【全程复习方略】2020-2021学年北师大版高中数学必修一课时作业(二十七)-4.2

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十七)实际问题的函数建模(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共12分)1.某地区植被破坏,土地沙化越来越严峻,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系较为近似的是()A.y=0.2x B.y=110(x2C.y=2x10 D.y=0.2+log【解析】选C.代入验证知C正确.【变式训练】下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据,由此推断它最可能的函数模型为()x-2-10123y11141664A.一次函数模型 B.二次函数模型C.对数函数模型 D.指数函数模型【解析】选D.由数据可知,变量每增加1,相应函数值变为原来的4倍,故该函数模型为指数函数模型.2.如图是某种豆类生长枝数y(枝)与时间t(月)的图像,那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是()A.y=2t2 B.y=log2t C.y=t3 D.y=2t【解析】选D.依据图像特征可直接得：用y=2t近似刻画最好.故选D.3.已知A,B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数关系式是()A.x=60t+50t(0≤t≤6.5)B.x=60C.x=60D.x=60【解析】选D.依题意可知,汽车离开A地的距离x(千米)与时间t(小时)的函数为分段函数,x=60【误区警示】本题在求解中经常由于不理解“速度与时间t的关系”而错选C.4.(2022·广州高一检测)如图,△ABC为等腰直角三角形,直线l与AB相交且l⊥AB,直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y,点A到直线l的距离为x,则y=f(x)的图像大致为四个选项中的()【解题指南】位于直线右方的图形面积为y等于大三角形的面积减去小三角形的面积.【解析】选C.设AB=a,则y=12a2-12x2=-12x2+1二、填空题(每小题9分,共18分)5.(2022·朔州高一检测)某不法商人将手机按原价提高40%,然后在广告中“大酬宾,八折优待”,结果每台手机比进货原价多赚了270元,那么每台手机的原价为元.【解析】设原价为a元,则a(1+40%)×0.8-a=270,所以0.12a=270,所以a=2250.答案：22506.工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a·0.5x+b,现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件,则此工厂3月份该产品的产量为万件.【解析】由题意有1解得a=-2,b=2,所以y=-2×0.5所以3月份产量为y=-2×0.53+2=1.75(万件).答案：1.75三、解答题(每小题10分,共20分)7.(2022·咸阳高一检测)某类产品按质量可分为10个档次,生产最低档次的产品,每件利润6元,假如产品每提高一个档次,则利润增加2元,用同样的工时,最低档次每天生产60件,提高一个档次将少生产4件产品,问生产第几档次的产品,所获利润最大,最大是多少?【解析】设生产第x档次的产品利润为y,由题意得,y=[6+2(x-1)][60-4(x-1)]=(2x+4)(64-4x)=-8x2+112x+256=-8(x-7)2+648,x∈[1,10],x∈N+.当x=7时,ymax=648.答：生产第7档次的产品,所获利润最大,最大是648元.8.(2022·三明高一检测)某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示.(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P=f(t),写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t).(2)规定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg,时间单位【解题指南】结合图1建立分段函数f(t)的关系式.结合图2建立二次函数g(t)的关系式.借助函数学问求解最值.【解析】(1)由图1可得,市场售价与时间的函数关系为f(t)=300由图2可得,种植成本与时间的函数关系为g(t)=1200(t-150)2+100,0≤t≤(2)设t时刻的纯收益为h(t),则由题意,得h(t)=f(t)-g(t),即h(t)=-当0≤t≤200时,配方整理,得h(t)=-1200(t-50)2所以,当t=50时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值100;当200<t≤300时,配方整理,得h(t)=-1200(t-350)2所以,当t=300时,h(t)取得区间(200,300]上的最大值87.5.综上,由100>87.5可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100,此时t=50,即从二月一日开头的第50天,上市的西红柿纯收益最大.【变式训练】某地区为响应上级号召,在2022年初,新建了一批有200万平方米的廉价住房,供困难的城市居民居住.由于下半年受物价的影响,依据本地区的实际状况,估量今后住房的年平均增长率只能达到5%.(1)经过x年后,该地区的廉价住房为y万平方米,求y=f(x)的表达式,并求此函数的定义域.(2)作出函数y=f(x)的图像,并结合图像求：经过多少年后,该地区的廉价住房能达到300万平方米?【解析】(1)经过1年后,廉价住房面积为200+200×5%=200(1+5%)万平方米;经过2年后为200(1+5%)2万平方米…经过x年后,廉价住房面积为200(1+5%)x万平方米,所以y=200(1+5%)x(x∈N+).(2)作函数y=f(x)=200(1+5%)x(x≥0)的图像,如图所示.作直线y=300,与函数y=200(1+5%)x的图像交于A点,则A(x0,300),A点的横坐标x0的值就是y=300时所经过的时间x的值.由于8<x0<9,则取x0=9,即经过9年后,该地区的廉价住房能达到300万平方米.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2022·桂林高一检测)某种商品进价为每件100元,按进价增加25%出售,后因库存积压降价,按九折出售,每件还获利()A.25元 B.20.5元 C.15元 D.12.5元【解析】选D.每件获利100(1+25%)×0.9-100=100(1.25×0.9-1)=12.5(元).2.某种生物增长的数量y与时间t的关系如下表：x123…y138…下面函数关系式中,能表达这种关系的是()A.y=x2-1 B.y=2x-1C.y=2x-1 D.y=1.5x2-2.5x+2【解析】选D.把点的坐标(1,1),(3,8)代入四个选项检验可知,只有D选项符合题意.3.(2022·潍坊高一检测)某学校要召开同学代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()A.y=x10 B.y=C.y=x+410 【解题指南】求解本题可抓住“当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表”这一特征,并借助特殊值法求解.【解析】选B.由题意,可用特殊值法求解,当x=17时,A选项错误,当x=16时,x+410=2,【拓展延长】特殊值法解选择题的方法技巧用特殊值(特殊数值、特殊图形、特殊位置、特殊情形等)代替题设普遍条件,得出特殊结论,对各个选项进行检验,从而作出正确的推断.常用的特殊值有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等,留意：特殊值法只能否定选择项,不能确定选择项.当正确的选择对象在题设普遍条件下都成立时,用特殊值(取得越简洁越好)进行探求.从而清楚、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊状况的争辩来推断一般规律,是解答本类选择题的最佳策略.二、填空题(每小题7分,共14分)4.据某校环保小组调查,某区垃圾量的年增长率为b,2021年产生的垃圾量为a吨,由此猜想该区2022年的垃圾量应为吨.【解析】下一年的垃圾量为a(1+b)吨,从2021年开头经过5年到2022年时该区的垃圾量应为a(1+b)5吨.答案：a(1+b)55.(2022·德州高一检测)国家规定个人稿费纳税方法是：不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4000元的按全部稿酬的11%纳税.已知某人出版一本书,共纳税420元,这个人应得稿费(扣税前)为元.【解题指南】依据题设条件,借助分段函数的学问求解本题,留意理解“超过……的部分”的含义.【解析】设扣税前应得稿费为x元,则应纳税额为分段函数,由题意,得y=0,x≤800,所以(x-800)×14%=420,所以x=3800.答案：3800三、解答题(每小题12分,共24分)6.(2022·临沂高一检测)某种消费品每件60元,不收附加税时,每年销售80万件,若国家征收附加税时每销售100元要征收R元(叫作税率R%),则每年销售量比原来削减20R(1)税率R%应定在什么范围?(2)当税率R%为多少时,所取税金最多?最多税金为多少?【解析】(1)设销售量为每年x万件,在税率R%的状况下,每年的销售量x=80-203由题意得,从中征收的税金为y=60·80-20R3·R%≥128,即R2-12R+32≤0,解得4≤R≤所以R%∈[4%,8%],所以税率定在[4%,8%]时,年收税额不低于128万元.(2)由于税金f(R)=60·80-20R3·R%=-4R2所以当R=6,即税率为6%时,税金最多,最多税金为144万元.【拓展延长】解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型.(2)建模：将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学学问,建立相应的数学模型.(3)求模：求解数学模型,得出数学结论.(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.7.(2022·吉安高一检测)某校同学社团心理学争辩小组在对同学上课留意力集中状况的调查争辩中,发觉其留意力指数P与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图像的一部分,当t∈[14,40]时,曲线是函数y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)图像的一部分.依据专家争辩,当留意力指数P大于等于80时听课效果最佳.(1)试求P=f(t)的函数关系式.(2)老师在什么时段内支配核心内容能使得同学听课效果最佳?请说明理由.【解析】(1)t∈(0,14]时,设P=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),将(14,81)代入得c=-14,t∈(0,14]时,P=f(t)=-14(t-12)t∈[14,40]时,将(14,81)代入y=loga(t-5)+83,得a=13所以P=f(t)=-(2)t∈(0,14]时,-14(t-12)2+82≥解得12-22≤t≤12+22,所以t∈[12-22,14],t∈[14,40]时,log13(t-5)+83≥80,解得5<t所以t∈[14,32],所以t∈[12-22,32],即老师在t∈[12-22,32]时段内支配核心内容能使得同学听课效