-信号(清华大学出版社)第二章第一讲

第二章LTI连续系统的时域分析1:系统的微分算子方程与传输算子2:LTI连续系统的零输入响应3:LTI连续系统的冲激响应与阶跃响应4:卷积积分5:求系统的零状态响应的卷积积分法研究问题举例1、LTI连续系统的微分算子方程2、系统的零输入响应4、系统的零状态响应3、系统的单位冲激响应5、系统的全响应第二章LTI连续系统的时域分析§2–1系统的微分算子方程与传输算子一、微分算子、积分算子与微分算子方程:引入如下算子：微分算子:

积分算子:

则：§2–1系统的微分算子方程与传输算子一、微分算子、积分算子与微分算子方程:对于微分方程

算子形式微分算子方程：

§2–1系统的微分算子方程与传输算子一、微分算子、积分算子与微分算子方程:微分算子方程是微分方程的一种表示，含义是在等式两边分别对变量y(t)和f(t)进行相应的微分运算。形式上是代数方程的表示方法。可用来在时域中建立与变换域相一致的分析方法。一、微分算子、积分算子与微分算子方程:§2–1系统的微分算子方程与传输算子微分算子的运算性质：§2–1系统的微分算子方程与传输算子一、微分算子、积分算子与微分算子方程:四个性质教材第33页自学！二、LTI连续系统的微分算子方程及传输算子电路元件伏安关系(VAR)的微分算子形式称为

算子模型，电压、电流比为算子感抗和算子容抗§2–1系统的微分算子方程与传输算子元件名称

电路符号

u-i关系(VAR)

VAR的算子形式算子模型电阻电感电容

电路元件的算子模型i(t)Ri(t)Li(t)Ci(t)Ri(t)pLi(t)1/pC二、LTI连续系统的微分算子方程及传输算子§2–1系统的微分算子方程与传输算子LpL;C

1/pC画出算子模型，按照电路理论中的列写方程方法列写。二、LTI连续系统的微分算子方程及传输算子电路系统微分算子方程的建立方法:§2–1系统的微分算子方程与传输算子例：RLC串联电路，e(t)为激励，i(t)为响应。试列写其微分算子方程。二、LTI连续系统的微分算子方程及传输算子§2–1系统的微分算子方程与传输算子微分算子方程对于激励为f(t)，响应为y(t)的n阶LTI连续系统，其微分算子方程为：二、LTI连续系统的微分算子方程及传输算子§2–1系统的微分算子方程与传输算子H(p)称为响应y(t)对激励f(t)的传输算子或系统的传输算子微分算子方程传输算子系统传输算子与系统微分算子方程是对系统的等价表示。它们之间可以可以转化。二、LTI连续系统的微分算子方程及传输算子§2–1系统的微分算子方程与传输算子例:（书）电路如图(a)所示，激励为f(t)，响应为i2(t)。试列写其微分算子方程。(a)1+f(t)-i153Fi22H4H1+f(t)-i1513pi22p4p(b)i1i2二、LTI连续系统的微分算子方程及传输算子§2–1系统的微分算子方程与传输算子解：画出其算子模型电路如图(b)所示。由回路法可列出方程为：

二、LTI连续系统的微分算子方程及传输算子化简微分方程组时要考察电路的阶数以便确定公共因子是否可消去。§2–1系统的微分算子方程与传输算子)(271481/3)(232tfpppti+++=例：求i1(t)对f(t)的传输算子，以及i1(t)对f(t)的微分方程二、LTI连续系统的微分算子方程及传输算子§2–1系统的微分算子方程与传输算子二、LTI连续系统的微分算子方程及传输算子微分方程§2–1系统的微分算子方程与传输算子1、LTI连续系统的微分算子方程2、系统的零输入响应4、系统的零状态响应3、系统的单位冲激响应5、系统的全响应第二章LTI连续系统的时域分析LTI的全响应可作如下分解：1、y(t)=自由响应+强制响应；2、y(t)=瞬态响应+稳态响应；3、y(t)=零输入响应yx(t)+零状态响应yf(t)§2–2LTI连续系统的零输入响应一、系统初始条件y(0-)=yx(0-)+yf(0-)式(1)y(0+)=yx(0+)+yf(0+)式(2)

对于因果系统：

yf(0-)=0对于时不变系统：

yx(0+)=yx(0-)y(0-)=yx(0-)=yx(0+)；y(0+)=y(0-)+yf(0+)y(j)(0-)=y(j)x(0-)=y(j)x(0+)；

y(j)(0+)=y(j)(0-)+y(j)

f(0+)§2–2LTI连续系统的零输入响应同理，可推得y(t)的各阶导数满足因此，式(1)和(2)可改写为二、通过系统微分算子方程求零输入响应要使上式成立，需满足D(p)=0（特征方程）

§2–2LTI连续系统的零输入响应此微分方程的解将yx(0-)、yx‘(0-)、…、yx(n-1)(0-)代入上式，确定常数A1、A2、…、An。

共轭复根时需根据欧拉公式化简为三角实函数

二、通过系统微分算子方程求零输入响应§2–2LTI连续系统的零输入响应1．特征根为n个单根p1,p2,…,pn(可为实根、虚根或复根)

2．特征根含有重根

设特征根p1为r重根，其余特征根为单根，则yx(t)的通解表达式为：确定常数的方法同前。二、通过系统微分算子方程求零输入响应§2–2LTI连续系统的零输入响应3．求解零输入响应yx(t)的基本步骤：

(1)通过微分算子方程得D(p)求系统的特征根;

(2)写出yx(t)的通解表达式;(3)由系统的0-状态值与0-瞬时的零输入系统求得初始条件yx(j)(0-),j=0,1,2,…,n-1。(5)写出所得的解yx(t)，画出yx(t)的波形。

二、通过系统微分算子方程求零输入响应§2–2LTI连续系统的零输入响应(4)将0-初始条件代入的通解yx(t)表达式，求得积分常数A1,A2,…,An。二、通过系统微分算子方程求零输入响应§2–2LTI连续系统的零输入响应§2–2LTI连续系统的零输入响应求零输入响应初始条件例（书）

电路如图(a)所示，已知uC(0-)=1V，iL(0-)=-1A，求t>0时的零输入响应uCx(t)。解

(1)画出算子模型电路,由节点法可列出方程为:二、通过系统微分算子方程求零输入响应§2–2LTI连续系统的零输入响应化简可得:解得特征根:p1=-2，p2=-3(2)0-瞬时的等效电路

二、通过系统微分算子方程求零输入响应§2–2