2022-2023学年北京市高二年级上册学期11月学段考试数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市第二中学高二上学期11月学段考试数学试题一、单选题1．在复平面内，复数对应的点为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由复数的几何意义可得复数，利用复数的乘法可求得结果.【详解】由复数的几何意义可知，故.故选：A.2．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题：①若，则②若，则③若，则④若，则其中错误的命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用线面垂直的性质定理可判断①；利用线面垂直，及面面平行的判定定理可判断②；利用线线，线面，面面的位置关系可判断③④.【详解】对于①，垂直于同一平面的两条直线平行，故①正确；对于②，垂直于同一直线的两个平面平行，故②正确；对于③，若，则，或，故③错误；对于④，若，则，或，故④错误；所以错误的命题是③④，故选：C3．过点向圆作切线，则切线长为（

）A． B．5 C． D．24【答案】A【分析】利用两点距离公式与勾股定理即可求得切线长.【详解】因为圆的圆心为，半径为，作出图形，连接，易知，因为到的距离为，所以切线长为.故选：A.4．“”是“曲线为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先由双曲线的标准方程求出的范围，再结合充分必要的定义判断即可.【详解】由题意可知，为双曲线等价于，解得或，显然能推出或，反之不成立，∴应为充分不必要条件，故选：A．5．设为坐标原点，动点在椭圆C：上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出点的坐标，根据向量的坐标表示，建立等量关系，代入椭圆方程，整理可得答案.【详解】设，，，则，，由，则，解得，由点在椭圆C：上，则，即，即点的轨迹方程是.故选：C.6．圆上到直线的距离为的点共有A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.【详解】圆可变为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离，圆上到直线的距离为的点共有个.故选：C.【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.7．已知，双曲线的左､右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，则的最小值为（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案.【详解】由双曲线，则，即，且，由题意，作图如下：，当且仅当共线时，等号成立.故选：C.8．设椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且满足，则的值为A．8 B．10 C．12 D．15【答案】D【详解】由已知，①由椭圆定义知，，②由余弦定理得，③由①②③得.故选：D.【点晴】本题主要考查椭圆的定义及性质、平面向量数量积公式及余弦定理.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、离心率等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.本题的解答就是综合考虑椭圆的定义、几何性质以及余弦定理解答的.9．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为A． B．1 C． D．【答案】C【分析】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，可得平面,再证明平面平面,可知在上时，符合题意，从而得到与重合时三角形的面积最小，进而可得结果.【详解】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，直线与平面不存在公共点，所以平面,由中位线定理可得,在平面内，在平面外，所以平面,因为与在平面内相交，所以平面平面,所以在上时，直线与平面不存在公共点，因为与垂直，所以与重合时最小，此时，三角形的面积最小，最小值为，故选C.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.10．已知圆O:，直线，点在直线上。若存在圆O上的点Q，使得(O为坐标原点)，则的取值范围是（

）A． B．[0,1] C． D．【答案】A【解析】由题意分析可得满足，就能保证一定存在点，使得，由，带入两点间的距离公式可得，解不等式即可.【详解】圆外又一点，圆上又一动点，在与圆相切时取得最大值，如果变长，那么可以获得的最大值将变小，可以得知，当，且与圆相切时，，而当时，在圆上任意移动，恒成立，因此满足，就能保证一定存在点，使得，否则，这样的点是不存在的，点在直线，，即，，，解得，的取值范围是.

故选：A【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了基本运算求解能力，属于中档题.二、填空题11．已知实数和满足，则的范围是______.【答案】【分析】根据目标函数的几何意义，作图找点边界，利用直线与圆相切的性质，可得答案.【详解】由，即，则可表示与连线的斜率，作图如下：则与连线与圆相切时，取得最值，设，则代入，整理可得，由直线与圆相切，则，即，解得，故.故答案为：.12．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为_____________．【答案】【分析】根据两圆外切可得(a＋b)2＝(2＋1)2并结合基本不等式计算即可.【详解】由两圆外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆半径之和，即(a＋b)2＝(2＋1)2，即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤，当且仅当a＝b时取等号，即ab的最大值是．故答案为：13．已知椭圆的一个焦点为，直线与以椭圆的长轴为直径的圆相交于两点.若椭圆恰好将线段三等分，则______.【答案】##【分析】根据题意，利用椭圆的性质，可得方程，由题意，写出圆的方程，求得弦，联立直线与椭圆，求得交点，进而求得椭圆中所截的弦长，利用三等分，建立方程，可得答案.【详解】由椭圆的一个焦点为，则，即，以椭圆的长轴为直径的圆的方程为，由直线过圆心，则，联立，消去可得，解得，设直线与椭圆的交点分别为，则，，则，由椭圆恰好将线段三等分，则，即，整理可得，代入，可得，解得.故答案为：.14．数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线.如图，已知，起始位置时大圆与小圆的交点为（点为轴正半轴上的点），滚动过程中点形成的轨迹记为星形线.有如下结论：①曲线上任意两点间距离的最大值为；②曲线的周长大于曲线的周长；③曲线与圆有且仅有个公共点.其中正确的序号为________________.【答案】①③【分析】由题意知星形线任意点满足，为参数，其中，即，，从而可判断①；分析曲线的图像，与星形线图像对比可知②；求出星形线与直线的交点，知曲线与圆相切，可判断③；【详解】由已知可知小圆与大圆是内切的关系，设小圆的圆心为，则小圆的圆心轨迹为以为圆心，半径为3的圆，即设星形线任意点，则，为参数，其中可知星形线任意点，满足，对于①，星形线上左右两个端点，或上下两个端点，的距离最远，等于8，故①正确；对于②，曲线为过点，，，的正方形，而星形线与坐标轴的交点也是这四个点，由两点之间线段最短，可知曲线的周长小于曲线的周长，故②错误；对于③，星形线与直线的交点为，即它们到原点的距离为与圆的半径相等，所以曲线与圆相切，即有且仅有个公共点，故③正确；故答案为：①③【点睛】关键点点睛：本题考查两个圆的内切关系求轨迹，解题的关键是理解星形线的定义，求出对应点满足的条件，再分析选项，考查学生的分析审题能力，属于难题.三、双空题15．已知双曲线经过点，则它的渐近线方程为______，离心率为______.【答案】

【分析】根据求双曲线标准方程及几何性质解决即可.【详解】由题知，双曲线经过点，所以，解得，所以双曲线方程为，所以双曲线焦点在轴上，，所以它的渐近线方程为，离心率为，故答案为：；.四、解答题16．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点.(1)求圆的方程；(2)当时，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，又知圆心坐标为，从而求解圆的标准方程；（2）先讨论斜率不存在的直线是否合题意，斜率存在时，根据点斜式设出直线方程，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式及勾股定理求直线斜率，进而确定直线方程.【详解】（1）设圆的半径为，∵圆与直线相切，∴，∴圆的方程为.（2）设的中点为，则，∴，当直线与轴垂直时，易知直线的方程为，此时，符合题意；当直线与轴不垂直时，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，又，，∴，又，∴，则，则直线的方程为：，即，综上可知直线的方程为：或.17．在中，.(1)求的大小；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选报两个作为已知，使得存在，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.【答案】(1)(2)选②③，【分析】（1）根据余弦定理直接可得解；（2）计算可得不能同时选①，则只能选②③，由正弦定理可求边，再由三角形内角和可得，进而可得三角形面积；【详解】（1）由，根据余弦定理得，所以；（2）若选①，由，，可知，，所以，不成立，所以不能选①，只能选②③，由正弦定理可知，即，又，所以，，所以.18．我校为了解高二学生数学学科的学习效果，现从高二学生第二学期期末考试的成绩中随机抽50名学生的数学成绩（单位：分），按分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求的值及这50名学生数学成绩的中位数；(2)该学校为制订下阶段的复习计划，现需从成绩在内的学生中任选2名作为代表进行座谈，若已知成绩在内的学生中男女比例为，求至少有1名女生参加座谈的概率.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据频率之和为1，设中位数为计算即可；（2）列举法解决即可.【详解】（1）由题知，，解得，设这50名学生数学成绩的中位数为，所以，解得.所以这50名学生数学成绩的中位数为122.5（2）由频率分布直方图知，成绩在内的学生有名，因为成绩在内的学生中男女比例为，所以6名学生中男生有4名，女生有2名，记男生分别为，女生分别为，所以从6名学生中任选2名情况有共15种，其中至少有1名女生的有，共9种，所以至少有1名女生参加座谈的概率为.19．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，可得为平面的法向量，可求得即可证明；（2）求出平面和平面的法向量，即可由向量关系求出；（3）设，可得，结合为平面的法向量，再由即可求出.【详解】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，，，，，，，，又因为，分别为和的中点，得，．可得为平面的法向量，，由此可得，又因为直线平面，所以平面．（2）解：，，设为平面的法向量，则，即不妨设，可得．设为平面的法向量，则，又，得，不妨设，可得．因此有，所以，平面与平面的夹角的余弦值为．（3）解：依题意，可设，其中，则，从而，又为平面的法向量，由已知，得，整理得，又因为，解得，所以，线段的长为．【点睛】利用空间向量求解立体几何问题的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)当直线的斜率为1时，求的面积；(3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）根据题意，结合椭圆的标准方程与几何性质，列出方程组求解即可；（2）联立直线与椭圆方程，从而利用弦长公式求得，再利用点线距离公式求得，由此即可求得的面积；（3）分类讨论，当平行于轴时，判断得点在轴上；当垂直于轴时，进一步求得；当不平行于轴且不垂直于轴时,验证得满足一般情况，从而得解.【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C的方程为.（2）依题意，设，则直线为，即，联立，消去，得，所以，，故，又因为到直线的距离为，所以.（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，则有，即，解得或，所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；当不平行于轴且不垂直于轴时,设直线方程为，联立，消去，得，易得,，又因为点关于轴的对称点的坐标为，又，，则，所以，则三点共线，所以；综上：存在与点不同的定点，使恒成立，且..【点睛】方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21．在数字1，2，…，n(n≥2)的任意一个排列A：a1，a2，，an中，如果对于i，j∈N*，i＜j，有ai＞aj，那么就称(ai，aj)为一个逆序对．记排列A中逆序对的个数为S（A）．如n=4时，在排列B：3，2，4，1中，逆序对有（3，2），（3，1），（2，1），（4，1），则S（B）=4．（1）设排列C：3，5，6，4，1，2，写出S（C）的值；......字1，2，...，n的一切排列A，求所有S（A）的算术平均值；（3）如果把排列A：a1，a2......，an中两个数字ai，aj（i＜j）交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A'：b1，b2，…，bn，求证：S（A）+S（A'）为奇数．【答案】（1）10（2）（3）证明见解析【分析】（1）由逆序对的定义，列举即可得到所求值为10；（2）考察排列D：d1，d2，…，dn﹣1，dn，运用组合数可得排列D中数对（di，dj）共有个，即可得到所有S（A）的算术平均值；（3）讨论（i）当j=i+1，即ai，aj相邻时，（ii）当j≠i+1，即ai，aj不相邻时，由新定义，运用调整法，可得S（A）+S（A'）为奇数．【详解】（1）逆序对有（3，1），（3，2），（5，4），（5，1），（5，2），（4，1），（4，2），（6，4），（6，1），（6，2）则S（C）=10；

（2）考察排列D：d1，d2，…，dn﹣1，dn与排列D1：dn，dn﹣1，…，d2，d1，因为数对（di，dj）与（dj，di）中必有一个为逆序对（其中1≤i＜j≤n），且排列D中数对（di，dj）共有个，所以．所以排列D与D1的逆序对的个数的算术平均值为，而对于数字1，2，…，n的任意一个排列A：a1，a2，…，an，都可以构造排列A1：an，an﹣1，…，a2，a1，且