《电路原理》第七章一阶电路和二阶电路已讲课件

动态电路的方程及其初始条件7.1一阶电路和二阶电路的阶跃响应7.7一阶电路的零输入响应7.2一阶电路和二阶电路的冲激响应7.8一阶电路的零状态响应7.3一阶电路的全响应7.4二阶电路的零输入响应7.5二阶电路的零状态响应和全响应7.6首页本章重点第7章

一阶电路和二阶电路的时域分析3.一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应重点5.自由分量、强制分量、暂态分量和稳态分量的概念。1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；2.一阶电路时间常数的概念4.求解一阶电路的三要素方法6.一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解。3.掌握阶跃响应，了解冲激响应要求1.熟练掌握零输入响应，零状态响应和全响应2.熟练掌握直流一阶电路的“三要素法”4.正确列写描述电路的二阶微分方程一．动态电路(dynamiccircuits)7.1动态电路的方程和初始条件动态电路的方程+–uCus（t）

RCi

(t>0)应用KVL和电感的VCR得：若以电流为变量：应用KVL和电感的VCR得：若以电感电压为变量：有源电阻电路一个动态元件一阶电路+–uLus（t）RLi

(t>0)二阶电路描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数.C+–uLuS（t）RLi

(t>0)uC＋－＋－二．电路的过渡过程K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uC=0i=0,uC=UsK+–uCUsRCi

(t=0)K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态+–uCUsRCi

(t→)前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1USuct0?i有一过渡期电容电路K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uL

=0uL=0,i=Us/R

K接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1US/Rit0?UL有一过渡期电感电路K+–uLUsRLi

(t=0)+–uLUsRLi

(t→)t1三．过渡过程产生的原因产生原因：内因：电路中含储能元件L，C；

外因：电路换路，电路结构或参数的变化，即电路通或断、电源变化、元件参数变化等。

t=0＋与t=0－的概念认为换路在t=0时刻进行0－

换路前一瞬间

0＋

换路后一瞬间0f(t)0－0＋t四．过渡过程的分析过渡过程的分析即暂态分析五.电路的初始条件(initialcondition)

1.概念：初始条件：变量及其各阶导数在t=0+时的值独立变量：变量及其初始值不能用其它变量和初始值求出．如，uC和iL非独立变量：变量及其初始值可以用独立变量和初始值求出．指电路中除

uC和iL的其他变量．换路时电容上的电压，电感上的电流不能跃变．2换路定则换路定则：条件：必须保证电路在换路瞬间电容电流、电感电压为有限值。t=0+

时刻iucC+-线性电容的初始值0当i()为有限值时q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。q

=CuC电荷守恒结论线性电感的初始值t=0+时刻0当u为有限值时iLuL+-L

(0＋)=L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。结论

3电路初始值的确定:由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)；由换路定律得uC(0+)

和iL(0+)。

画0+等效电路。由0+电路求所需各变量的0+值。电容（电感）用电压源（电流源）替代。（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V(1)

由0－电路求

uC(0－)uC(0－)=8V(3)

由0+等效电路求

iC(0+)iC(0－)=0iC(0+)例1：t=0时打开开关K，求iC(0+)电容开路+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效电路+-10ViiC10k电容用电压源替代注意解：iL(0+)=iL(0－)=2A例2t=0时闭合开关k,求

uL(0+)先求应用换路定律:电感用电流源替代解电感短路iL+uL-L10VS14+-iL10V14+-由0+等效电路求

uL(0+)2A+uL-10V14+-注意例3求k闭合瞬间各支路电流和电感电压解由0－电路得：由0+电路得：iL+uL-LS2+-48V32CiL2+-48V32+－uC12A24V+-48V32+-iiC+-uL小结

1.换路定律：

2电路初始值的确定:由换路前电路（稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)；由换路定律得uC(0+)

和iL(0+)。

画0+等效电路。

电容（电感）用电压源（电流源）替代。由0+电路求所需各变量的0+值。

t=0＋与t=0－的概念7.2一阶电路的零输入响应主要内容：

RC电路的零输入响应

RL电路的零输入响应．换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。零输入响应一.RC电路的零输入响应

由换路定理得：而

uR=Ri

特征根特征方程RCp+1=0则代入初始值

uC

(0+)=U0A=U0或tU0uC0连续函数I0ti0跃变表明：电压、电流是随时间按同一指数规律衰减，其衰减快慢与RC有关令

=RC,称为一阶电路的时间常数时间常数的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=RC

大→过渡过程时间长小→过渡过程时间短电压初值一定：R

大（C一定）

i=u/R

放电电流小放电时间长U0tuc0小大C

大（R一定）W=Cu2/2

储能大物理含义工程上认为,经过3－5

,

过渡过程结束。能量关系

电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.设uC(0+)=U0电容放出能量：

电阻吸收（消耗）能量：uCR+－C二.RL电路的零输入响应特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值A=iL(0+)=I0t>0iLS(t=0)USL+–uLRR1+-iL+–uLR连续函数跃变电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；表明iL+–uLR0tuL-RI00tiLI0响应衰减快慢与L/R有关;令

称为一阶RL电路时间常数

=L/R时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短L大

W=LiL2/2

起始能量大R小

P=Ri2

放电过程消耗能量小放电慢，

大

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短物理含义电流初值iL(0)一定：能量关系：

电感不断释放能量被电阻吸收,

直到全部消耗完毕.电感放出能量：

电阻吸收（消耗）能量：iL+–uLR总结一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。

衰减快慢取决于时间常数

RC电路：

=RC

,RL电路：

=L/R

R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC电路RL电路同一电路中所有响应具有相同的时间常数。用经典法求解一阶电路的零输入响应的步骤：(1)根据KCL、KVL和元件的VCR关系列出换路后的电路微分方程，该方程为一阶线性齐次常微分方程；(3)根据初始值确定积分常数从而得方程的解。

(2)由特征方程求出特征根；

一阶电路的零输入响应iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC电路RL电路RC电路：=RC,RL电路：=L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。

在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到

已知电容电压uC(0-)=6V。t=0闭合开关，求t>0的电容电压和电容电流。

例1解

将连接于电容两端的电阻网络等效于一个电阻，其电阻值为

得到图(b)所示电路，其时间常数为

由

得到电路如图所示，K合于①已很久，

t=0时K由①

合向②，求换路后的

换路前电路已稳定，由换路定律可得：例2解

从L两端视入的等效电阻为换路后电路为零输入响应．时间常数为：i1LΩuLi2Ω3Ω6Ω46HiL+–uLRo零输入响应为：小结一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。

衰减快慢取决于时间常数

RC电路：

=RC

,RL电路：

=L/R

R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC电路RL电路同一电路中所有响应具有相同的时间常数。一阶电路的零输入响应通式：(1)列方程：iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=0非齐次线性常微分方程解答形式为：非齐次方程特解齐次方程通解零状态响应：电路的初始状态为零，由外加激励引起的响应，称为零状态响应(zero-stateresponse)。7.3一阶电路的零状态响应一.RC电路的零状态响应

与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定全解uC

(0+)=A+US=0

A=－

US由初始条件uC

(0+)=0定积分常数A的通解通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量，稳态分量）的特解(2)求特解：(3)求通解：-USuC“uC‘UStuc0电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：从以上式子可以得出：连续函数跃变稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）+ti0当t=0时开关K闭合，其电感电流和电感电压的计算如下：所以二.RL电路的零状态响应

已知iL(0－)=0，电路方程为：tuLUStiL00例1t=0时,开关K闭合，已知uC（0－）=0，求（1）电容电压和电流，（2）uC＝80V时的充电时间t。解50010F+-100VK+－uCi(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：（2）设经过t1秒，uC＝80V例2t=0时,开关K打开，求t>0后iL、uL的变化规律

。解这是一个RL电路零状态响应问题，诺顿等效化简电路，有：iLK+–uL2HR8010A200300iL+–uL2H10AReqt>0小结RC零状态响应RL零状态响应注意：时间常数与激励无关。全响应：由储能元件的初始储能和激励电源共同引起的响应，称为全响应(completeresponse)。7.4一阶电路的全响应iK(t=0)US+–uRC+–uCR解答为

uC(t)=uC'+uC"uC

(0－)=U0以RC电路为例，电路微分方程：时间常数：=RC一、一阶电路的全响应特解即稳态解

uC'=US通解即暂态解uC

(0+)=A+US=U0A=U0-US由起始值定A

全响应的两种分解方式强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0全响应=

强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)（1）着眼于电路的两种工作状态iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=U0iK(t=0)US+–uRC+–

uCR=uC

(0－)=0+uC(0－)=U0C+–

uCiK(t=0)+–uRR全响应=

零状态响应

+

零输入响应零状态响应零输入响应(2).

着眼于因果关系便于叠加计算零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0二、一阶电路的三要素法时间常数以一阶RC电路全响应说明分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题1A2例113F+-uC已知：t=0时合开关，求换路后的uC(t)

。解tuc2(V)0.6670（1）电容电压初始值（2）电容电压稳态值（3）时间常数例2t=0时,开关闭合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素为：iL+–20V0.5H55+–10Vi2i1应用三要素公式三要素为：+–20V2A55+–10Vi2i10＋等效电路例3已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)

。2A410.1F+uC－+－4i12i18V+－12解三要素为：4+－4i12i1u+－例4已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t)

。解三要素为：+–1H0.25F52S10Vi提示：开关闭合后电路分为两个一阶电路。电容电路三要素：电感电路三要素：例5i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)32已知：电感无初始储能，t=0

时合k1,t=0.2s时合k2，求两次换路后的电感电流i(t)。0<t<0.2st>0.2s解分两个阶段求解：三要素三要素(0<t0.2s)(t

0.2s)it(s)0.25(A)1.262三要素的归纳和总结一定要先计算出uC(0+)和iL(0+)(1)对于只含一个R和C的简单电路，对于较复杂的一阶RC电路，将C以外的电路，视为有源二端网络，然后求其等效电阻Req

。

=RC

=ReqC7.5二阶电路的零输入响应uc(0+)=U0i(0+)=0已知：1.二阶电路的零输入响应(source-freeresponse)RLC+-iuc若以电容电压为变量：列电路方程：若以电感电流为变量：特征方程：电路方程：以电容电压为变量时的初始条件：uc(0+)=U0i(0+)=0以电感电流为变量时的初始条件：i(0+)=0uc(0+)=U02.零输入响应的三种情况过阻尼临界阻尼欠阻尼特征根：U0tuc设|P2|>|P1|t=0+ic=0,t=ic=0ic>0t=tm时ic

最大tU0uctm2tmuLic0<t<tmi增加,uL>0t>tmi减小,uL

<0t=2tm时uL

最大能量转换关系RLC+-RLC+-tU0uctm2tmuLic0<t<tmuc减小，i增加。t>tmuc减小，i