现代信号处理-11

第四章

自适应信号处理郑宝玉1主要内容随机信号的最优预测和滤波最优滤波理论与维纳滤波器横向LMS自适应数字滤波器横向RLS自适应数字滤波器自适应格型滤波器自适应格-梯型滤波器无限脉冲响应自适应滤波器

盲自适应信号处理自适应滤波器应用2无限脉冲响应自适应滤波器

引言IIR自适应滤波器自适应Laguerre滤波器输出误差法方程误差法

Laguerre

横向滤波器

Laguerre

格型滤波器3IIR自适应滤波器输出误差法

方法之一是采取下列两种途径：－对归一化LMS滤波器施加某种控制；－在频域实现LMS滤波器。

方法之二是使用非FIR的滤波器：

－使用以IIR线性滤波器为基础的自适应过程。－使用由FIR和IIR组成的混合滤波器，如使用以横向

Laguerre结构为基础构建的阶递归自适应滤波器。在某些场合需要使用长脉冲响应自适应滤波器，例如远程电话会议中回音消除问题。满足这种需求的办法4

IIR自适应滤波器对长脉冲响应滤波器的需求

基本结构和基本关系式

IIR滤波器基本结构与ARMA模型结构相同,其输入-输出关系为式中ai(n),bi(n)是模型的可调系数。当M=N且a0(n)＝1时,(1)可用图1实现。当滤波器系数固定不变时,可用如下转移函数

等效地表征ARMA模型，式中多项式A(z)和B(z)分别为5∑+-未知线性动态系统A(z)B(z)∑x(n)y(n)d(n)e(n)IIR自适应滤波器图1输出方程法6

IIR自适应滤波器输出误差法

算法推导

-使用IIR滤波器的目的是要用为数不多的可调系数实现长脉冲响应。为了设计这类滤波器,可以用两种方法:输出误差法或方程误差法。本节讨论输出误差法,现推导该方法。

-图1是输出误差法的框图表示,图中用一个IIR自适应滤波器来辨识某一未知线性动态系统。在这个应用中,输入信号x(n)同时加到未知系统和自适应滤波器上,由此分别产生期望响应d(n)和滤波器实际输出y(n)。定义自适应滤波器的权向量为

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IIR自适应滤波器输出误差法

算法推导

假设处理的是实值信号,权向量的调整可通过最小化瞬时代价函数式中误差信号是期望响应与滤波器输出之差：这就是“输出误差法”名称的由来。设用LMS算法进行权向量的调整，则可将第n次迭代权向量的调整量定义为式中是μ步长参数。求代价函数J(n)关于的导数,即得梯度向量的第j个分量:8

IIR自适应滤波器输出误差法

算法推导从式(1)可见,滤波器的输出y(n)与其自身的过去值有关。故求偏导数时要小心进行。特别地,我们有

为了简化表示，引入如下两个定义：9

IIR自适应滤波器输出误差法

算法推导

同时还假设，滤波器对较小的M和N，以足够慢的速率进行自适应。此时，可对i=1,2,…,N

做如下两个近似：

因此,可将式(9)改写为如下一对递归差分方程:10

IIR自适应滤波器输出误差法

算法推导

综上所述，可得计算IIR自适应滤波器权向量更新方程为式中其中αi(n)、βi(n)由(12)

计算。11

IIR自适应滤波器输出误差法

算法步骤

下面，给出输出误差法IIR自适应滤波器算法小结初始化：计算：对n=1,2,…计算12

IIR自适应滤波器输出误差法

算法步骤

值得注意的是,上述运算过程还可进一步简化；即式(14)中滤波回归器向量的元素αi(n)、βi(n)可进一步简化为使用这种近似,可使计算负担减少到只需要附加一到两个全极点滤波器就可得到滤波后的回归器，而上述算法步骤中需要附加M＋N个全极点滤波器。根据如下：

只要滤波器慢速自适应(adaptslowly)，在进行近似前误差就相当小，于是用或不用近似表达式的IIR自适应滤波器的收敛特性实际上是一样的[Shynk,1989)]。13

IIR自适应滤波器输出误差法

输出误差法的局限性

局限性：用输出误差法设计IIR自适应滤波器受到以下两个限制：

－误差特性曲面除了一全局极小点外,还有许多局部极小点,

这意味着我们无法确定用这种方法设计的IIR自适应滤波器是否是全局最优的。

－不能保证ARMA模型的极点始终在z-平面的单位圆内，这意味着IIR自适应滤波器有可能不稳定。克服办法：－在实际使用过程中,可在自适应方程中引入某种简短的稳定性测试来克服不稳定。但这样会放慢自适应的速率。－可用下一节讨论的方程误差法来克服局部极小问题。14

IIR自适应滤波器方程误差法算法原理

相应地，定义误差信号为

上式用于调整模型参数ai(n)和bi(n)。

基于这组方程的方法称为“方程误差法”。它有两个特点：－误差信号由一个方程来定义,而不是象输出误差法那样由实际滤波器的输出来定义；故称为方程误差法。－代价函数由二次误差特征曲面来表征,故不会象输出误差法那样受到局部极小的限制。在滤波器自适应(训练)阶段,用期望响应d(n)代替式(1)右边第二个求和号中的滤波器实际输出y(n),结果的方程为15+-y(n)e’(n)d(n)未知线性动态系统A(z)B(z)∑∑1/(1-B(z))y’(n)x(n)IIR自适应滤波器图2方程误差法16

IIR自适应滤波器方程误差法算法原理

方程误差e’(n)与输出误差e(n)有关，即亦即式中右边第二项为bk与e(k)两个序列的卷积,两边求z变换,得式中E’(z)和E(z)分别是e’(n)和e(n)的z变换,B(z)由(4)定义(当bk固定)。上式表明：输出误差e(n)通过转移函数为1－B(z)的滤波器,即得方程误差e’(n)。17

IIR自适应滤波器方程误差法讨论

在在神经网络文献中,方程误差法称为教师强制法(teacher-forcingmethod)。在任何情况下,方程误差法可加快自适应滤波器训练速度，因为用式(19)和(20)计算误差信号相当于假设滤波器准确地完成教师强制的学习任务。

IIR自适应滤波器的方程误差法和输出误差法一般将得到不同的解。因为基于梯度的方程误差法自适应滤波算法实际上是优化一个不同于输出误差的代价函数。方程误差法理解起来有一定难度，尽管该法设计准则具有二次特性。

18Laguerre自适应滤波器19

Laguerre自适应滤波器

Laguerre

横向滤波器

研究的必要性

存在问题：根据前一节关于IIR自适应滤波器的讨论和前几节对FIR自适应滤波器的讨论,我们发现存在如下问题：－IIR结构:为构造高效长脉冲响应自适应滤波器提供基础;但稳定问题变得更复杂。－FIR结构:即横向滤波器,容易解决稳定问题;但以增加计算复杂度为代价。

解决办法：结合FIR和IIR结构优点的混合方法可为解决长脉冲响应自适应滤波器问题提供一个折衷的方案。－关键：抽头延迟线存储器的构造问题;－

方法：用一个其序列为正交的Laguerre函数来代替z-1,

这样构成的滤波器称为“Laguerre滤波器”。20

Laguerre自适应滤波器

Laguerre

横向滤波器

Laguerre序列(函数)及其实现Laguerre序列的z变换形式(即Laguerre函数)可表示为：它可由图3的Laguerre抽头延迟线存储器来产生。该存储器由一个转移函数为的低通滤波器和若干个转移函数为的全通滤波器级联组成。21

Laguerre自适应滤波器

Laguerre

横向滤波器

Laguerre序列(函数)及其实现因此，Laguerre函数可表示为传统的抽头延迟线存储器z-1是Laguerre抽头延迟线存储器α=0的一个特例,因为当α=0时，有和22输入信号一阶低通滤波器……012M一阶全通滤波器级联图3截短的Laguerre抽头延迟线存储器图4Laguerre横向滤波器输入信号………输出信号23

Laguerre自适应滤波器

Laguerre

横向滤波器

Laguerre横向滤波器及其特性构成及其合理性－构成：在上述Laguerre抽头延迟线存储器中,Laguerre正交序列在i=M处被截断。用这种存储结构代替传统FIR横向滤波器中的z-1,则构成Laguerre横向滤波器，如图4所示。－合理性：这种截断是正确的，因为Laguerre展开式的系数随着

i的增大快速衰减。24

Laguerre自适应滤波器

Laguerre

格型滤波器

Laguerre横向滤波器及其特性（续）特性

-它是一个受约束的IIR滤波器，因其转移函数所有极点都固定在z-平面的同一个位置,即z=α处;且保证了该滤波器的稳定性,但其灵活性不如常规IIR滤波器。

-传统横向滤波器是Laguerre横向滤波器α=0的一个特例

-其实际价值是，对于一个给定的阶数M，它能够比同样性能的传统FIR滤波器用更少的系数获得给定的特性。

-Laguerre滤波器计算方面的要求多于无约束IIR滤波器,

但它更适合于自适应滤波应用，因其工作时所涉及的自适应过程类似于FIR自适应滤波器。

25

整体结构：考虑基于(4)式的Laguerre

格型滤波器结构(如图5所示)。与传统的格-梯型结构相比，有如下不同：－用低通滤波器的输出作为前向和后向预测误差的初始值和。－用全通滤波器代替了单位时延。

基本节结构及基本关系式经图6的

Laguerre格型滤波器基本节结构滤波后的反向预测误差与该基本节输入端的反向预测误差之间的关系为

Laguerre自适应滤波器

Laguerre

格型滤波器

构成及算法原理将(3)代入上式，得26图5用于联合过程估计的Laguerre格型滤波器……输入信号…输出信号前向检测误差后向检测误差期望响应＋＋＋－－－图6Laguerre格型滤波器基本节27

Laguerre自适应滤波器

Laguerre

格型滤波器

构成及算法原理（续）基本节结构及基本关系式（续）

按格型滤波理论,实数据时图中Laguerre格型基本节的输入-输出特性之