数学分析2期末考试题库

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业数学分析 2 期末试题库数学分析II 考试试题（ 1）一、 叙述题：（每小题6 分，共18 分）1、 牛顿 - 莱不尼兹公式2、an 收敛的 cauchy 收敛原理n 13、 全微分二、 计算题 ：（每小题8 分，共32 分）x2sin t 2 dt1、 lim0 x4x 02、求由曲线 yx 2 和 xy2 围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。3、求x n的收敛半径和收敛域，并求和n 1 n(n1)y2 u4、已知 ux z，求x y三、（每小题1

2、0 分，共 30 分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数2、讨论反常积分x p 1e x dx 的敛散性03、讨论函数列 Sn ( x)x 21x (, ) 的一致收敛性n2四、 证明题 （每小题10 分，共 20分）1、设 xn 0, xn111 (n1,2) ，证明xn 发散xnnn 12、证明函数 f ( x, y)xyx 2y 20 x 2y2x 2y 2在（ 0， 0）点连续且可偏导，00但它在该点不可微。 ，数学分析II 考试题（ 2）一、 叙述题 ：( 每小题 5 分，共 10 分）1、 叙述反常积分bcauchy 收敛原理f (x)dx,a 为奇点收敛的a2、

3、二元函数f ( x, y) 在区域 D上的一致连续二、 计算题 ：（每小题 8 分，共 40 分）1、 lim (111 )nn1n 22n2、求摆线xa(tsin t) 0,2 与 x 轴围成的面积ya(1tcost)3、求 (cpv)1xdx1x 24、求幂级数( x 1)n的收敛半径和收敛域n 1n25、 uf (xy , x ) ， 求2uyx y三、 讨论与验证题 ：（每小题10 分，共 30 分）1、 f (x, y)xy 2，求 limlim f (x, y),milmilf (x, y) ； limf (x, y) 是否存在？xyx 0y 0y 0 x 0(x, y)(0 ,0

4、)为什么？2、讨论反常积分arctan x0 xpdx 的敛散性。3、讨论n3 (2(1) n ) n的敛散性。n13n四、 证明题 ：（每小题 10分，共 20 分）1、 设 f （x）在 a, b 连续， f ( x)0 但不恒为0，证明b( )0fx dxa2、 设函数 u 和 v 可微，证明grad ( uv)= ugradv+vgradu数学分析II 考试题（ 3）五、 叙述题 ：（每小题5 分，共 15分）1、定积分2、连通集3、函数项级数的一致连续性六、 计算题 ：（每小题7 分，共 35分）e1、 sin(ln x)dx12、求三叶玫瑰线ra sin 3 0, 围成的面积3、求

5、 xnncos 2n的上下极限2n154、求幂级数( x1) n 的和n 12n5、 uf ( x, y) 为可微函数，求 (u )2(u ) 2 在极坐标下的表达式xy七、 讨论与验证题：（每小题10 分，共 30 分）1、已知(x 2y 2 ) sin 1 cos 1x0, y0，求 limf( ,y) ，问f ( x, y)0 xyx 0或 y 0( x , y) (0, 0)xlim limf ( x, y), lim limf ( x, y) 是否存在？为什么？x 0 y 0y0 x 02、讨论反常积分1dx 的敛散性。0 xpxq3、讨论 f n ( x)nxx 0,1的一致收敛性

6、。1nx八、 证明题 ：（每小题 10分，共20 分）1、 设 f （x）在 a,+ ）上单调增加的连续函数，f (0)0，记它的反函数f -1 （ y），证明a()b1( )(0,0)fx dx0fy dy abab02、 设正项级数xn收敛，证明级数xn2也收敛n 1n1数学分析（二）测试题（4）一 判断题 （正确的打“” ，错误的打“” ；每小题 3 分，共 15 分）：1闭区间 a, b 的全体聚点的集合是a, b 本身。2函数lnxx 21是1在区间 1,内的原函数。x 213若 fx在 a,b 上有界，则f x在 a,b上必可积。4若 fxFxxft dt为连续的偶函数，则0亦为偶

7、函数。5正项级数10n是收敛的。n1 !n 1二填空题 （每小题3 分，共 15分）：1数列1 nn1的上极限为，下极限为。3n2 lim12n。n212n222n2n2n3 dtan xdtet。dx 04幂级数x n的收敛半径 R。n 3nn 15 将 函 数 f xxx展 开 成 傅 里 叶 级 数 ， 则 a0，an，bn。三计算题 （每小题7 分，共 28分）：1dxexx；2ee03xdx ；21440 x1xln x dx ；xdxx1四解答题 （每小题10 分，共 30 分）：1求由抛物线 y22x 与直线 yx 4 所围图形的面积。2判断级数1 n tan 1是否收敛，若收敛

8、，是绝对收敛还是条件收敛？n 1nx2 n 13确定幂级数的收敛域，并求其和函数。n 1 2n1五证明题 （ 12 分）：证明：函数 f xsin nx在,上有连续的二阶导函数，并求f x 。n 4n 1数学分析（二）测试题（5）二 判断题 （正确的打“” ，错误的打“” ；每小题 3 分，共 15 分）：1设 a 为点集E 的聚点，则 aE。2函数 ln xx 21 是1在,内的原函数。x 213有界是函数可积的必要条件。4若 f x 为连续的奇函数，则Fxxf t dt亦为奇函数。05正项级数n 2是收敛的。n 1 2 n二填空题 （每小题3 分，共 15 分）：1数列21 n的上极限为，

9、下极限为。2 lim12n。n2nn22nn2n2n3 dsin xdtet。dx 04幂级数4nxn的收敛半径R。n 2n 115 将 函 数 f xxx展 开 成 傅 里 叶 级 数 ， 则 a0，an，bn。三计算题 （每小题7 分，共 28 分）：x31e x dx；2 dx ；129x03dx；1xdxx 2x 241 x 220四解答题 （每小题10 分，共30 分）：1求由两抛物线y x2 与y2 x2 所围图形的面积。2判断级数1 n ln n1是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？n 1n3确定幂级数n x n 1的收敛域，并求其和函数。n 1五证明题 （ 12 分）：1

10、x2证明：函数n2上连续。f xn 1 n 2e在 0,数学分析（二）测试题（6）一判断（ 2*7=14 分）（）1. 设 x0为 f ( x)在 a ,b 上的极值点，则 f (x0 )0（） 2. 若在 a ,b内 f(x)g (x), f (b)g(b), 则对 x a,b, 有 f (x) g(x)（）3. 若 x为点集 A的聚点，则必有 xA（） 4.若 F ( x)连续，则F ( x)dxF (x)C（）5. 若(）在,上连续，,则x 2( )(2 )bxfdtxf xaa btfa（）6. 若an收敛， bn发散，则 （an bn）必发散（） 7. 若 an2收敛，则an3必收敛

11、二填空（ 3*7=21 分）1. 已知f (ln x)2x,则f ( x)_2sin x ln( x21)dx_3. 设 f（x）x2( x0)2f (x 1)dx_x( x0), 则e04 . 求 lim1x_sin t 2dtx0 x305. 求 yx3 x 21的拐点坐标 (_)6用定积分求 lim111_n1n 2nnn幂级数1 x n 的收敛半径 R n 2n. 计算 （4*7=28 分） ( 要有必要的计算过程 )1. xex dx1dx2.x x2113.arcsin xdx0求曲线 y2x2与 yx所围成的图形的面积4四 判别级数的敛散性（ 2*9=18 分） ( 要有必要的过

12、程 )1 .2nn!n 1 nn2 . 判别( 1)nn）上是否一致收敛，为什么在（ ,n 1n 2x2五证明： (9+10=19 分)1设级数an2 与bn2 都收敛，证明：a b 绝对收敛n n2设 f ( x)在 a , b 上二阶可导， f (a) f (b)0 ，证明：存在一点(a ,b) ，使得4f ( )(b a) 2 f (b)f (a)数学分析（二）测试题（7）一判断（ 2*7=14 分）（）1.设 f ( x0 )0 ，则x0必为 f ( x) 的极值点（） 2. 若在 a ,b内 f (x)g (x), f (b) g(b), 则对x a, b, 有f (x) g (x)

13、（）3. 若 x为点集 A的聚点，则 x可能不属于 A（） 4.若 F x 连续，则FxdxF x)C( )( )(（）5. 若 f (x）在 a,b 上连续， xbf (t)dtf ( x)b, a ,则x（）6. 若limun 1，则级数un收敛unl 1n（） 7.幂级数an xn 至少存在一个收敛点二填空（ 3*7=21 分）1. 已知f(1)x22,则()_xfx2 已知1cosxdx1cosx_1x4A, 则x4dx1013. 设f（x）x1(x0)2_x2(x, 则f ( x 1)dx0)04 . 求 lim 1x1cost dt_x0 x0t5. 求 f ( x)1x31x21

14、的极大值为 f (_)_326用定积分求 lim 112n_nnnnn7. 幂级数2n xn 的收敛半径 R n三 .计算 （4*7=28 分） ( 要有必要的计算过程 )1.x ln xdx2.13.1dxx arctanxdxxx2 10求曲线yx3从x0到x1的弧长4四 判别级数的敛散性（ 2*9=18 分） ( 要有必要的过程 )1nn21 .1n 1 2nn2 . 判别(1)nn在（ ,）上是否一致收敛，为什么n 1n 2x2五证明： (9+10=19 分)1设级数an 2 与bn 2 都收敛，证明：(anbn ) 2 收敛2 若 fx 在 ab 上连续， f xbdx证明： f x

15、， xabf x0,)( ),( ) 0,( )(0,a数学分析（二）测试题（8）三 判断题 （正确的打“” ，错误的打“” ；每小题 3 分，共 15 分）：1开区间a, b的全体聚点的集合是a, b本身。2函数lnxx 21是1在区间 1,内的原函数。x 213若 f x 在 a,b 上有界，则f x在 a,b 上必可积。4若 fx为 a,b 上的连续函数，则F xax ft d t 在 a,b 上可导。5正项级数1是收敛的。n1n二填空题 （每小题4 分，共 16分）：1 lim12n。2122222nnn2nndx t2 d x0 ed t。3幂级数x n的收敛半径 R。n 3nn 1

16、4 将 函 数 f xxx展 开 成 傅 里 叶 级 数 ， 则 a0，an，bn。三计算题 （每小题10 分，共 30 分）：1d x；2 1e ln xd x ；3xdx ；1x201 x 4四解答题 （每小题10 分，共 30 分）：1求由抛物线 y22x与直线 yx 4 所围图形的面积。2判断级数1 n 1是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？n 1n23确定幂级数n x n 1的收敛域，并求其和函数。n 1五证明题 （ 9 分）：1x2证明：函数n2上连续。f xn 1 n 2e在 0,参考答案（ 1）一 、 1 、 设 f ( x) 在 a, b 连续 ， F ( x) 是 f

17、 ( x) 在 a,b 上 的一个原函数，则成 立bF (b)F (a)f (x) dxa2、0. N0, 使得mn N ，成立 an 1 an 2am3 、设 DR 2为 开 集 ， zf ( x, y), ( x, y)D 是 定 义 在 D 上 的 二 元 函 数 ，P0 ( x0 , y0 )为 D 中的一定点，若存在只与点有关而与x, y无关的常数AB和 ，使得z A xByo( x 2y2 ) 则称函数 f在点 P0 (x0 , y0 ) 处是可微的，并称x B y 为在点 P0 (x0 , y0 ) 处的全微分二、 1、分子和分母同时求导x 2sin t 2dt4lim02x s

18、in x1（8 分）x6lim6x53x 0 x 02、 、两曲线的交点为（0， 0），（ 1，1）（ 2 分）所求的面积为：1( xx 2 )dx1（ 3 分）031x5 )dx3所求的体积为：(x（ 3 分）01013、 解：设 f ( x)x n1)， lim(n 1)( n2)1 ，收敛半径为1，收敛域n 1 n( nn1n(n1)-1 ， 1（ 2 分）f ( x)x n111ln(1x), (0 x1),n 1 (n1)xx2f ( x)xf (t)dt11x ln(1x), (0 x1) (3 分）0 xx=0 级数为 0， x=1，级数为1， x=-1 ，级数为1-2ln2 （

19、 3 分）4、解：yln x （ 3 分）2uyln xy1 (5 分）u = x zx zx z1yzx yzx三、1、解、有比较判别法， Cauchy,DAlembert,Raabe判别法等 （应写出具体的内容4 分）(n1)!lim(n1) n 1lim (11) ne 1 （ 4 分）由 DAlembert判别法知级数收敛（ 1 分）nn!nn 1nnx p 1e xdx11e x dxx p1e x dx （ 211e x dx ，由于2、解：0 x p1分），对x p00 x1p x p1 e x1(x0) 故 p01xdx 收敛 （ 4x p 1 e x dx ， 由于时 x p

20、 1 e分）；01x2 x p 1e x0( x) （ 4分）故对一切的px p 1 e xdx 收敛，综上所述 p0，积分1收敛3、解： Sn ( x)x21分） limsupSn ( x)x0 所以函数列n2 收敛于 x （ 4nx( ,)一致收敛性（ 6 分）四、 证明题 （每小题10 分，共20 分）1、证明： x3x4xnxn1 2n21xn1x2 , (n2) （ 6 分）x2 x3xn 1x22 3 n 1 n 1n 11发散，由比较判别法知级数发散（4 分）n 2 n12、证明：0|xy| xy | （ 4 分）limxy=0 所以函数在（ 0，0）x 2y2x 2y2( x,

21、 y) (0 ,0)点 连 续 ，（ 3 分 ） 又 l i m 00 ， f x (0,0), f y (0,0)存 在 切 等 于0 ，（ 4 分 ） 但x 0 xl i mxy不存在，故函数在（0， 0）点不可微（ 3 分）( x,x2y2y )(0 ,0)参考答案（ 2）0.0, 使得 0 1a21、2，成立f ( x)dxa12 、 设 DR 2 为 点 集 ，f : DRm 为 映 射 ，0.0, 使 得x1x2, x1, x2D ，成立 f ( x1 )f ( x2 )二、 1、由于1在 0， 1 可积，由定积分的定义知（2 分）1xlim (111) = lim111111ln

22、 2（ 6(12)dxnn 1 n 22nnn 1n01 xn11nn分）4、 、所求的面积为：2a(1 cosx)2 dx3 a 2 （ 8 分）05、 解： (cpv)1xdxlimA1xdx(3 分）1x2A1x2A4、解： lim n11 ， r=1 （ 4 分）x2n由于 x=0， x=2 时，级数均收敛，所以收敛域为0 ， 2 （ 4 分）5、解：u= f 1xf 2x（3 分）2uf 2x（ 5 分）yy2xyf12f11 xy f 223yy三、 1、解、lim limxy 2xxy 2limy 20（ 5 分）由于沿 ykx 趋于（0，0）lim1, lim limx 0 y

23、 0 xyx 0 xy 0 x 0 xyy 0 y极限为1所以重极限不存在（5 分）1 karctan x1 arctan x2、解：dxdxxp0 xp0 x p 1 arctan x1(x0) 故 p11p2，积分收1xpdx 收敛，综上所述3、解： limn3 2 ( 1) n n2 11所以级数收敛（10 分）3n3n四、 证明题 （每小题10 分，共20 分）1、证明：由f ( x)0但不恒为0，至少有一点x0a b（ ）在连续（分），存 , f x a, b2在包含 x0 的区间 c,d a,b ，有 f ( x)b( )d( )0 （4 分）0 （ 4 分），ffdxax dxx

24、c2、证明：以二元函数为例grad (uv)(u xvvxu,u y v v y u)(ux v, u yv)(vxu, vyu)v(u x , uy )u(vx , vy ) vgradu ugradv10 分）参考答案（ 3）一、 1、设有定数I ，0.0, 使得对任意的分法ax0 x1xnb 和任意的点i xi 1 , xi ，只要max ( xi )，成立1 innf (i )xiIi12、 S的任意两点 x，y 之间，都存在S 中的一条道路r ，则称 S为连通集3、0. N () 0, 使得mnN ，成立 an 1an2amex sin ln x |1eeesin1ecos11e二、

25、1、 sin(ln x)dxcos(ln x)dxsin(ln x)dx111e1 (esin 1ecos11) （ 2 分）（ 5 分）sin(ln x)dx126、 由对称性知，所求的面积为：6a22 sin 2 3 da 2（ 7 分）2047、 解：上极限为0.5 ，下极限为 1 cos 4(7 分）254、解： lim n11， r=2 （3 分）2n2n收敛域为（ -3 ，1），级数的和为1（ 4 分），1x5、解： 设极坐标方程为xr cos, yr sinu= u x cosu y sinur sinu xr cosuyx（ 5 分） ( u ) 2( u )2 =( u) 2

26、1 ( u )2（ 2 分）xyrr 2三、 1、解、由于 sin1 cos 1有界， x2y2 为无穷小，limf ( x, y)0 （5 分）xy( x, y)( 0, 0)lim lim ( x2y 2 ) sin 1 cos 1lim ( lim x 2 sin 1 cos 1limy 2 sin 1 cos 1 )，而x0 y0 xyx0 y0 xyy 0 xyl211极限不存在，lim211 极限存在，故整体极限不存在，同理x i smicnosysincosy0 xyy 0 xylim lim f ( x, y) 不存在（ 5 分）y0 x02、解：1dx11dx1dx （ 21

27、1dx ，xpxqxpxqxpxq分），对xpxq0010由 于 x m i np(,q )11( x0) 故 min( p, q)1 时11dx 收 敛 （ 4分 ）；0 x px q1x px qpa,q ) x1(1qdx，由于x mq1( x)（ 4分）故xpxxpxmax( p, q) 11q dx 收敛，综上所述min( p, q)1 ， max( p, q)1 时，积分收1xpx敛（ 2 分）3、解： lim fn ( x)x f (x) （ 3 分）， lim sup fn ( x)f (x)lim supxx201 n xnnnx所以函数列一致收敛（7 分）四、 证明题 （每

28、小题10 分，共20 分）证明：当 bf ( a) 时，af (x)dxbab(a0,b0) （ 4 分）10f 1 ( y)dy0当bf (a)时，a( )f ( a)1()(0,0)（ 3 分）0fx dxfy dyabab0当 bf (a) 时，f1 (b)b1 ( y)dy ab(a0,b0) （ 3 分）0f ( x)dxf02、证明：由于收敛xn ，故 lim xn0 （ 2 分），于是，总存在n0 使得 nn0 时，n 1n有0 xn 1，从而，当 nn0 时，有 0 xn2xn（ 5 分），由于级数xn 收敛，当然xnn1nn0收敛，故级数xn2收敛，从而xn2 也收敛（ 3

29、分）nn0n1标 准 答 案 （ 4）四 判断题 （正确的打“” ，错误的打“” ；每小题3 分，共15 分）：12345二填空题（每小题3 分，共15 分）：11 ，1；21ln 2 ；3 e tan x sec2 x ；43；3325 a00 ， an0， bn1 n 1 2n三计算题 （每小题7 分，共28 分）：1edxexd e x arctan e xC ；x1e 2 x（ 4 分）1 x 2（3 分） 1 e21 x22 xln x dx ln x d1 x 2 ln x 11ex dxeeee1122212411e21 ；4（ 4 分）（ 3 分）x 4bx4 dx 1 lim

30、bd x21 lim arctan x2b3 dx lim4 00001 xb1 x2 b1 x2 b；4（ 2 分）（ 2 分）（ 2 分）（ 1分）2232xdx limxdx lim2 x18 。41a1 22 x 1 2 x 1a 1x 1a 13a3（ 2 分）（ 3 分）（ 2 分）四解答题 （每小题10 分，共30 分）：1求由抛物线y22x与直线yx4所围图形的面积。解：两交点为2,2 ,8, 4 ，则（ 3 分）4y2y 2y34Sy4dy4 y 1822262（ 3 分）（ 3 分）（1 分）2判断级数1 ntan 1是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？n 1n解：设

31、antan1， an0 ， 则 anan1,an0 n，（ 3n分）由 Leibniz判别法知，级数1 ntan 1收敛。（ 3n1n分）tan 11而由 limn1知，级数（ 41tan发散，故原级数条件收敛。nn1nn分）3确定幂级数x2 n1的收敛域，并求其和函数。n 1 2n1n1x1lim2n2解：因为x2n1x，所以（ 2n2n1分）当 x1 时幂级数绝对收敛，当x 1幂级数发散，故收敛半径 R 1。（ 2分）又当 x1时幂级数发散，故收敛域为1,1 。（ 2分）设S xx 2n1，则 Sxx 2 n211，从而（ 2n 1 2n1n 1x 2分）111 x（ 2x，x1, 1。S

32、 x0 1 x 2 dx2 ln 1 x分）五证明题 （ 12 分）：证明：函数f xsin nx,上有连续的二阶导函数，并求fx 。n 1n4在证明：因为x,，有sin nx1sin nxcosnx1 ，cosnxsin nx1（ 3n 4n4 ，n 4n3n3n 3n 2n 2分）111sin nxcosnxsin nx而级数n 4,n 3,n 2都收敛，故级数n 1 n4,n 1n3,n 1n2，都在,上一致收敛。（ 3分）又 级 数 的 每 一 项 都 是 连 续 的 ， 故 由 函 数 项 级 数 的 连 续 性 和 可 微 性 知 ，f x , f x ,fx都在,上连续，且（ 3

33、分）f xcosnx，f xs i nnx，x,。（ 2n3n 1n2n 1分）标 准 答 案 （ 5）五 判断题 （正确的打“” ，错误的打“” ；每小题 3 分，共 15 分）：12345二填空题 （每小题3 分，共 15分）：1 3，1；2 1ln 2 ；3 e sin x cos x ；4 1 ；45 a0ann12bn0，1n2，三计算题 （每小题7 分，共 28分）：1x3dx 1 x2 d x2 119d x2 1 x 29 ln 9 x 2C ；9 x 229 x 229 x 222（2 分）（ 3 分）（ 2 分）1x1tt11t2e dx2 t e dt t e2e dt2

34、；20000（xt ）（ 3 分）（ 3 分）（1 分）322dx lim 22dx1lim 2bbxx2bxx23 b（ 2 分）（ 3 分）11dx 2 ln 2 ；x 1x 23（2 分）41xdx 2 limaxdx 2 lim1x2a 1 。0001 xa 11xa1（ 2 分）（3 分）（1 分）四解答题 （每小题10 分，共 30 分）：1求由两抛物线y x2与 y2 x2所围图形的面积。解：两交点为1, 1 ,1, 1 ，则（ 3 分）S12 x 2x2 dx2x2 x 31 83311（ 3 分）（ 3 分）（ 1 分）2判断级数1 n ln n 1是否收敛，若收敛，是绝对收

35、敛还是条件收敛？n 1n解：设 anln n 1，an0， 则 anan1 , an0 n，（ 3n分）由 Leibniz 判别法知，级数1 n ln n 1收敛。（ 3n 1n分）ln n1n1而由 limn1（ 41知，级数ln发散，故原级数条件收敛。nn 1nn分）3确定幂级数n x n 1的收敛域，并求其和函数。n 1解： 因为limn1， 所以收敛半径 R 1。（ 3nn1分）又当 x1时幂级数发散， 故收敛域为1, 1 。（ 3分）设S xnx n 1xS t dtxx nx， 则nt n 1dt，n 10n 10n 11x（2 分）xS t dtx1， x1, 1 。（ 2从而

36、S x201 x1 x分）五证明题 （ 12 分）：x 2证明：函数 fx12 e n 2在0,上连续。n1n12x212证明：因为x0,，有en2，（ 4nn分）11x2而 级 数收 敛 ， 故 级 数en20,上 一 致 收 敛 。n2n 2在n 1（4 分）又级数的每一项都是连续的，故由函数项级数的连续性知，f x在,上连续。（4 分）答案（ 6）1234567一二2ex1e2xC0e21( 1,25)ln 22233327三 .计算 ( 要有必要的计算过程 )1.xex dx = xexexC2.1dx （令 tx1）x2x1x12dt2 arctantC2 arctan x1C(或a

37、rccos1C)t 21x1x3.11arcsin xdx024求曲线 y2x2与 yx所围成的图形的面积1(2x2 ) x dx9解：22四 判别级数的敛散性1 .2n n!解： lim n2n n!21 收敛n 1nnnnne2 . 判别 ( 1)nn在（ ,）上是否一致收敛，为什么n 2x2n 1n( 1)k即一致有界 ，对每一个x(, ),n单调递减 ，且解：1()2x2k 1nn一致趋向于 （n）( 1)nn在（,）上一致收敛n 2x20n2x2n 1五证明：1设级数an2 与bn2 都收敛，证明：anbn绝对收敛证明： anbn1 (an2bn2 ), 而 an2bn2收敛anbn

38、 绝对收敛22设 f ( x)在 a , b 上二阶可导， f(a)f(b)0 ，证明：存在一点(a ,b) ，使得f ( )4f(b)f (a)（提示：用泰勒公式）(ba) 2证明：由泰勒公式知 f (x)f (a)f (a)( xa)1f (1 )( x a) 22及f ( x)f (b)f(b)( xb)1f()( xb)22分别令xab , 有f (abf (a)1ba2（ ）22)f( 1)(2)12abf (b)1()(ba2（ 2）f (2)f2)2（其中 ， ：1abb），（ 2）（ 1）得；a2f (b) f (a)1f()f(1) (a) 20f()4f (b)f (a)8

39、b(ba) 2( 其中 f() maxf() , f(1 )答案及评分标准（ 7）1234567一二1x3x2x CA50012132632三 .计算1.xln xdx1x2 ln x1x2C2.1dx （ 令24x x21tx1x 1）2dt2 arctantC2arctanx1C(或arccos1C)t 21x1x3.1112)12arctanx11 1 x21x arctan xdxarctan xd(x2x0dx0022 01 x24 24求曲线 yx3 从 x0到 x1的弧长121 (13解： l1x3dx138)027四 判别级数的敛散性（ 2*9=18 分） ( 要有必要的过程 )1 .1n1 n2解：lim n1n1 n2e1发散n 1 2nnn2nn22 . 判别(1)nn在（,）上是否一致收敛，为什么n 1n 2x2n(1)k1(即一致有界 ，对每一个x (,),n单调递减解：