解】∵，∴时，．∴（），当时也满足上式，∴（）∴，（）∴数列的前项和（）所以数列的前100项和．故答案为：．四、解答题17．已知公差为2的等差数列的前项和为，且满足.(1)若，，成等比数列，求的值；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)9.(2).【分析】（1）根据题意可求得等差数列的通项公式，再利用条件结合等比中项性质列方程，即可求得答案.（2）由（1）的结果求得的表达式，利用分组求和法结合等差数列以及等比数列的前n项和公式，即可求得答案.【详解】（1）由题意知数列是公差为2的等差数列，设公差为d，则，又因为，所以即，得，所以，又因为，，成等比数列，即，即，得．（2）因为，所以.18．已知抛物线上一点到焦点的距离为4.(1)求抛物线的标准方程；(2)过焦点的直线与抛物线交于不同的两点,,为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.【答案】(1).(2)证明见解析.【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得，即得答案；（2）设出直线方程，联立抛物线方程，消去x，设，可得，结合点在抛物线方程上化简，即可证明结论.【详解】（1）由抛物线方程可得焦点为，准线方程为，因为点到焦点F距离为4，由抛物线的性质可知到焦点的距离等于到准线的距离，即，解得，故抛物线方程为：.（2）证明：因为直线过焦点，与抛物线交于不同的两点,,所以设直线方程为，与抛物线方程联立即,消去x得，，设，所以，由于，,所以,即为定值.19．已知圆，直线.(1)求证：直线过定点，并判断直线与圆的位置关系；(2)当时，过圆上点作圆的切线交直线于点，为圆上的动点，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析；直线l与圆C恒相交.(2).【分析】（1）将直线化为，根据由于，可得且，即可证明结论，求得定点坐标，说明该点在圆内，即可判断直线和圆的位置关系.（2）写出方程，求得点坐标，求出，即可求得答案.【详解】（1）证明：由l的方程得，由于，故且，解得，即直线过定点，因为，即点M在圆C内部，所以直线l与圆C恒相交.（2）由题知,又时，，所以联立，即得点，而点，所以，所以.20．已知三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，平面，，点为线段上一动点.(1)当点为中点时，证明：；(2)当平面与平面所成二面角为时，试确定点的位置.【答案】(1)证明见解析.(2)M点位于的处，即.【分析】（1）设E为的中点，连接,证明平面，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；（2）作出平面与平面所成二面角的平面角，利用平面角的度数求得相关线段的长，计算，即可确定定点的位置.【详解】（1）设E为的中点，连接,由于点为中点，故,而平面，故平面，平面，故;又底面是等边三角形，故,而平面，所以平面，又平面，故即.（2）如图，过点M作,垂足为N,由于平面，平面，故,且平面,故,则平面，而平面，故,作,垂足为F,连接,平面，故平面，平面,所以,又平面,平面,即为平面与平面所成二面角的平面角，即，设，则，因为，故,,又底面是等边三角形，，故，而,故，则，而,故,即M点位于的处，即.21．已知数列的前项和为，且.在数列中，，.(1)求的通项公式；(2)证明是等比数列；(3)设，求数列的前项和.【答案】(1).(2)证明见解析.(3).【分析】（1）根据，利用时即可求得答案；（2）将变形为，根据等比数列的定义即可证明结论；（3）求出的表达式，利用错位相减法即可求得答案.【详解】（1）由题意数列的前项和为，且，当时，；当时,,所以,经检验：也适合上式，故.（2）在数列中，，若，则，与矛盾，故所以，则，其中，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.（3）由（2）得，所以，故，所以，故，两式相减得：，即，所以.22．双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为，直线过双曲线的右焦点，交双曲线于两点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1).(2)存在，【分析】（1）根据题意列方程组求得，即可求得答案；（2）先考虑直线l的斜率存在时，设，设出直线方程，根据可得到对任意的总成立，联立直线l与双曲线方程，得到根与系数关系，结合恒成立可求得m的值，得到结论，再验证直线斜率不存在时的情况也适合题意，即可得到结论.【详解】（1）由题意可知双曲线的渐近线方程为，因为一条渐近线的倾斜角为，所以，双曲线经过点，则，联立，解得，所以双曲线方程为：.（2）由（1）知双曲线的右焦点为，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，设，，因为，所以即，整理得①，由，得到，因为直线l与双曲线有两个不同的交点，故且，所以，由题设