方程组解的结构

第四节线性方程组解的结构•齐次线性方程组解的结构•非齐次线性方程组解的结构•解的性质齐次方程组解的性质设方程组为

AX=O

，证明：因为则有齐次方程组的解对加法封闭.

性质1

若为齐次方程组AX=O的解，则也是AX=O的解。即是AX=O的解。P.145（一）齐次线性方程组解的结构证明：因为则有齐次方程组的解对数乘封闭.

性质2

若为齐次方程组AX=O的解，则也是AX=O的解。即是AX=O的解。

性质3

若是AX=O

的解，则为AX=O的解。当r(A)=r<n时，方程组有无穷多个非零解。一般解为：问题：1.解之间有什么联系？2.那些解是最基本的？答案是：用解向量的极大无关组表示全部解，即：解的结构。3.怎样求这些最基本得解？设方程组AX=O

的全部解向量为：设(I)的一个极大无关组为：称(II)为AX=O

的一个基础解系(P.146定义3.9)。满足：(1)Vi是AX=O

的非零解；(2)线性无关；(3)每个解都可由(II)线性表示。问题：基础解系存在吗？若存在，有多少个向量？怎样求基础解系？

定理3.12(P.146)若r(A)=r<n，则方程组AX=O

有基础解系,且所含解向量的个数为n-rn-r

个自由未知量分别取…证

(1)对AX=O

，A

行简化阶梯形阵,得：24得n-r个解：(2)

由于线性无关，代入同解方程组得：由Th3.10(P.139)知，故它是方程组的一个基础解系。因此，AX=O

的通解或全部解可表示为：其中为任意常数。推论设AX=O,r(A)=r<n。则（1）任何n-r个线性无关的解向量都是基础解系；（2）每一个基础解系都含n-r个解向量；（3）任何n-r+1个解向量都线性相关。

(4)若r(A)=n,则AX=O无基础解系。求AX=O

通解的步骤：（1）化(AO)或A为行简化阶梯形矩阵，得同解方程组；（2）自由未知量分别取…代入同解方程组，得基础解系：（3）写出通解。注：自由未知量的取值只要n-r

个n-r

维向量线性无关即可。例（P.149例1）求方程组的全部解。且同解方程组为：因r(A)=2<4，所以齐次方程组有非零解。自由未知量分别取得基础解系：方程组的通解：其中为任意常数。注自由未知量若分别取则v1,v2

的分量为整数，P.150例2例为何值时，方程组有非零解？并求全部解。解法一求参数和求解同时进行方程组有非零解。同解方程组为：练习求全部解3个未知量！分别取得基础解系：通解基础解系中有1个向量。取1，得基础解系：得同解方程组：问：能否取0？法二：本题可用

|A|=0求不能！

例(P.152)

满足AB=O，证明：证明思路：证令先证B

的每列都是AX=O的解，再由Th3.12可得结果。得即为AX=O的一组解，故A,B不一定是方阵

n个未知量小结论：练习设三维向量是齐次方程组AX=O的基础解系，求a,b。解由已知条件得AX=O是三个未知量，三个方程的齐次方程组，且r(A)=1.(因基础解系向量个数2＝3－r(A))故a=-2,b=3.思考题：能否由|A|=0来定a,b?因为其结果包含了r(A)=2的情形，与题设不符。不能！练习已知三阶矩阵，且B

的每个列向量都是方程组解（2）证法一(用P.16917题及P.152例3)由B

的各列是AX=O

的解得：AB=O思路：证r(B)<3，从而得|B|=0.证法二：(用Th3.12)故|B|=0.由AB=O

得与矛盾。则B

可逆，由B

的各列是AX=O

的解得(17题)：AB=O证法三（反证法）：假若故|B|=0。（二）非其次线性方程组解的结构定理3.1复习：有无穷多解时，其一般解为：问题：怎样用少数解向量表示这无穷多个解？非齐次方程组AX=b(1)(1)的导出组

AX=O(2)性质

(P.153)1.是(1)之解，是(2)之解，是(1)之解。2.是(1)之解，是(2)

之解。即是(2)之解。思考题：是(1)之解仍是(1)之解？？证证但有（P.17021题）：证定理3.13

(P.153)（特解），v

是导出组（2）之全部解（通解）非齐次方程组的通解为:非齐次方程组的特解加导出组的通解即28证法一（见P.153）证法二（反证法）这与（A）是（2）之全部解矛盾，故（B）是（1）之全部解。（现证明是全部解）而（2）之解又可用基础解系表示，故得（1）之解为：其中为(2)之基础解系.求AX=b通解的步骤：化(Ab)为行简化阶梯形矩阵，判别有无解，若有解转入2；2.由1得（1）的同解方程组，并求特解；3.由1得（2）的同解方程组，并求基础解系；4.写出通解。31例（P.154）例设方程组为何值时方程组有解？有解时求全部解。解方程组有解。练习：导出组的同解方程组：得基础解系：原方程组的通解：同解方程组：答案:(b)练习：例（P.154）其同解方程组为：可否取非零值?导出组的同解方程组为：原方程组的通解为：问：能否按下述方法求基础解系v1,v2?这是原方程组的特解!例设是非齐次线性方程组AX=b的一个特解，是导出组AX=O

的基础解系，（1）证明向量组：线性无关；（2）求AX=b的所有解向量组成的向量组的秩。证（1）设有一组数使得1整理得：2思路：利用和分别是AX=b和AX=O的解，分两步证明必有全为零及为零。代入式得：3故向量组线性无关4代入式得：23左乘A得：2（2）由性质知，整理可得：设是AX=b的任意一个解，有：4即可由线性表示。4由Th3.10(P.139)知