控制工程基础第四章

控制系统的根轨迹分析控制工程基础2第4章根轨迹法反馈控制系统的基本性能，主要由系统的闭环极点（即特征方程的根）的分布所决定开环传递函数→

闭环特征根--图解法1948年伊凡思提出可以弥补高阶系统求闭环极点困难的缺陷3学习要点根轨迹与根轨迹方程根轨迹绘制法则广义根轨迹根轨迹法分析控制系统的性能44.1根轨迹的基本概念

当系统某个参数（开环增益K）由零到无穷大变化时，

闭环特征根(极点)在S平面上移动的轨迹。4.1.1根轨迹常规根轨迹：变化的参数为开环增益K广义根轨迹（参量根轨迹）：变化的参数为其它参数5单位反馈系统的开环传递函数开环极点0，-2闭环特征方程为闭环特征根为例：了解开环增益与闭环特征根间的关系6K=0，[S]-20K=0.5，K=1，-1K=0.5K=1K=1K=-∞K=∞K=∞，ReIm动态性能分析:1.K变化时的阻尼情况2.最佳阻尼(0.707)对应的极点3.可判断系统的型别从而计算出稳态误差74.1.2根轨迹方程根轨迹方程89利用相角条件绘制根轨迹[S]-20MN10利用幅值条件可算出根轨迹上的某点处的K*

值[S]-20MN114.2绘制根轨迹的基本法则一、根轨迹的分支数n个特征根随K变化会出现n条根轨迹根轨迹在[S]平面上的分支数=

闭环特征方程的阶数n12二、根轨迹的对称性

-----对称于实轴[S]13三、根轨迹的起点与终点起点----开环极点终点----开环零点开环m<n时，有(n-m)条终止于无穷远处[S]14证明：1516四、实轴上的根轨迹

实轴上根轨迹区段的右侧，开环零点、极点数目之和应为奇数。可由相角条件证明ReIm[s]×××○○××p1p2p3p4p5z1z217例4.2.1单位反馈控制系统的开环传递函数为[S]试绘制K*

由零到无穷时系统的闭环根轨迹。解:(1)确定开环零极点，画零极点分布图零点：z=-1极点：p1=0，p2=-2-1-2(2)根轨迹起止点和分支数：2(3)实轴上的根轨迹18例

单位反馈控制系统的开环传递函数为[S]试绘制K*

由零到无穷时系统的闭环根轨迹。解:(1)确定开环零极点，画零极点分布图零点：z1=-7，极点：p1,2=0，p3=-3，-2-3(2)根轨迹起止点和分支数：4(3)实轴上的根轨迹z2=-2p4=-5-5-719五、根轨迹的渐进线极点之和减去零点之和。[S]-11-120例4.2.2

控制系统的开环传递函数为试求根轨迹的渐近线。解:(1)确定开环零极点零点：无极点：p1=0，p2,3=-1±j(2)根轨迹起止点和分支数：3(3)实轴上的根轨迹(4)渐近线：3条倾角：交点：21例

某单位反馈系统的开环传递函数为[S]-2-10n=3,m=0,故有3条渐近线实轴上的根轨迹22六、根轨迹的起始角(出射角)与终止角(入射角)

起始角：起始于开环共轭极点的根轨迹在起点处的切线与水平线正方向的夹角。

终止角：终止于开环共轭零点的根轨迹在终点处的切线与水平线正方向的夹角。[S][S]23[S]起始角24所有零点到的向量夹角其它极点到的向量夹角其它零点到的向量夹角所有极点到的向量夹角起始于的根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角终止于的根轨迹在终点处的切线与水平正方向的夹角25七、根轨迹的分离点或会合点

几条根轨迹在[S]平面上相遇后又分开的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。利用幅值条件可以求出分离点(会合点)对应的K*值26例

某单位反馈系统的开环传递函数为[S]-2-1027例已知系统的开环传递函数绘制根轨迹

[S]-3-2-10(2)实轴上的根轨迹开环零点z=-128例已知系统的开环传递函数绘制根轨迹

29[S]-3-2-10会合点例已知系统的开环传递函数绘制根轨迹

30八、实轴上的分离点的分离角恒为实轴上的会合点的会合角恒为[S]-3-2-10会合时，根轨迹切线的倾角31

九、根轨迹与虚轴的交点

说明s=jω满足特征方程,即:32根轨迹绘图步骤(5)求出（入）射角(6)求根轨迹与虚轴交点思考题1.对根轨迹的描述错误的是（）。A.系统中某个参数变化时闭环极点移动形成的轨迹B.利用系统的开环传递函数绘制的C.利用系统的闭环传递函数绘制的D.是一种图解分析法2.根轨迹绘制的法则根本来源于（）。A.系统的开环传递函数B.系统的开环特征方程C.系统的物理结构D.系统的闭环特征方程3.下列说法中正确的是（）。A.根轨迹对称于虚轴B.开环极点和闭环极点数目相同C.根轨迹一定与虚轴有交点D.画根轨迹必须求渐近线[S]-134例4.2.4解:(1)确定开环零极点零点：无极点：p1=0，p2,3=-1±j(2)根轨迹起止点和分支数：3(3)实轴上的根轨迹(4)渐近线：3条倾角：交点：p1p2p3[S]-135例4.2.4(5)无分离点(6)出射角(7)与虚轴交点方法一：令s=jω，有方法二：劳斯判据K*=4系统临界稳定根轨迹与虚轴有交点交点可由辅助方程求p1p2p336例4.2.7

绘制系统的根轨迹解:(1)确定开环零极点零点：z1=-2,极点：p1,2=0，p3=-1，(2)根轨迹起止点和分支数：4(3)实轴上的根轨迹(4)渐近线：2条交点：[S]-41-2z2=-4p4=-3倾角：37例

某单位反馈系统的开环传递函数[S]-2-1038[S]-2-10例

某单位反馈系统的开环传递函数3940[S]-3-2-1041(5)求出射角[S]-3-2-10(6)求根轨迹与虚轴交点42[S]-3-2-10[S]-555-5例4.2.8

绘制系统的根轨迹。已知开环传递函数解:(1)确定开环零极点零点：z1=-5极点：p1=0，p2=4.8(2)根轨迹起止点和分支数：2(3)实轴上的根轨迹(4)渐近线：无(5)分离点解得(6)与虚轴交点得根轨迹与虚轴交点444.3广义根轨迹4.3.1参变量根轨迹系统中除开环增益外的其他参数发生变化时闭环极点移动的轨迹，称为参变量根轨迹。利用等效传递函数的概念，利用常规根轨迹绘制法则来绘制参变量根轨迹。设系统的开环传递函数为G(s)H(s)，则闭环特征方程为变形为：P(s)和Q(s)为不含有变化参数A的特征多项式用新的开环传递函数

绘制根轨迹即可45例4.3.1

某单位反馈系统的开环传递函数绘制K*=0.25，参数a由零变化到无穷时系统的根轨迹。解：系统闭环特征方程为变形为新开环传递函数(1)确定开环零极点45零点：无极点：p1=0，p2,3=-0.5[S](2)根轨迹起止点和分支数：3(3)实轴上的根轨迹(4)渐近线：(5)分离点(6)与虚轴交点46例4.3.2

某单位反馈系统的开环传递函数绘制参数a由零变化到无穷时系统的根轨迹。解：系统闭环特征方程为变形为新开环传递函数(1)确定开环零极点零点：z1=-4极点：p1,2=-2±4j[s](2)根轨迹起止点和分支数：2(3)实轴上的根轨迹(4)渐近线：无(5)分离点(6)出射角47-×482、实轴上的根轨迹；[S]-3-2-1049[S]-3-2-10504.3.20o根轨迹---适于正反馈控制系统设正反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)，则闭环特征方程为根轨迹方程为：幅值条件：幅角条件：(1)实轴上的根轨迹右侧开环零极点数目和为偶数(2)渐近线与正实轴夹角(3)出射角例4.3.4

某单位正反馈系统的开环传递函数绘制根轨迹。解：(1)确定开环零极点零点：z1=-2极点：p1,2=-1±j(2)根轨迹起止点和分支数：2(3)实轴上的根轨迹[s](4)无渐近线(5)分离点(6)出射角524.4

利用根轨迹分析系统性能由根轨迹求解闭环零点、闭环极点所以：闭环零点=前向通道的零点闭环极点----根轨迹上的点+反馈通道的极点

534.4.1闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系

控制系统闭环的零极点分布要保证它的输出量尽可能的复现给定输入量，动态过程的快速性、平稳性要好一些。54中每一分量衰减得快，即应远离虚轴1.为保证系统稳定，闭环极点必须在左半[S]平面。2.为保证快速性好，应使阶跃响应若为共轭复极点，实部决定衰减快慢，虚部决定阻尼振荡频率55[S]012341234123141比较系统振荡频率高低阻尼比大小衰减速度快慢相等相等低高低高相等相等大小小大相等相等慢快慢快比较内容1、2、3、4为4对二阶系统的极点563、平稳性好，复极点设在与负实轴成线上，最佳阻尼比。4、远离虚轴的闭环极点对瞬态响应影响很小。若某一极点比其它极点远离虚轴4-6倍时，则它对瞬态响应的影响可忽略。5、要求动态过程尽快消失，则闭环极点间的间距要大，使零点靠近极点(构成偶极子)。574.4.2利用根轨迹分析系统性能1.稳定性

2.动态特性—单位阶跃响应是否存在超调量

3.准确性—稳态误差的估计

4.系统固有频率—临界稳定的振荡频率58[S]-2-10例

某单位反馈系统的开环传递函数利用根轨迹分析系统的性能。1.稳定性0<K*<6时系统稳定K*=6，K*=0时系统临界稳定6<K*时，系统不稳定K*=2K2.动态特性3.稳态特性—稳态误差Ⅰ型系统4.系统的固有频率1.41459[S]-3-2-