期末试题-概率论与数理统计(A卷)及详解答案

1、20022003学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）及详解答案一、填空（每小题4分,共计24分）1、统计推断依据的原理是一次试验小概率事件一般不会发生2、随机事件A、B相互独立，P(A)=0.4,P(B/A+B)=0.5,则P(B)=P(A-B)=P(B/A+B)=PB(A+B)P(A+B)P(B)P(A)+P(B)-P(AB)P(B)P(A)+P(B)-P(A)P(B)=P(B)=0.50.4+P(B)一0.4P(B)2所以P(B)=P(A一B)=P(A一AB)=P(A)一P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=0.4-0.4x23、随机变量X的分布函数为F（x）=015351x

2、-5一5x0X一505122p-,x的分布律=0 x5P(X=a)=F(a+0)一F(a-0)11P(X=-5)=F(-5+0)-F(-5-0)=-0=-55312P(X=0)=F(0+0)-F(0-0)=-=-55532P(X=5)=F(5+0)-F(5-0)=1-=-554、设随机变量X与Y都服从（0,2）上的均匀分布，且相关系数PXY=-3，则3E(XY)=4Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)cCov(X,Y)pXYQD(X片D(Y)0+2TOC o 1-5 h zE(X)=E(Y)=1D(X)=D(Y)=(2-0)2=-123E(XY)=E(X)E(Y)+pxD(XxD(X

3、j=313=1X4345、设X1，X2，X3是来自正态总体N(0，32)的一个样本，样本均值123_X=扌X+X+X)，则PlX一XJV2J3=0.84141X一X=(X+X+X)一X131231N(0,6)PlX一X10=1(C)PX+Y1=X-YN(-1,2)X+YN(1,2)(B).PX-Y0=1(D)PX-Y1=13、对于任意两个随机变量X与Y,若E(XY)=E(X)E(Y),则(D)(A)、X与Y独立(B)、X与Y不独立(C)、D(XY)=D(X)D(Y)(D)、D(X+Y)=D(X)+D(Y)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(

4、X,Y)1一;数分布，/*(x)=*060(A)九=1,0=14、设随机变量X与Y相互独立，且X服从参数为入的泊松分布，Y服从参数为8的指X0，且E(X-1)(Y-2)=2，则必不成立的是(C)x0(B)九=2,0=4(C)九=1,0=1(DM=-2,0=3由相互独立且E(X-1)(Y-2)=2E(X-1)E(Y-2)得=E(X)-1E(Y)-2=(九-1)(0-2)=25、设X,X,X是来自正态总体N(u,b2)的一个简单随机样本，X与S2分别12n2XLX为样本均值和样本方差，则乞(一)2CCTkx0yx1J+XdxJ+xf(x,y)dy-8-8=JXdxJxkxdy00解：1)、=kJ1

5、x2dx0=kix3x=13x=02)、X与Y的边缘密度；当0 x1时70)+Q)+rBocyA1HtOAyAlM直=f1dXx3xdy21_x=f；3x(2x_1)dx2=5=8四、（10分）从数集1,2,3,4,5,6中任意取一个整数设为X,Y为能整除X的正整数的个数，试求：1）、Y的分布2）、X与Y的联合分布3）、协方差解：1）、X可能取值：1,2,3,4,5,6111111Pk666666Y的取值情况X123456Y122324Y1234所以Y的分布律为”1311rk6666234561234006011660000001000100616001006163616161111113)、

6、666666E(Y)=1x-+2x3+3x-+4x-=1466666E(X)=1x-+2x-+3x-+4x-+5x-+6x-=216666666E(XY)=1x1x-+2x2x-+2x3x-666576111+3x4x+2x5x+4x6x=666Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=4/3五、(6分)若已用了t小时的电子元件，在以后的&小时内损坏的概率为九+o(At),其中入是不依赖于t的正数，求电子元件在T小时内损坏的概率解：设X为使用寿命PtvXvt+At/Xt=PtvXvt+At,XtPXt则=PtvXvt+AtPXt=九At+o(At)PtvXvt+At所以=九At+o(At

7、)PXt即F(t+At)一F(t)=XAt+o(At)1一F(t)F(+&)_F()=入M+o(&)i_f(t)AtAtdF(t)=limF(t+At)_F()dtAttOAt九At+o(At)=lim1一F(t)AttOAt=九1-F(t)1_F(t)ln1F(t)=入t+c1_F(t)=e_(兀+c)F(t)=1一e_(兀+c)因为F(0)=0，代入，得c=0所以F(t)=1e-兀PXT=F(T)=1一e_M六、（10分）随机变量X的密度函数为f（x）=E(X)求：1)2)、0其它P(A)对X独立观测100次，用中心极限定理计算A发生超过60次的概率E(X)=Jrf(x)dx_g=J2x1

8、_I1xIdx0解：1）、=J1x11+xdx+J2x1x+1dx0111=-x31+x2=x3=1P(A)=PXE(X)=PX1=J+8f(x)dx1=J21|1x|dx1=J2(2x)dx1=2x1x2221=1=22)、100次中A发生的次数Y(100,0.5)n=100,p=0.5,np=50p=np=50,a2=np(1p)=25近似YnpY近似N(ng,nb2)，N(0,1)4nJpQ-p)PY601-(60-50)5=1一(2)=10.9772=0.0228七、（13分）设总体x的概率密度为f（x,e）=Ixl9,XGR,其中未知参数90,总体X抽取一个容量为n的样本X,X,.,

9、X12n1）、求9的极大似然估计量2）、试证明Q是9的无偏估计n1!xj11解：1）、似然函数L（0）=寸-e9=e叫29（29）”i=11lnL（9）=nln291刀Ix.I9i令dlnL(9)1n解得9=乞IXI为9的最大似然估计量i-n+丄刀IXI=0,992i1、2）、E（9）=E1EIXI=5丿其中EGXl）=J+8IXI纟e弋d=2J+8xe:dx=9i829029八、（12分）糖果包装机，包装每袋糖果的重量服从正态分布。正常情况下平均重量为1000克，标准差不超过15克，某天随机抽取10袋，测得样本均值元=998，样本均方差s=19.36,问这天机器工作是否正常？（a=0.05）d9ni=11EGX1)=9ni=1解：当=1000，Q2W152时，机器工作正常1）、H0：p=g=1000,H：ga=1000这是一个正态总体，方差未知，关于卩的双侧假00设检验问题，因此用t检验法，取检验统计量为X一匕0-1（n1）sgnn=10，x=998，s=19.36,a=0.05，查t分布表得ta=10.025=2262因为111=998100019.36八102=0.326682.262所以接受H02)、H0：q252.现在n=10,%2(n一1)=