天大高数第十章习题课

1第一类(对弧长)第二类(对坐标)两类之间的关系标准形式物理意义计算方法相似处不同处曲线积分L指曲线AB1.都是化曲线积分为定积分计算。2.都要把曲线表示式代入被积函数。积分下限<

上限L方向：从AB积分下限为起点A的t值上限为终点B的t值此处下限是

,上限是....2第一类(对面积)第二类(对坐标)两类之间的关系标准形式物理意义计算方法曲面积分指空间曲面为有向曲面...“一代二换三投影”“一代二投三定号”3（解决平面的曲线积分与二重积分的联系问题）3.格林公式LDDLl(逆)(顺)则有其中L是

D

的整个正向边界曲线.若：特殊情况(D是复连通的)下，格林公式成为：注：(逆)(逆)44.平面曲线积分的四个等价命题.曲线积分和曲面积分的应用:填空.....⌒⌒6一、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终7(1)利用对称性及重心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件;(3)利用Green公式(注意加辅助线的技巧);(4)利用Stokes公式;(5)利用两类曲线积分的联系公式.2.基本技巧8oxyA(-1,0)B(0,1)C(1,2)解类型：I型曲线积分其中，...解:化为参数方程则它在第一象限部分为利用对称性,得提示:解:,圆的形心在原点,故利用形心公式oxy14A(1,1)B(2,4)C(1,4)解类型：II型曲线积分方法I：

直接计算.1..⌒⌒也可以用下面的方法：oxy14A(1,1)B(2,4)C(1,4)D解类型：II型曲线积分

贴补，用格林公式.1.

先x..⌒方法II：提示:故提示:解:添加辅助线如图,利用格林公式.解方法：21xyoL用格林公式..0t2C..解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关！内容小结2425第一类曲线积分和第二类曲线积分的关系特殊情形282930解...(1)(2)..证:令则可知存在原函数或判别:求解步骤:方法1凑微分法;方法2利用积分与路径无关的条件.1.求原函数

u(x,y)2.由du=0知通解为

u(x,y)=C.全微分方程解:因为故这是全微分方程.则有因此方程的通解为法1法2此全微分方程的通解为,则有两边对y求导得④⑤由④得与⑤比较得因此方程的通解为解:∴这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为即故原方程的通解为或提示:第四节提示:二、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)选择积分变量—代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域—把曲面积分域投影到相关坐标面思考题1)二重积分是哪一类积分?答:

第一类曲面积分的特例.2)设曲面问下列等式是否成立?

不对!

对坐标的积分与的侧有关2.基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3)两类曲面积分的转化解:

在xOy

面上的投影为

故oxyz解类型：II型曲面积分由第一卦限和第二卦限中的锥面1和2构成.其上侧在yOz平面的投影为负；其上侧在yOz平面的投影为正.hyzohz=yDyzDyz图形？.12...也可以用下面的方法：oxyz解类型：II型曲面积分需贴补侧面（右侧）和半圆顶面半圆（下侧）.hhDxy图形？.方法II:

贴补，用高斯公式..半圆利用高斯公式计算二类曲面积分注意：１．加的面不要太多．２．所得三重积分易算．解:提示:

然后用高斯公式.53解:

取足够小的正数,

作曲面则第二项添加辅助面,再用高斯公式,注意曲面的方向!得56解57根据对称性可知解:利用对称性用重心公式利用对称性可知解:利用重心公式解分析:

若将曲面分为前后(或左右)两片,则计算较繁.则解:

取曲面面积元素解:取

则思考: