《等比数列的前n项和(1)》示范公开课教案【高中数学北师大】

第一章数列1.3.2等比数列的前n项和(1)教学目标教学目标1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，并会应用其解决相关问题；2.体会等比数列前n项和公式的推导过程；3.借助等比数列前n项和公式的推导及应用，培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养.教学重难点教学重难点重点：等比数列的前n项和公式．难点：等比数列的前n项和公式的推导．教学过程教学过程一、新课导入情境：一天，小林和小明做“贷款”游戏，签订了一份合同.从签订合同之日起，在整整一个月（30天）中，小明第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元，第三天贷给小林3万元……以后每天比前一天多贷给小林1万元.而小林按这样的方式还贷：小林第一天只需还1分钱，第二天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱数是前一天的2倍.合同开始生效了，第一天小林支出1分钱，收入1万元；第二天，他支出2分钱，收入2万元；第三天，他支出4分钱，收入3万元……到了第10天，他共得到55万元，付出的总数只有10元2角3分.到了第20天，小林共得210万元，而小明才得到1048575分，共1万元多一点.小林想：要是合同订两个月、三个月那该多好！果真是这样吗？分析：我们先来计算一下30天后双方得到的钱数.设30天后，小林得到的钱数为T30（单位：万元），小明得到的钱数为ST30=1S30=11，2，2提问：如何进行等比数列的求和呢？设计意图：通过实际情境引入等比数列的求和问题，激发学生的学习兴趣和求知欲．二、新知探究问题1：如何计算S30呢分析：S1S2S3S4……S30猜想：S30追问1：将“S30=1+2+答案：将等式的两边各项分别乘以2.因为S30=1+所以2S30=追问2：观察①式和②式，发现什么共同点了吗？答案：两个等式的右边除首项与末项不同外，其余各项均相同.追问3：如何能消去这些相同的项呢？答案：用②式减去①式可以将这些相同的项全部消掉.快去试一试吧！②－①，得S30利用计算器得，S30=1073741823(分)小林听到这个结果，肯定会吓出一身冷汗！问题2：能否将上述方法推广到一般的等比数列求和问题的解决过程中？答案：对于首项为a1，公差为q(q≠0)的等比数列aSn=①式的两边同乘q，得qSn①－②，得Sn即Sn追问：要想求出Sn，能否将上式的两边同时除以1答案：不能，要分情况讨论.当1-q≠0即q≠1时，等比数列anSn很明显，当1-q=0即q从而，等比数列an的前nSn公式变形：当q≠1时，Sn思考：等比数列的前n项和公式中共涉及哪几个相关量？这几个量有什么实际意义？这几个相关量中，已知几个可以求出其他几个？答案：等比数列的前n项和公式中有五个量：首项a1，公比q，项数n，末项an，前n项和Sn，这五个量可以“练一练：在等比数列an中（1）已知a1=-4，q（2）已知a1=1，a分析：根据已知条件选择合适的求和公式计算即可.解：（1）根据等比数列的前n项和公式，得S10（2）根据等比数列的前n项和公式，得Sk=思考：如何选择公式能让运算过程更简便呢？答案：当q≠1时，已知首项a1，公比q，项数n，选择公式S已知首项a1，公比q，末项an，选择公式当q=1时，选择公式Sn设计意图：通过问题探究让学生了解等比数列的求和公式的推导过程，培养学生的逻辑推理、数学运算等核心素养．三、应用举例例1（1）已知等比数列an中，a1=2，q（2）求等比数列1，12分析：已知a1，q和n，根据等比数列的求和公式Sn解：（1）由等比数列的前n项和公式，得S3（2）因为公比q=1S10例2五洲电扇厂去年实现利润300万元，计划在以后5年中每年比上一年利润增长10%.问从今年起第5年的利润是多少？这5年的总利润是多少？（结果精确到1万元）解：根据题意，可知每年的利润组成一个首项a1=300、公比a6=a这5年的总利润为S=a2例3已知等比数列an的公比q≠-1，前n项和为Sn证明：（方法1）当q=1时，SnS3n所以Sn，S当q≠1时，Sn=S3n所以S因为当n确定时，qn所以Sn，S（方法2）因为SnS2nS3n所以S因为当n确定时，qn所以Sn，S小结：等比数列an的公比q≠-1，前n项和为Sn，则设计意图：通过例题，进一步熟悉等差数列的求和公式，掌握利用等比数列的求和公式解决相关问题．四、课堂练习1.在等比数列an(1)S2=30，(2)a1+a32.已知等比数列an中，a1=2，S3.等比数列{an}的公比为q(q≠-1)，则数列a3，a6，…，aA．a11-C．a31-4.等比数列an中，前5项和S5=10，前10项和S10=参考答案：1.解：(1)由题意知a解得a1=5从而Sn=1(2)由(a得q3=1又因为a1+a所以a1=82.解：若q=1，则S3=若q≠1时，则S3=a解得q=-2综上a3的值为2或3.解：等比数列中，序号成等差数列，项仍成等比数列，则a3，a6，…，a3n…是等比数列，且首项为再用等比数列的前n项和公式求解，得a314.解：由等比数列性质知S5，S10-又S5=10所以S15所以S15五、课堂小结求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的