量子Hall效应与拓扑绝缘体理论(III)

量子Hall效应与拓扑绝缘体理论（III）交换统计单从形式上看是多体波函数的形式构造，m是奇数是源于电子的交换反对称性，且是填充数倒数。正是Laughlin抓住了FQH系统的元激发的分数统计性质，才使得他的理论大获成功。实际上这种形式也正是决定了其分数统计性质；我们可以反过来看待，若先不考虑具体的Laughlin波函数形式，从二维的分数统计出来看，Laughlin波函数的形式是必然的。我们考察的量子多体系统的交换统计。在全同粒子系统中，交换两个粒子坐标的操作用置换群描写。置换群包含两个元素，单位算子.：（即不做变换）和置换算子「。将置换算子作用在系统波函数上。由于/，可知置换算子的本征值为「•…-，其对应的本征函数分别是对称的和反对称的，而相应的粒子分别是玻色子和费米子。我们知道QHE多体系统中的低能激发产生的准粒子是任意子，带着个虚拟磁通，而任意子交换过程中而磁通会贡献相位的，而交换粒子的这个相位将决定统计性质，那么统计关系就会不一样：电子1的规范势是和电子2相关联的，可以类比为，电子1绕电子2转一圈就像绕着一个虚拟磁通转了一圈，那么1跟2电子的整体波函数就会多出一个与磁通相关的不可积相位，磁通决定着相位因子若取不同的值在统计上会有不一样的效果。整数量子统计：」’二:分数量子统计:；「 ■-"在一般的量子统计中，我们从不考虑粒子交换的路径会对统计性质有什么影响。因为在三维空间，两个粒子无论以什么方式互相绕一圈，形成任意的闭合曲线，这条闭合曲线总可以连续收缩为一点，它们都是拓扑等价的，或说所有闭合曲线属于同一拓扑等价类。路径的不同不会对置换群的表示有任何影响。但在二维平面（空间），情况则截然不同。考虑平面上的一条闭合曲线,该平面上它包围区域里有一个奇点。如果在三维空间中，这条曲线可以绕过奇点而收缩为一点，但如果在二维平面里，那么这条曲线在收缩过程中就不可避免地碰到这个点，从而永远无法收缩为一点。这就造成了二维平面中置换两个粒子坐标时粒子所走过的路径并不属于同一等价类。因此必须对路径进行分类，这样一来置换群的概念也要推广以区分不同等价类的路径。描述这一问题的标准数学语言是同伦群。同伦群的精确定义比较抽象，我们这里用一个简单的例子来说明。考虑二维平面，由于绕一个点N圈的所有闭合曲线都是拓扑等价的，可以把绕点N周的所有闭合曲线组成的等价类作为同伦群的一个元素，很容易验证它们满足群的定义。这个群叫一阶同伦群，也称为基本群。N个全同粒子系统的二维位形空间非常复杂，这个位形空间的同伦群是个无限群。位形空间分成若干不相连的区域，路径分成不相连的分支，每个分支作为一个元素组成所谓的辫子群。直观地说，两个全同粒子在二维平面中运动，它们划过的世界线相互缠绕，编成一条辫子，编辫子的不同方式就构成辫子群的元素。与此对应，任意子系统的波函数的Hilbert空间不再是置换群的表示，而是辫子群的表示，也就是说，在二维平面里只用置换群对路径分类是不够的，必须用辫子群做进一步的考查。现在以微分几何的角度来更细致地描述分数统计的数学结构。Hilbert空间中的波函数门二―犹如普通向量空间中一个矢量F的分量：因为二 八「，二是基矢。门维的位形空间是纤维丛"的一个底流形X,在X的每一点：上有一根一维的纤维广，它是单分量的Hilbert空间厂。局部地看总有/ '-广，因此有时宽泛地把波函数说成是纤维丛的截面，因为它是一个复函数，定义在底流形每一点的纤维上。但是实际上比如说，对于一个切矢量丛上 「丄■，纤维是切平面，而截面是矢量场厂，它给出一个映照•”，或* "■o因为fdx\x}fdx\x}=/砂〉心）见对应关系是妙住”㈠讥妙仗力°险。所以皿⑴）是截面的整体的抽象表示,而则是截面的局域的具体表示。在不依赖于某基矢r的局域性质这一点上来说是惟一的和普适的，但呎3°依赖于|工）,就不能说是惟一的和普适的。不过通常量子力学系统会对波函数提出诸如单值性的要求，这是因为当某流形打的拓扑性质是可缩的（con-tractible）时候，在它上面构造的纤维丛总是平庸的：我们总可以通过平移在整个流形上定义基矢而在每一点得到惟一的结果，即总有〈工1工）二风工—*）。当然，在考虑一般的切丛时候，纤维的截面是矢量场，因此态矢才是截面整体抽象表示不依赖于坐标基矢，波函数只能说是截面的局域依赖于基矢表示。不过我们要讨论二维（门-）平面有许多全同粒子的情形，存在多值波函数，这时候就不那么简单就认为波函数就和态矢 对应了。那这时就要通过收缩约化底流形来讨论，就是接下来要讲的内容。考虑在门 ＞的欧氏空间打上有n个全同粒子在运动。物理组态空间并不简单地就是.首先，任何两个粒子的位置重合是不允许的，因此底流形从收缩到二厂"「 门门表示打中的对角点，即,；■ ■■，| 而其中对某个；干■■-有"'o其次，即使在经典水平上也必须计入全同粒子的不可区别性，于是底流形进一步由•打一缩到■' ■' 「•三一,表不任何两个组态若能通过粒子间的一个置换群.•联系起来时将被认为是等同的。考虑丄的情形：因为质心继标“宀'"丨'J'〉二是平庸的，只需要研究相对半标'I■'■-0在平面上,原点工「（对应于八 ■-）必须作为一个奇点被除去。从原点沿一直线把此平面剪开，然后把它折成一个半角为的圆锥，如果将此具有两叶的圆锥面在剖线处交叉地连接两叶，使得到-打'流形；若将上下两叶等同起来，便得到」/'，它正是在r上两个全同粒子的正确的物理组态空间。在打'上粒子坐标和：•可通过反钟向-的旋转而交换（见下图，相当于在L:上绕锥顶的一个逆时针方向闭曲线-'|；若位置的交换*丨通过打'上一顺时针方向的：'转动而实现，它便相当于-打'上一顺钟向的闭曲线『’I。由于M2上存在奇点川，和「■既不能通过连续变形互变，也不能缩成一点事实上：i,「还有'!|（它可以连续变形收缩为一点）是一阶同伦群一「」…的3个基本生成元。「「上的1_和小’它们又分别对应于图中的"^1_和卞J一。一般地，厂「的一维幺正表示为：这里"是模型的参数，…称为缠绕数。借助前面引入的Hilbert丛的概念，首先定义记号：在一打'上的某一个位置某矢记为'i-，它表示第一个粒子在位置"I而第二个粒子在位置®，駅二〈工「工』。另一方面，在n严上的一个位置某矢记为丁1・丁”）=“乜jH'l"，它表示有一个粒子位于门而另一个位于•门。考虑在Hilbert空

间两全同粒子的一个态矢J我们可以在整体上定义一个单值的截面,它取值在流形-打‘上的一根纤维上：T2]t}” 血；血；爲（丁” 血；血；爲（丁1.丁』工；,竝）如（工；.工；0=limmv这里定义两类基矢之间的转换函数为：}=@2”乩（工2』丁1T；}=@2”:■■ 'I 对应于辫子群中的单位元■■ |- ■'' -■■■■■!■■■-^1'1■''是定义在基-■■上定义的多值波函数。进一步的位置交换；仃㈠*0 ◎变为“ 它已经包含在前面叭工1•工幻◎的求和式表达式之中。乙川•门J的多值性可以在图上看出：那里引入虚拟的时间[并用…来表示两根弦相互缠绕数，从下面但标「' 出发的弦不妨对应于第个粒子的"轨迹"，故；「对应于」/'流形上的坐标。另一方面，坐标；■-应当理解为在「「上位置的标记，因此不是对特定的粒子标记而是对位形坐标：与'■-，其交换为对称的。在流形」「中引入联络，由平移不变条件：D応（工}=（和—ib认x））E（x）=0引入一个联络1■'"，其部分决定于系统的动力学，部分决定于规范选择。由此可从川出发得到所有「••，类比构造几何相位的方法，即像典型的A-B相位那样对规范势（联络）绕圈作积分：exp{/丈庚）•酬）}=厂如exp这样也就给出与辫子群同构的和乐群（给出一阶同伦群到规范群'「的映射，其本身也是辫子群的幺正一维表示，对于闭合路径■-，积分应该得到■"■■■'，并且在无外场时自然要求流形的曲率张量为零。为了得到这样的联络，使用平凡的Abelian联络一一Kohno联络1形式：bk（x）dxk=b-dz+b-dz三b（蛊，可,鉴于我们只考察多体系统的统计性质，那么联络便只联系于同伦群一「''，而不考虑外力场时，m的曲率为零:卜… "h"，换言之，除了流形中的奇点，物理组态空间是局域处处平坦的。然而正是那些奇点的存在，使得我们能上面平凡的联络得出非平凡的和乐群元。为了得到和乐群元，我们需要一个非平凡的AbelianKohno联络：机二三}三bzdz+b-dz=d^Udzi+d^Udz.，有曲=护口=（）U=佥力I"也—弓）由之前提出的联络平移条件得出：\d-一浪匕1……=“}]£（-：〔……“}=0[df一诜①……却疋⑵……爲）=0解出—：如=n（越为）&刈）如罠（审寺）叙刈）那么对于「厂上一个闭合曲线-■■，则有&（灯）=&⑵良⑵=exp（-ima9'}^（z.z}波函数八与:二：多值性正好相反保证了截面^1'1■-■'的单值性：3（灯）=爲⑵爲⑵如⑵习自然得到Laughlin波函数形式「ml二' -二泸-可fg応⑴i＜）这里■■■■--■--■就是底流形收缩约化掉交换后的新的底流形纤维的单值截面；「是决定着统计性质的参数，称为统计角。如果比较Wilzeck的任意子模型的哈密顿量Hamiltonian和Chern-Simons场的作用量，会发现二者速途同归：前者是构造荷电带虚拟磁通的任意子，后者是荷电玻色子与Chern-Simons场耦合的结果。引入了C-S场后，和荷电粒子耦合就会出现这种虚拟的磁通（规范势），jP=”（初尸沪仗一及）由此可见非零场强只定域在粒子世界线上，因此粒子间不存在经典的Lorentz力,这也就是为何称为虚拟规范势的原因。在二维平面上有磁通.过的环形区域内一个带有分数电荷准拉必然带有非定域信息（因为这些准粒子是有效平均场的低能激发，是整体而非局域的），从图中可看到"’1处有一条看不见的"奇异弦"。这样就模拟出Wilzeck的复合粒子（任意子）。Chern-Simons理论中的统计规范场没有独立的动力学自由度,因而并不描写有独立动力学的粒子，它的唯一作用在于给出分数统计所要求的额外相因子。从场方程可以明显地看出这一点：统计规范场的场量完全由物质流确定，因此它的方程确切地说是一个约束条件。引入Chern-Simons项另一个好处是可以清晰地讨论：破缺，这里代表时间反演」代表宇称变换。从数学上可以证明，具有分数统计性质的任意子体系会破坏空间、时间反演对称性，也就是存在C-S场耦合的系统其基态在丁「反演下不对称。因此，考查"或「的破缺与否是判断C-S理论是否正确的一个重要检验方法。值得注意的是QCD轴子场论的"真空也会破坏r 对称性。II•拓扑不变量QHE与陈数我们已经知道Chern-Simons项是个拓扑不变量，其本质是第三陈类。那么回过头来我们发现量子霍尔效应的电导率包含的系数正是个第一陈类积分而得的陈数。

Y -2 a Y -2 a 2 4n（lO^cirr3）在上世纪80年代以前人们对物质状态进行分类的主要依据是体系的对称性。依据传统的相变理论。不同的量子态可以通过Landau自发对称性破缺的原理来理解，对称性由序参量描述对称性破缺意味着序参量不为零的有序相的出现。举例来说，晶体破坏了空间连续平移对称性；铁磁体破坏了空间旋转对称性；超导体破坏；：丨；规范对称性。而整数量子Hall效应与分数量子Hall效应的发现打破了传统的Landau相变理论。因为量子Hall态的产生并没有破坏任何对称性（不存在局域序参量），无法纳入Landau自发对称性破缺的理论框架中。因此要理解量子Hall态需要引入拓扑序的概念，相应的，量子Hall态就是一种拓扑相。而Hall电导是整数是量子化的门"对样品的大小形状载流子密度甚至迁移率均不敏感这说明存在某种内在的不变量。我们知道数学上拓扑学是研究拓扑空间中的几何不变量的学问。在凝聚态物理上，拓扑的概念是针对有能隙系统（绝缘体超导体）而言。每个有能隙的多体系统都由相应的哈密顿量来描述，如果两个系统的哈密顿量可以通过连续形变（譬如调节哈密顿量里的参数）而光滑过渡；即形变过程中，不闭合体能隙。从动力学角度而言也就意味着对任何局部微扰都具有鲁棒性而呈现的拓扑保护性，任何的局部微扰指的是八打 、匚&形式的厄米算符，其中门•只作用在有限范围区域严依据这种定义，拓扑绝缘体并非真正意义上的“拓扑”，因其不具有对任何局部微扰都鲁棒的特性，就例如破坏；：丨；和时间反演对称性的情况；因此对于拓扑绝缘体更合适应称为丨；和时间反演对称性保护的绝缘体”，它是对称性保护（SPT）拓扑序系统的一个例子）。那么我们称这两个系统属于同一个拓扑等价类。关闭体能隙伴随着量子相变，体能隙的闭合意味着动量空间中出现奇点，也就是在BZ流形上产生“洞”（亏格不为零）。为了判断两个系统是否属于同一个拓扑等价类须要引入在同胚映射下不变的代数量：拓扑不变量。它可以是一个数（例如欧拉示性数、陈数）。也可以是构建在拓扑空间上的某种代数结构，如同伦群、同调群、上同调群等。具有不同的拓扑有序态的系统必须由不同的拓扑不变量来进行描述。在量子Hall效应中，人们研究时候发现其Hall电导系数正是刻画具有不同的拓扑有序态的系统必须由不同的拓扑不变量来进行描述拓扑序的量，具有拓扑不变性，就像某种几何”内蕴的“示性数”；只不过这里的"几何"是在哈密顿量的贋自旋靶空间或者动量空间中诱导出来的纤维丛（Bloch丛）上（根据主丛的定义，就是；-1-'纤维空间与X/底流形的直积结构;可类比于电磁场，所不同的是其底流形是［＜'）0BriilouinZone我们知道微分几何中有“Gauss-Bonnet定理”：对于一个无边界二维流形-打，定理表明/KdAmd有- 。这里u是Gauss曲率,是亏格。对于环面,—1并且积分为零。Gauss-Bonnet定理是讨论的是几何流形的拓扑。而与二'，有关的是f环面流形上的'-1-'纤维丛的拓扑；或者说这是关于Bloch波函数怎样整体的表现的。真正起作用的是开头就提到的Chern-Weil理论，可以视为Gauss-Bonet定理的推广。磁场或者相当的场强/'，是流形上丛的几何曲率.Chern-Weil理论描述的是对该曲率的积分定义出陈类:它就是T■'丛上的拓扑不变量（再次类比电磁理论，开头提到电磁场是'7「纤维丛上的联络，而A-B相则是其中的拓扑不变量）。就像Gauss-Bonnet定理表述的是对Gauss曲率的积分是流形上的拓扑不变量。因此这种对比也可以让人们对陈数「•有更直观的几何理解:!；•》实际上是动量空间，经典的微分几何里面的Gauss-Bonnet定理是描述几何的位形空间，其Gauss曲率对应着卜曲率。类比于光滑流形，进一步推广到纤维丛"的示性类「上；它是定义其底流形-打的上同调类，▼上：打'-'■；'；示性类在整个底流形上的积分成为示性数，它是与不依赖于联络选择的拓扑不变量。陈类则是针对复向量丛定义的，考虑k维复向量丛其结构群可约化为：*「，纤维为k维复向量空间二：：，联络口（物理上为规范场）与曲率、尸（场强张量）都取值于李代数川,「：上。取李代数的基础表示，则〉与分别为「「矩阵的1-形式与2-形式，关系为P—d人+ A曲率矩阵的不变多项式称为总陈类：ME}=det（I+£厂）=丫匸是偶数维形式，即:n--_1 '，称为第j陈类。因：'儿是底流形-打上的2j阶闭形式，因此它定义了上同调群可以证明O（E）=^TrfT7）冰E）=寺（尹［Tr（旳人TH旳—T甘八旳］沬（E）=（打d廿陈类在整个底流形上的积分（复向量丛”第j陈数）为整数：cj=［5田、eS

1982年Thouless等人（TKNN）在一片奠基性文章中利用Kubo公式（线性响应理论）就算了二维周期性晶格系统的Hall电导发现其具有和Berry相一样的数学结构，因而进一步指出二'“系统自身变化的不敏感性来源于QHE体系的拓扑不变性，他们将该拓扑不变量称为数，用整数表示。其能带的拓扑性与一般绝缘体截然不同，以第一陈类来对定义在复数域上的任意维哈密顿量进行拓扑分类。QHE态中为非零的整数对应量子电导前的系数，普通绝缘体n为零，普通绝缘体和真空有相同的拓扑分类。因此整数量子霍尔系统的拓扑不变量就由第一陈数来表征。QHE态和真空拓扑性不同其和真空的界面上拓扑不变量必须发生变化这导致了无能隙导电的边缘态出现。Laughlin在对整数量子Hall效应时候，考虑到系统中的电子波函数整体相位相干性，引入横向周期性边界条件将位形空间构造成环带形状（torus:」•"'），在此从近自由的单电子模型出发在系统的哈密顿量中加上磁场，解二维环带域（计入在相应的长宽两组周期性边界条件）Schrodinger方程，得到能级Landau能级。实际的样品中，需要考虑存在杂质并束缚电子使之成为定域态，有掺杂的情况，每一Landau能级己扩展为能带（扩展边缘态）。一定范围内磁场变化时候电子落在定域束缚态中使得自由电子数目不增加，从而出现Hall电导平台。以TKNN（Thouless-Kohmoto-Nightingale-deNijs）拓扑不变量角度去阐述IQHE则是更现代的凝聚态理论。二维IQHE系统的有效场理论哈密顿量（Haldane模型）为：H=-ihvE（axdx+旳％）+解出的能谱中含有无能隙手征边缘态的谱线，其中的手性费米子不能反向散射，因而整数量子Hall系统是破坏时间反演对称的（Haldane哈密顿量中的磁场“质量”项使得零质量手征费* = — 2 .-T米子激发破坏）。边界上的边缘态数量为： ■ ，一般IQHE系统中…=1。*这里要顺带说一下，通俗的整数量子Hall效应的直观解释是这样说：电子在磁场中因为受到总是垂直于电子的运动方向的洛伦兹力，于是就形成一个圈。磁场很强的情况下，电子的轨道半径很小，因此电子都束缚在Landau态中成为束缚态，把所有这些轨道填满了就没地方可以去了（这也就是电子把逐个Landau能级填满）。但是当靠近样品边缘的时候，电子没有办法跑出一整个轨道了，于是只能沿着样品的边缘跳，画出一个接一个的半圆弧。也就是说，电流是可以沿着边缘传导的。而且因为电子只能沿着单一方向转圈，边缘上电流是“单行道”，只能沿一个方向传输，（也即上面所说的“手征边缘态”）。electronscanmovealongedge(conducting)这种经典解释的图像看起直观，但并真的不是量子力学里面所描述的图像：显然量子力学里面没有什么一个个固定的圆形轨道，我们之前就讨论过Landau能级，再次需要再次提醒大家注意这个才是真正的物理图景。但这个通俗直观的解释也有其精妙的地方：我们知道在量子力学中，动量算符为丁■；;，'V，这个算符作用到波函数上最明显的意义并不是得到动量（经典意义下动量是厂 ■"），而是计算出了波函数的相位增加的梯度。那么回顾在对称规范条件下得到的一个个在平面上排列成WS晶格的Landau能级（见上面Landaustates的图），每个点上的波函数其相位按逆时针方向增长，角动量算符为' 9 那么在这个意义下，电子也确实可以算是在“转圈圈”*对于电子在磁场中的偏转运动的量子层面解释是和相位有关。这里首先不妨考虑Landau规范：丄 I-■，，；'■'■，矢势（就是Berry联络）有不为零的旋度X（就是Berry曲率）。现在让荷电粒子沿匸轴按平面波入射等相面平行于x轴。因为粒子沿矢势平移要积累Berry相位，平移单位距离积累的Berry相位与矢势成正比。而等相面各点的矢势都不同，因此沿几方向传播一段距离以后，各点积累了不同