【高考解码】2021届高三数学二轮复习(新课标)-专题大模拟(一)(专题一～二)

专题大模拟(一)(专题一～二)(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．)1．(2022·安徽高考)设i是虚数单位，eq\o(z,\s\up6(－))表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则eq\f(z,i)＋i·eq\o(z,\s\up6(－))＝()A．－2B．－2iC．2D．2i【解析】由于z＝1＋i，所以eq\f(z,i)＋i·eq\o(z,\s\up6(－))＝(－i＋1)＋i(1－i)＝2.【答案】C2．(2022·北京东城调研)设集合A＝{x|1<2x<16}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩∁RB＝()A．(1,4)B．(3,4)C．(1,3)D．(1,2)【解析】∵1<2x<16，∴20<2x<24，∴0<x<4，A＝(0,4)．∵x2－2x－3≤0，∴－1≤x≤3，∴B＝[－1,3]，∴∁RB＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∴A∩(∁RB)＝(3,4)．故选B.【答案】B3．(2021·全国大纲高考)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为()A．(－1,1)B．(－1，－eq\f(1,2))C．(－1,0)D．(eq\f(1,2)，1)【解析】已知函数f(x)的定义域为[a，b]，求函数f(g(x))的定义域，是求满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值集合．要使函数有意义，需满足－1<2x＋1<0，解得－1<x<－eq\f(1,2)，即所求函数的定义域为(－1，－eq\f(1,2))．【答案】B4．(2022·银川一中模拟)下列说法正确的是()A．命题“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋3<0”的否定是：“∀x∈R，x2＋2x＋3>0”B．若a∈R，则“eq\f(1,a)<1”是“a>1”的必要不充分条件C．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件D．若命题p：“∀x∈R，sinx＋cosx≤eq\r(2)”，则綈p是真命题【解析】A中命题的否定应为“∀x∈R，x2＋2x＋3≥0”；C中应为充分不必要条件；D中为假命题．【答案】B5．(2022·江西高考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·2x，x≥0,2－x，x＜0))(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2【解析】f(－1)＝2，∵f(2)＝1，∴a·22＝1，∴a＝eq\f(1,4).【答案】A6．(2022·重庆高考)下列函数为偶函数的是()A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－xD．f(x)＝2x＋2－x【解析】函数f(x)＝x－1和f(x)＝x2＋x既不是偶函数也不是奇函数，排解选项A和选项B；选项C中f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，所以f(x)＝2x－2－x为奇函数，排解选项C；选项D中f(x)＝2x＋2－x，则f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)＝2x＋2－x为偶函数，故选D.【答案】D7．(2022·东北三校联考)执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f(x)＝sinx，②f(x)＝cosx，③f(x)＝eq\f(1,x)，④f(x)＝x2，则输出的函数是()A．f(x)＝sinxB．f(x)＝cosxC．f(x)＝eq\f(1,x)D．f(x)＝x2【解析】结合题中的程序框图得知，输出的函数是奇函数，且存在零点．故选A.【答案】A8．(2022·安徽高考)设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则()A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．a＜c＜b【解析】由于2＞a＝log37＞1，b＝21.1＞2，c＝0.83.1＜1，所以c＜a＜b.【答案】B9．(理)(2022·湖北武汉调研)若S1＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx，S2＝eq\i\in(1,2,)(lnx＋1)dx，S3＝eq\i\in(1,2,)xdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1<S2<S3B．S2<S1<S3C．S1<S3<S2D．S3<S1<S2【解析】分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A.【答案】A

(文)(2022·四川高考)已知b＞0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，则下列等式肯定成立的是()A．d＝acB．a＝cdC．c＝adD．d＝a＋c【解析】a＝eq\f(lgb,lg5)，c＝lgb，d＝eq\f(1,lg5)，∴a＝cd，故选B.【答案】B10．(2022·浙江高考)记max{x，y}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥y，,y，x<y，))min{x，y}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y，x≥y，,x，x<y，))设a，b为平面对量，则()A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2【解析】由三角形法则知min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}的大小不确定，由平行四边形法则知，max{|a＋b|，|a－b|}所对角大于或等于90°，由余弦定理知max{|a＋b|，|a－b|}≥|a|2＋|b|2，故选D.【答案】D11．(2022·安徽江南十校联考)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)且a∥b，若x，y均为正数，则eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)的最小值是()A.eq\f(5,3)B.eq\f(8,3)C．8D．24【解析】由于a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，a∥b，所以2x＋3y＝3，则eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)＝eq\f(1,3)(eq\f(3,x)＋eq\f(2,y))(2x＋3y)＝eq\f(1,3)(12＋eq\f(9y,x)＋eq\f(4x,y))≥8.当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9y2＝4x2,2x＋3y＝3))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,4),y＝\f(1,2)))时等号成立，所以eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)的最小值为8，故选C.【答案】C12．(2022·山东济南一模)已知g(x)＝ax＋1，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，0≤x≤2,－x2，－2≤x<0))，对∀x1∈[－2,2]，∃x2∈[－2,2]，使g(x1)＝f(x2)成立，则a的取值范围是()A．[－1，＋∞)B．[－1,1]C．(0,1]D．(－∞，1]【解析】当x∈[0,2]时，f(x)∈[0,3]，当x∈[－2,0)时，f(x)∈[－4,0)，所以当x∈[－2,2]时，f(x)∈[－4，3]．当a≥0，x∈[－2,2]时，g(x)∈[－2a＋1,2a＋1]，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2a＋1≥－4，,2a＋1≤3，))得0≤a≤1；当a<0，x∈[－2,2]时，g(x)∈[2a＋1，－2a＋1]，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋1≥－4，,－2a＋1≤3，))得－1≤a<0.综上，－1≤a≤1.故选B.【答案】B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)13．(2022·湖北高考)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.【解析】由题意(a＋λb)·(a－λb)＝0，∴|a|2＝λ2|b|2，即18＝λ2·2，解得λ＝±3.【答案】±314．(2022·兰州、张掖联考)已知x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,3x＋4y≥4，,y≥0，))则x2＋y2的最小值是________．【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，x2＋y2表示平面区域内的点到坐标原点的距离的平方．由题意知，当以原点为圆心的圆与直线3x＋4y－4＝0相切时，x2＋y2取得最小值，即eq\r(x2＋y2)＝eq\f(|－4|,5)＝eq\f(4,5)，所以(x2＋y2)min＝eq\f(16,25).【答案】eq\f(16,25)15．(2022·江苏高考)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝|x2－2x＋eq\f(1,2)|.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．【解析】∵当x∈[0,3)时，f(x)＝|x2－2x＋eq\f(1,2)|作出函数的图象如图所示，可知f(0)＝f(1)＝eq\f(1,2)，f(3)＝eq\f(7,2).若使得f(x)－a＝0在x∈[－3,4]上有10个零点，由于f(x)的周期为3，则只需直线y＝a与函数f(x)＝|x2－2x＋eq\f(1,2)|，x∈[0,3)的应有4个交点，则有a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))16．(2022·山东潍坊一模)已知函数y＝f(x)为奇函数，且对定义域内的任意x都有f(1＋x)＝－f(1－x)．当x∈(2,3)时，f(x)＝log2(x－1)．给出以下4个结论：①函数y＝f(x)的图象关于点(k,0)(k∈Z)成中心对称；②函数y＝|f(x)|是以2为周期的周期函数；③当x∈(－1,0)时，f(x)＝－log2(1－x)；④函数y＝f(|x|)在(k，k＋1)(k∈Z)上单调递增．其中全部正确结论的序号为________．【解析】由于f(2＋x)＝－f(1－(1＋x))＝－f(－x)＝f(x)，所以f(x)的周期为2，由于f(x)为奇函数，其图象关于点(0,0)对称，所以f(x)的图象也关于点(2,0)对称，先作出函数f(x)在(2,3)上的图象，然后作出在(1,2)上的图象，左右平移即可得到f(x)的草图如图所示，由图象可知f(x)关于点(k,0)(k∈Z)对称，故①正确；由y＝|f(x)|的图象可知y＝|f(x)|的周期为2，故②正确；当－1<x<0时，2<2－x<3，f(2－x)＝log2(1－x)＝－f(x)，即f(x)＝－log2(1－x)，故③正确；y＝f(|x|)在(－1,0)上为减函数，故④错误．【答案】①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(10分)已知全集U＝R，集合M＝{x|log2(3－x)≤2}，集合N＝{x|y＝eq\r(\f(1,2)x2－x－6－1)}，(1)求M，N；(2)求(∁UM)∩N.【解】(1)∵log2(3－x)≤2，∴0＜3－x≤4，∴－1≤x＜3.∴M＝{x|－1≤x＜3}．又(eq\f(1,2))x2－x－6－1≥0，∴x2－x－6≤0，∴－2≤x≤3.∴N＝{x|－2≤x≤3}．(2)由(1)得∁UM＝{x|x＜－1，或x≥3}．∴(∁UM)∩N＝{x|－2≤x＜－1，或x＝3}．18．(12分)(2022·陕西高考)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＝n＝eq\f(2,3)，求|eq\o(OP,\s\up6(→))|；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．【解】(1)∵m＝n＝eq\f(2,3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,1)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(1,2)＋eq\f(2,3)(2,1)＝(2,2)，∴|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).(2)∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m＋2n，,y＝2m＋n，))两式相减，得m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.19．(12分)设f(x)＝eq\f(2x2,x＋1)，g(x)＝ax＋5－2a(a＞0)．(1)求f(x)在x∈[0,1]上的值域；(2)若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．【解】(1)∵f′(x)＝eq\f(4xx＋1－2x2,x＋12)＝eq\f(2x2＋4x,x＋12)≥0在x∈[0,1]上恒成立，∴f(x)在[0,1]上单调递增．又∵f(0)＝0，f(1)＝1，∴f(x)在x∈[0,1]上的值域为[0,1]．(2)f(x)的值域为[0,1]，g(x)＝ax＋5－2a(a＞0)在x∈[0,1]上的值域为[5－2a,5－a]．由条件，只需[0,1]⊆[5－2a,5－a]．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－2a≤0,5－a≥1))⇒eq\f(5,2)≤a≤4.∴a的取值范围是[eq\f(5,2)，4]．20．(12分)(2022·浙江杭州模拟)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2＋eq\r(x))x万元．假设桥墩等距离分布，全部桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【解】(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝eq\f(m,x)－1，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq\r(x))x＝256(eq\f(m,x)－1)＋eq\f(m,x)(2＋eq\r(x))x＝eq\f(256m,x)＋meq\r(x)＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－eq\f(256m,x2)＋eq\f(1,2)mx－eq\f(1,2)＝eq\f(m,2x2)(xeq\f(3,2)－512)．令f′(x)＝0，得xeq\f(3,2)＝512，所以x＝64.当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)上为减函数；当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)上为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时n＝eq\f(m,x)－1＝eq\f(640,64)－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y最小．21．(12分)已知m∈R，设p：x1和x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根，不等式|m2－5m－3|≥|x1－x2|对任意的实数a∈[－1,1]恒成立，q：函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋eq\f(4,3))x＋6在R上有极值，若綈p或綈q为假，求实数m的取值范围．【解】由题设x1和x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根，得x1＋x2＝a且x1x2＝－2，所以|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(a2＋8)，当a∈[－1,1]时，a2＋8的最大值为9，即|x1－x2|≤3.由题意，不等式|m2－5m－3|≥|x1－x2|对任意的实数a∈[－1,1]恒成立的m的解集等于不等式|m2－5m－3|≥3的解集，由此不等式得m2－5m－3≤－3①或m2－5m－3≥3②不等式①的解集为0≤m≤5.不等式②的解集为m≤－1或m≥6.因此，当m≤－1或0≤m≤5或m≥6时，p是正确的．对函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋eq\f(4,3))x＋6，求导得f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋eq\f(4,3).令f′(x)＝0，即3x2＋2mx＋m＋eq\f(4,3)＝0.此一元二次方程的判别式Δ＝4m2－12(m＋eq\f(4,3))＝4m2－12m－16.若Δ＝0，则f′(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)的符号如下：x(－∞，x0)x0(x0，＋∞)f′(x)＋0＋因此，f′(x0)不是函数f(x)的极值，若Δ＞0，则f′(x)＝0有两个不相等的实根x1和x2(x1＜x2)，且f′(x)的符号如下：x(－∞，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋因此，函数f(x)在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得微小值．综上所述，当且仅当Δ＞0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上有极值．由Δ＝4m2－12m－16＞0，得m＜－1或m＞4.因此，当m＜－1或m＞4时，q是正确的．综上，使p且q真，即綈p或綈q假时，实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(4,5]∪[6，＋∞)．22．(12分)(2022·山东高考)设函数f(x)＝alnx＋eq\f(x－1,x＋1)，其中a为常数．(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)争辩函数f(x)的单调性．【解】(1)由题意知a＝0时，f(x)＝eq\f(x－1,x＋