2023年高考文科数学全国新课标卷2试题与答案

PAGEPAGE82023年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷II新课标)第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．)集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，那么M∩N＝()．A．{－2，－1,0,1}B．{－3，－2，－1,0}C．{－2，－1,0}D．．{－3，－2，－1}2．＝()．A．B．2C．D．．13．设x，y满足约束条件那么z＝2x－3y的最小值是()．A．－7B．－6C．－5D．4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2，，，那么△ABC的面积为()．A．B．C．D．5．设椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，那么C的离心率为()．A．B．C．D．6．sin2α＝，那么＝()．A．B．C．D．7．执行下面的程序框图，如果输入的N＝4，那么输出的S＝()．A．B．C．D．8．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，那么()．A．a＞c＞bB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b9．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，那么得到的正视图可以为()．10．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．假设|AF|＝3|BF|，那么l的方程为()．A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝或y＝C．y＝或y＝D．y＝或y＝11．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，以下结论中错误的是()．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．假设x0是f(x)的极小值点，那么f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．假设x0是f(x)的极值点，那么f′(x0)＝012．假设存在正数x使2x(x－a)＜1成立，那么a的取值范围是()．A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)第二卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是__________．14．正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，那么＝__________.15．正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，那么以O为球心，OA为半径的球的外表积为__________．16．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移个单位后，与函数y＝的图像重合，那么φ＝__________.三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题总分值12分)等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.18．(本小题总分值12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．19．(本小题总分值12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下列图．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．20．(本小题总分值12分)在平面直角坐标系xOy中，圆P在x轴上截得线段长为在y轴上截得线段长为.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)假设P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．21．(本小题总分值12分)函数f(x)＝x2e－x.(1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．22．(本小题总分值10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．23．(本小题总分值10分)选修4—4：坐标系与参数方程动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．24．)(本小题总分值10分)选修4—5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ca≤；(2)≥1.2023年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷II新课标)第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．答案：C解析：由题意可得，M∩N＝{－2，－1,0}．应选C.2．答案：C解析：∵＝1－i，∴＝|1－i|＝.3．答案：B解析：如下列图，约束条件所表示的区域为图中的阴影局部，而目标函数可化为，先画出l0：y＝，当z最小时，直线在y轴上的截距最大，故最优点为图中的点C，由可得C(3,4)，代入目标函数得，zmin＝2×3－3×4＝－6.4．答案：B解析：A＝π－(B＋C)＝，由正弦定理得，那么，∴S△ABC＝.5．答案：D解析：如下列图，在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝设|PF2|＝x，那么|PF1|＝2x，由tan30°＝，得.而由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝3x∴，∴.6．答案：A解析：由半角公式可得，＝.7．答案：B解析：由程序框图依次可得，输入N＝4，T＝1，S＝1，k＝2；，，k＝3；，S＝，k＝4；，，k＝5；输出.8．答案：D解析：∵log25＞log23＞1，∴log23＞1＞＞＞0，即log23＞1＞log32＞log52＞0，∴c＞a＞b.9．答案：A解析：如下列图，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为以下列图：那么它在平面zOx的投影即正视图为，应选A.10．答案：C解析：由题意可得抛物线焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1.当直线l的斜率大于0时，如下列图，过A，B两点分别向准线x＝－1作垂线，垂足分别为M，N，那么由抛物线定义可得，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|.设|AM|＝|AF|＝3t(t＞0)，|BN|＝|BF|＝t，|BK|＝x，而|GF|＝2，在△AMK中，由，得，解得x＝2t，那么cos∠NBK＝，∴∠NBK＝60°，那么∠GFK＝60°，即直线AB的倾斜角为60°.∴斜率k＝tan60°＝，故直线方程为y＝．当直线l的斜率小于0时，如下列图，同理可得直线方程为y＝，应选C.11．答案：C解析：假设x0是f(x)的极小值点，那么y＝f(x)的图像大致如以下列图所示，那么在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．12．答案：D解析：由题意可得，(x＞0)．令f(x)＝，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a＞－1时，存在正数x使原不等式成立．第二卷本卷包括必考题和选考题两局部。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．答案：0.2解析：该事件根本领件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}共有10个，记A＝“其和为5”＝{(1,4)，(2,3)}有2个，∴P(A)＝＝0.2.14．答案：2解析：以为基底，那么，而，，∴.15．答案：24π解析：如下列图，在正四棱锥O－ABCD中，VO－ABCD＝×S正方形ABCD·|OO1|＝××|OO1|＝，∴|OO1|＝，|AO1|＝，在Rt△OO1A中，OA＝＝，即，∴S球＝4πR2＝24π.16．答案：解析：y＝cos(2x＋φ)向右平移个单位得，＝cos(2x－π＋φ)＝，而它与函数的图像重合，令2x＋φ－＝2x＋＋2kπ，k∈Z，得，k∈Z.又－π≤φ＜π，∴.三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)设{an}的公差为d.由题意，＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.18．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝，求三棱锥C－A1DE的体积．解：(1)连结AC1交A1C于点F，那么F为AC1又D是AB中点，连结DF，那么BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD由AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1由AA1＝AC＝CB＝2，得∠ACB＝90°，，，，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以VC－A1DE＝＝1.19．解：(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65000.所以(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.20．解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3.故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设P(x0，y0)．由得.又P点在双曲线y2－x2＝1上，从而得由得此时，圆P的半径r＝eq\r(3).由得此时，圆P的半径.故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝－e－xx(x－2)．①当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；当x∈(0,2)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0,2)单调递增．故当x＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e－2.(2)设切点为(t，f(t))，那么l的方程为y＝f′(t)(x－t)＋f(t)．所以l在x轴上的截距为m(t)＝.由和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．令h(x)＝(x≠0)，那么当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[，＋∞)；当x∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．所以当t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[，＋∞)．综上，l在x轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[，＋∞)．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．22．解：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A.由题设知，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．(2)连结CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.23．解：(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q