大学物理：第五章机械波

第五章机械波

前言§5-1机械波的形成和传播§5-2平面简谐波的波动方程§5-3波的能量*声强§5-4惠更斯原理、波的叠加和干涉§5-5驻波§5-6多普勒效应*冲击波*§5-7色散波包群速度1一、机械波产生的条件§5-1机械波的形成和传播如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为弹性波。1、有作机械振动的物体，即波源2、有连续的介质2横波——振动方向与传播方向垂直，如电磁波。特点：波峰、波谷，只能在固体中传播。横波在介质中传播时，要求介质中存在弹性的剪切力，只能在固体中传播。1.横波二、纵波和横波31112131516

t=0141234567891011121315161412345678910

t=T/2

t=T/41112131516141234567891046111213151614123478910

t=T511121315161412345678910

t=3T/411121315161412345678910

t=5T/45纵波在介质中传播时，要求介质中拉伸压缩弹性，能在固体、液体、气体中传播。结论：机械波向外传播的是波源（及各质点）的振动状态和能量。纵波——振动方向与传播方向相同，如声波。2.纵波特点：疏部、密部，能在固体、液体、气体中传播。63、表面波(了解）因液面有表面张力，在液面是纵波、横波均可传递。有液面波传播时，液面的流体微元会在平衡位置附近作椭圆振动。液面波不是简谐波。7波场--波传播到的空间。波面--波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。波前（波阵面）--某时刻波源最初的振动状态传到的波面。波射线--代表波的传播方向的射线，恒与波面垂直。1.各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直。注意：三、波线和波面2.沿波传播方向（即波线方向）各质点相位依次落后。8波线波面波面波线平面波球面波波面波线波线波面9四、简谐波一般说来，波动中各质点的振动是复杂的。最简单而又最基本的波动是简谐波，即波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。这种情况只能发生在各向同性、均匀、无限大、无吸收的连续弹性介质中。以下我们所提到的介质都是这种理想化的介质。由于任何复杂的波都可以看成由若干个简谐波叠加而成，因此，研究简谐波具有特别重要的意义。*五、物体的弹性形变（略）101、波长六、描述波动的几个物理量同一波线上振动位相差为2π的相邻的两质点间的距离。或某个振动状态在一个周期内传播的距离为波长。

是波在空间上的周期性的标志λλ11波动周期T：一个完整波形通过波线上某固定点所需的时间。或者说，波传播一个波长所需的时间。波动频率：单位时间内通过介质中某一点完整波的个数2、波动周期、频率在波源相对于介质为静止时，波动周期等于波源振动周期。T

是波在时间上的周期性的标志波的周期和频率由波源决定。123、波速u某个振动状态（即位相）在介质中传播的速度，波速又叫相速，用u表示，波速决定于介质的力学性质。它表示单位时间内一定振动状态或位相传播的距离。波长、波速、周期三者间关系：（1）波速与介质质点振动速度不同（2）波速由介质的性质决定，而不是由波的频率决定。13一、平面简谐波的波动方程在同一时刻，沿着波的传播方向，各质点的振动状态或位相依次落后；波动是介质中大量质点参与的集体运动（振动）。如何用数学式来描述大量质点以一定位相关系进行集体振动呢？§5-2平面简谐波的波动方程xyo14设一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播，x轴即为某一波线。设原点振动方程：p为波线上任意位置x处的一质点1.波动方程的得出o点振动状态传到p点需用时间

即，t

时刻p处质点的振动状态与时刻o处质点的振动状态相同。15由于P为任选的，所以上式所表示的是任一波线上任一点的振动方程，亦即平面简谐波的的波动方程。因此p点在t时刻的振动方程为波动方程波动方程表示波线上任意一质点在任意时刻离开自己平衡位置的位移。沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动，也就是沿波的传播方向，相位依次落后。沿x轴负方向传播时的波动方程：162、波动表达式的多种形式：利用关系式可得：波数，表示在2长度内所具有的完整波的数目。17二、波动方程的物理意义振动y=f(t)

描述一个质点的位移随时间变化的规律。波动y=f(x,t)

描述波线上所有质点的位移随时间变化的规律。1、给定x，即x=x0

为常数则考察的是波线上某固定点y=f（x，t）

蜕变成

y=f（t）18（1）波动方程蜕变成x0处质元的振动方程（2）x0处质元的振动初位相“－”表示x0处质元的位相落后于原点O。（3）同一时刻，同一波线上两点的振动位相差

xOx2x1192、如果给定t，即t=t0

则y=y(x)（1）波动方程蜕变成t0时刻的波形方程可见，波长反映了波动在空间上的周期性。λλ/2λ/2──故波形图有鲜明的时间特征；20（3）同一质元在不同的两个时刻的振动位相差（2）时间延续△t，整个波形向前推进△x=u·△t

据此，可由已知时刻的波形图画出下一时刻的波形图；21波形不断向前推进就是波动传播的过程，波动方程描述一个波形的传播。3、x，t

都变y=f（x，t）描述波线上各个不同质点在不同时刻的位移t时刻的波形方程为y(x)=Acosω(t－x/u)OYX(t)＋(t)(t)＋2(t)(t)t+Δt时刻的波形方程为y(x)=Acosω(t+Δt－(x+x)/u)22一平面简谐波沿x轴负向传播，波长λ=1.0m

，原点处质点的振动频率为v=20Hz，振幅A=0.1m，且在t=0时恰好通过平衡位置向y轴负向运动。求:(1)波速是多大?(2)此平面波的波动方程。(3)波线上相距0.6米的两点相位差是多大?

提示：课堂练习23解:(1)与波动方程的标准形式比较，即可得例5.1已知波动方程为，其中x，y的单位为m，t的单位为s，求(1)振幅、波长、周期、波速；(2)距原点为8m和10m两点处质点振动的位相差；(3)波线上某质点在时间间隔0.2s内的位相差.将波动方程改写成如下形式24(2)同一时刻波线上坐标为x1和x2两点处质点振动的位相差(3)对于波线上任意一质点，在Δt内的位相差25例5.2一平面波在介质中以速度u=20m/s沿直线传播，已知在传播路径上某点A的振动方程为

，（1）若以A点为坐标原点，写出波动方程，并求C，D两点的振动方程，（2）若以B点为坐标原点，写出波动方程，并求C，D两点的振动方程。解:(1)xBDCA8m5m9mu已知参量原点的振动方程为因此，波动方程为C点和D点的振动方程只需把坐标值带入波动方程即可26(2)先求坐标原点的振动方程（即B点在t时刻的振动状态）因此有B点的振动状态传播到A点需要的时间为B点在t时刻的振动状态与A点在t+1/4时刻的振动相同波动方程为C点和D点的振动方程为27习题5.1

振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同?习题5.2

波动方程

中的表示什么?如果改写为

，又是什么意思?如果t和x均增加，但相应的的值不变，由此能从波动方程说明什么?

28习题5.3波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点?

习题5.4波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处?t=0s时刻是否一定是波源开始振动的时刻?波动方程写成

时，波源一定在坐标原点处吗?在什么前提下波动方程才能写成这种形式?

29习题5.9沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos(10πt-4πx)，式中x,y以米计，t以秒计．求：(1)波的波速、频率和波长；(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；(3)求x=0.2m处质点在t=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达哪一点?

解:(1)比较得到：振幅；频率；波长；波速；30(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为(3)

x=0.2m处的振动比原点落后的时间为故,时的位相就是原点在t0=1-0.08=0.92s

时的位相，即31§5-3波的能量一.波的能量和能量密度波是振动状态的传播，也是伴随着振动能量的传播。有一平面简谐波在x处取一体积元，质量为质点的振动速度体积元内媒质质点动能为32体积元内媒质质点的弹性势能为体积元内媒质质点的总能量为：1）在波动的传播过程中，同一体积元内任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。说明:2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。?33能量密度：单位体积介质中所具有的波的能量。平均能量密度：一个周期内能量密度的平均值。平均能量密度34能流:单位时间内通过介质中某一截面的能量。二、波的能流和能流密度平均能流：在一个周期内能流的平均值。能流密度（波的强度）：通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。单位：瓦特·米-235例试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。分析平面波和球面波的振幅(了解）证明：在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等所以,平面波振幅相等。对平面波有36所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r处的振幅为A/r由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：对球面波：37§5-4惠更斯原理、波的叠加和干涉一、惠更斯原理介质中波阵面（波前）上的各点，都可以看作为发射子波的波源，其后某时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。38波传播方向平面波ut球面波t时刻波面

t+t时刻波面波的传播方向t时刻波面t+t时刻波面波传播方向t时刻波面t+t时刻波面3940二、波的叠加原理几列波在传播中相遇时，可以保持各自的特性(频率、波长、振幅、振动方向等);在相遇的区域内，任一点的振动，为各列波单独存在时在该点产生的振动的合成。上述规律称为波的叠加原理，又称波的独立传播原理。说明：1振动的叠加仅发生在单一质点上。2波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上。4142三、波的干涉1、干涉现象若两列波在空间相遇，空间各点的振动是完全确定的，得到波的一种稳定的叠加图样，这种现象称为波的干涉现象。一般情况下，几列波在介质中相遇时，相遇区域内各处质点的合振动是很复杂的和不稳定的。43（3）振动方向相同。（1）频率相同；（2）相位差恒定；2相干条件相干波满足相干条件的波源称为相干波源，能叠加产生干涉现象的波称为相干波。44传播到P点引起的振动分别为：在P点的振动为同方向同频率振动的合成。设有两个相干波源S1

和S2

发出的简谐波在空间p点相遇。合成振动为：3.定量分析45其中：由于波的强度正比于振幅的平方，合振动的强度为：对空间不同的位置，都有恒定的

，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。其中：46(1)相长干涉的条件：47(3)当两相干波源为同相波源时，相干条件写为:相长干涉相消干涉其中,

称为波程差(2)相消干涉的条件：48例题:

位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频率都是100赫兹，相位差为，其A、B相距30米，波速为400米/秒，求:A、B连线之间因相消干涉而静止的各点的位置。解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B联线为X轴，取A点的振动方程:在X轴上A点发出的行波方程：49B点的振动方程:在X轴上B点发出的行波方程：因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相消干涉为静止的点满足：50相干相消的点需满足：因为：51例5.5图示声波干涉仪.声波从入口E处进入仪器，分B，C两路在管中传播，然后到喇叭口A会合后传出.弯管C可以伸缩，当它渐渐伸长时，喇叭口发出的声音周期性增强或减弱.设C管每伸长8cm，由A发出的声音就减弱一次，求此声波的频率(空气中声速为340m/s).52当C管伸长x＝8cm时，再一次出现干涉减弱，即此时两路波的波程差应满足条件解：对某次干涉减弱时有：以上两式相减得，于是可求出声波的频率为53习题5.18

S1和S2为两相干波源，振幅均为A1，相距λ

/4，S1的位相超前S2π/2

，求：（1）S1外侧各点的振幅和强度；（2）S2外侧各点的振幅和强度。S1S2解：（1）在S1外侧距离为r的点，到S2的距离为某时刻该点的两振动位相差为因此两振动反相波强54（2）在S2外侧距离为r的点，到S1的距离为某时刻该点的两振动位相差为因此两振动同相波强555-5驻波一、驻波方程驻波:是两列振幅相同、频率相同，但传播方向相反的简谐波的叠