第四章 时变电磁场潘锦

分析求解电磁问题的基本出发点和强制条件出发点Maxwell方程组条件本构关系边界条件1分类分析求解电磁问题静态电磁场电磁波按时间变化情况第3章第4、5、6、7、8章2分类分析时变电磁场问题第4章电磁波的典型代表电磁波的传输共性问题个性问题电磁波的辐射第5、6章第7章第8章均匀平面波波导天线3分类分析时变电磁场问题第4章共性问题个性问题4面对的问题？分析方法？关联的一般性物理问题？典型问题的应用？5第4章时变电磁场本章内容

4.1

波动方程

4.2电磁场的位函数

4.3电磁能量守恒定律

4.4惟一性定理

4.5时谐电磁场6面对的问题：存在什么源？在何媒质环境中？分析方法？关联的一般性物理问题？典型问题的应用？7Maxwell方程组单一媒质空间84.1波动方程无源区的波动方程

麦克斯韦方程组波动方程:电场和磁场分别满足的方程时变电场和磁场以波的形式存在9同理可得

推证10面对的问题单一媒质环境！波动方程的求解！分析方法：充分利用变电磁场特性关联的一般性物理问题？典型问题的应用？11问题：在静电场分析中是通过何途径来反映其特性的？在静态磁场中呢？在时变电磁场分析中能否发挥同样作用？124.2电磁场的位函数位函数的引入通过位函数计算电磁场问题：如何求位函数？通过位函数计算电磁场的好处？特点：磁矢位的散度可以任意！13

位函数方程（达朗贝尔方程）14推证15同样16

位函数方程不利点：磁矢位与电位函数不能分离！17库仑规范：

位函数的规范条件不利点：磁矢位与电位函数不能分离！18洛仑兹规范：位函数的规范条件(续)特点：磁矢位与电位函数分离！磁矢位只依赖于电流，电位函数只依赖于电荷！电位函数可由洛仑兹规范直接求出（无需单独求解其微分方程）！19面对的问题！分析方法：利用利用时变电磁场特性关联的一般性物理问题？典型问题的应用？20问题：在时变电磁场中位函数的作用？21电磁场的波动方程位函数方程结论：无源区两种方法一样简单有源区位函数方程更简单22面对的问题！分析方法：求解区无源，用场的波动方程求解区有源，用位函数方程关联的一般性物理问题？典型问题的应用？23面对的问题！分析方法！关联的一般性物理问题：能量？典型问题的应用？244.3电磁能量守恒定律

讨论内容

坡印廷定理

电磁能量及守恒关系

坡印廷矢量25

进入体积V的能量＝体积V内增加的能量＋体积V内损耗的能量电磁能量定律问题：数学表示？26电场能量密度：磁场能量密度：电磁能量总密度：V内的总电磁能量：

特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随时间改变，从而引起电磁能量流动。

V内存储的电磁能量启示：围绕体积内储能随时间的变化来描述能量关系27将以上两式相减，得到由电磁能量守恒定律的数学表示──坡印廷定理28积分形式（瞬时功率关系）

：坡印廷定理及物理解释微分形式（瞬时功率密度关系）：体积V内所增加的电磁功率体积V内的功率损耗流入体积V的电磁功率

（新物理量）29

定义：

(W/m2

)

物理意义：

的方向

——电磁能量传输的方向

的大小

——通过垂直于能量传输方向单位面积的电磁功率描述时变电磁场中电磁能量传输（流动）的特性坡印廷矢量（能流密度矢量）流过单位面积的功率30坡印廷定理的一个推论──惟一性定理

如果：V内方程不变电磁场的初值不变S上的边界条件不变则：V内电磁场的解惟一。31时变电磁场共性问题学习总结针对的问题和已经学到的分析方法单一媒质空间的无源问题微分方程方法（波动方程）2.单一媒质空间的有源问题微分方程方法（位函数方程）

3.能量守恒定律Poyting

定律Poyting

矢量32面对的问题！分析方法！关联的一般性物理问题！应用中的典型问题？时谐电磁场问题334.5时谐电磁场

复矢量的麦克斯韦方程

时谐电磁场的复数表示

复电容率和复磁导率

时谐场的位函数

亥姆霍兹方程

平均能流密度矢量34时谐电磁场的概念物理量随时间按正弦规律变化的问题，因此也叫正弦电磁场问题35时谐电磁场问题求解的有利因素时-空可以分离求解！即：可以独立分析物理量的空间变化和时间变化方法：用复数表示出物理量的时空关系实数表示法或瞬时表示法复数表示法36

复数表示对时谐量关于时间求导和积分的运算的优点求导积分37麦克斯韦方程的复数表示──复矢量Maxwell方程38瞬时矢量复矢量无源区波动方程的复数表示──亥姆霍兹方程39洛仑兹条件瞬时矢量复矢量有源区位函数方程的复数表示通过位函数求场40导电媒质的简略表示法──复介电常数41媒质的损耗角正切对电磁波而言，媒质复介电常数虚部的起对电磁波衰减的作用。因此对电磁波传播而言，介电常数/磁导率具有虚部的介质也叫损耗介质，电介质导电媒质磁介质——弱导电媒质和良绝缘体——普通导电媒质——良导体导电媒质的分类传导电流与位移电流的比其虚部与实部的比,称为损耗角正切：42有耗媒质中波动方程的复数表示洛仑兹条件通过位函数求场无源区有源区43洛仑兹条件瞬时矢量复矢量有源区位函数方程的复数表示通过位函数求场44瞬时功率关系

：瞬时功率密度关系：

瞬时能量/功率密度和能流密度矢量

特别注意：

式中各量均必须为实数表示形式求解需首先写出各量的实数形式，然后才能带入相应关系求解。如：45例：计算瞬时Poyting矢量

例：计算瞬时存储的电场能量密度

例：计算瞬时功率密度消耗求解时必须先得场源量的瞬时表达式！46时间函数的时间平均定义：

平均能量/功率密度和能流密度矢量

对于时间为T的周期函数47

平均Poyting矢量（能流密度矢量

）求解时无需写出场源量的瞬时表达式！48

平均电场能量密度求解时无需写出场源量的瞬时表达式！49

平均磁场能量密度求解时无需写出场源量的瞬时表达式！50

平均焦耳损耗功率密度求解时无需写出场源量的瞬时表达式！51时谐电磁场问题学习总结1.单一媒质空间的无源问题微分方程方法（Helmholtz方程）2.单一媒质空间的有源问题微分方程方法（Helmholtz方程）+Lorentz条件3.能量瞬时能量/功率与时变相同：如平均能量/功率可复振幅量计算如,52面对的问题！分析方法！关联的一般性物理问题！典型问题的应用！53分类分析时变电磁场问题第4章共性问题个性问题54时变电磁场共性问题学习总结针对的问题和已经学到的分析方法单一媒质空间的无源问题微分方程方法（波动方程）Helmhotz

方程2.单一媒质空间的有源问题微分方程方法（位函数方程）Helmhotz

方程

+Lorentz

条件3.能量守恒定律Poynting

定律求瞬时二次量求时间平均二次量Poynting

矢量无需求出瞬时场量只需用复矢量

55例4.5.1

将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式解：（1）由于所以56

例4.5.2

已知电场强度复矢量解其中kz和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量57例4.3.1

求图示静态场问题：（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（2）当导体的电导率σ有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。同轴线58解：（1）因此，内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量59通过任意横截面的功率为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（理想导体情况）60（2）当导体的电导率σ为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场内根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即因此，在内导体表面外侧的电场为内磁场则仍为内导体表面外侧的坡印廷矢量为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）61式中是单位长度内导体的电阻。即，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。由此可见，进入每单位长度内导体的功率为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）62

解：（1）由得（2）电场和磁场的瞬时值为例4.5.4

已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量为，其中k和E0为常数。求：（1）磁场强度复矢量

；（2）瞬时坡印廷矢量

；（3）平均坡印廷矢量

。63