射影几何在中学数学应用

射影几何在中学数学应用其中(x,y)与(x',y')为任一对对应点P,P'的坐标,矩阵|A|0,称为仿射变换的矩阵.仿射变换

椭圆在仿射变换下可变换为圆，平行四边形在仿射变换下可变换为正方形射影几何在中学数学应用

仿射变换的基本性质:(1)保持直线的平行线；

(2)保持同素性和结合性；

(3)保持共线三点的单比,从而保持两平行线段的比值不变.仿射变换

定理：两个三角形的面积之比是仿射不变量；

推论1：两个多边形的面积之比是仿射不变量；

推论2：两个封闭图形的面积之比是仿射不变量；射影几何在中学数学应用

椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线，直线与直线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之比不变（单比不变），从而线段的中点保持不变，面积之比在变换下不变，两直线斜率只比不变，等等；但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等则发生改变仿射变换射影几何在中学数学应用仿射变换

例1在平行四边形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上，且EF//BD,求证：射影几何在中学数学应用仿射变换

例2求椭圆的面积射影几何在中学数学应用仿射变换

半径为a的圆的内接三角形的面积的最大值是多少呢？

椭圆的内接四边形面积的最大值是多少呢？一般的，椭圆的内接n边形的面积的最大值多少呢？

例3求椭圆内接△ABC的面积的最大值思考一思考二

一般的，椭圆的外切n边形的面积的最小值是多少呢？射影几何在中学数学应用

椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线，直线与直线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之比不变（单比不变），面积之比在变换下不变，两直线斜率只比不变，等等；但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等则发生改变仿射变换射影几何在中学数学应用仿射变换

例5设A、B是椭圆长轴的两个端点，C是椭圆的中心，椭圆在其上的一点P处的切线与点A处的切线相交于点Y，则CY//BP射影几何在中学数学应用仿射变换

例4求证：椭圆的任意一组平行弦的中点的轨迹是一条经过中心的线段，并且在这线段的两个端点处的切线平行于这些弦射影几何在中学数学应用仿射变换

例6（2009年辽宁卷数学理第20题）已知椭圆的方程为，点A的坐标为（1,3/2），右焦点为F，设M、N是椭圆上的两个动点，如果直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数，证明直线MN的斜率为定值，并求出这个定值射影几何在中学数学应用仿射变换射影几何在中学数学应用目录仿射变换交比的应用Desargues透视定理123提纲射影几何在中学数学应用交比的初等几何意义

注：如果P4=P,而P1,P2,P3为通常点,则可合理地规定：于是有,(P1P2,P3P)=(P1P2P3)为前三个通常点的简单比.交比射影几何在中学数学应用

定理1平面上五点(其中无三点共线)唯一确定一条非退化二阶曲线。

定理2二阶曲线上四个定点与其上任意一点连线所得四直线的交比为定值。

注：定理2对于解析几何中的各种二次曲线都适用。二次曲线的射影定义射影几何在中学数学应用

例7过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE,DF，连结EF,CD交AB于G,H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)交比射影几何在中学数学应用交比

如图：AD平分BC于点O，即OB=OD，过O的两条直线EF和GH，与四边交于E、F、G、H，连接GF和EH，分别交BD于点I、J则有OI=OJ

椭圆的长轴与x轴平行，短轴在y轴上，中心在y轴的正半轴上,过原点的两条直线分别交椭圆于点Ｃ,D和点Ｇ,Ｈ,设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q,则有OP=OQ射影几何在中学数学应用

例7过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE,DF，连结EF,CD交AB于G,H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)交比射影几何在中学数学应用

例7过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE,DF，连结EF,CD交AB于G,H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)

证明因为A,F,C,B为圆上四定点,则由二次曲线的定义，有以直线AB截这两个线束，得由交比的初等几何表示式，有所以同理可证，G'O=OH'.交比射影几何在中学数学应用调和比是最重要的交比！对于(P1P2,P3P4)=–1,则称点组为调和点组此时,若P4=P,而P1,P2,P3为通常点,则这表示P3为P1P2的中点.

定理设P1,P2,P为共线的通常点，P为此直线上的无穷远点，则P为P1P2的中点交比利用初等几何意义,有射影几何在中学数学应用

定理在完全四点形的每条边上有一个调和点组，其中一对为顶点，另一对中一个为对边点，一个为该边与对边三点形的边的交点。比如在边AB上，有完全四点形的调和性比如在边CD上，有考察完全四点形ABCD射影几何在中学数学应用

例8证明：梯形两腰延长线的交点与对角线的交点连线平分上下底。几何证明题

证明如图，ABCD为梯形，AD//BC,E,F分别为两腰和对角线的交点。EF交AD,BC于P,Q。只要证明P,Q分别是AD,BC的中点。

考察完全四点形ABCD。设ADBC=G，由上述定理，有(BC,QG)=–1，从而得出Q为BC的中点。

同理有，(AD,PG)=–1，所以P为AD的中点。完全四点形的调和性射影几何在中学数学应用目录仿射变换交比的应用Desargues透视定理123提纲射影几何在中学数学应