高中数学高考2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）理数试题精编版（解析版）

一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013福建,理1)已知复数z的共轭复数＝1＋2i(i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.(2013福建,理2)已知集合A＝{1,a},B＝{1,2,3},则“a＝3”是“AB”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若a＝3,则A＝{1,3}B,故a＝3是AB的充分条件；而若AB,则a不一定为3,当a＝2时,也有AB．故a＝3不是AB的必要条件．故选A．【名师点睛】本题是集合与充分条件与必要条件的简单交汇题,注意集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.3.(2013福建,理3)双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()．A．B．C．D．【答案】C【解析】双曲线－y2＝1的顶点为(±2,0),渐近线方程为,即x－2y＝0和x＋2y＝0.故其顶点到渐近线的距离.【名师点睛】双曲线也是高考的高频考点,一般以客观题形式出现,难度不大,常考的内容有：方程、离心率、渐近线等,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.4.(2013福建,理4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()．A．588B．480C．450D．120【答案】B5.(2013福建,理5)满足a,b∈{－1,0,1,2},且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()．A．14B．13C．12D．10【答案】B【解析】a＝0时,方程变为2x＋b＝0,则b为－1,0,1,2都有解；a≠0时,若方程ax2＋2x＋b＝0有实数解,则Δ＝22－4ab≥0,即ab≤1.当a＝－1时,b可取－1,0,1,2.当a＝1时,b可取－1,0,1.当a＝2时,b可取－1,0,故满足条件的有序对(a,b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.【名师点睛】本题在知识点交汇处设计试题,有一定的综合性,涉及到的知识点主要有方程有实根问题、加法原理及分类讨论思想,其中分类最容易出现错误,故提醒学生在分类讨论时要注意注意分类讨论的三个原则：互斥、无漏、最简.6.(2013福建,理6)阅读如图所示的程序框图,若输入的k＝10,则该算法的功能是()．A．计算数列{2n－1}的前10项和B．计算数列{2n－1}的前9项和C．计算数列{2n－1}的前10项和D．计算数列{2n－1}的前9项和【答案】A7.(2013福建,理7)在四边形ABCD中,＝(1,2),＝(－4,2),则该四边形的面积为()．A．B．C．5D．10【答案】C【解析】∵·＝1×(－4)＋2×2＝0,∴⊥.又||＝,||＝,S四边形ABCD＝||||＝5.【名师点睛】高考试题中向量大多以客观题形式出现,可以是容易题,也可以是考查能力的难题,本题是基础题主要考查向量的坐标运算及简单的计算问题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若,则.8.(2013福建,理8)设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()．A．∀x∈R,f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点9.(2013福建,理9)已知等比数列{an}的公比为q,记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m,cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m,n∈N*),则以下结论一定正确的是()．A．数列{bn}为等差数列,公差为qmB．数列{bn}为等比数列,公比为q2C．数列{cn}为等比数列,公比为qm2D．数列{cn}为等比数列,公比为qmm【答案】C【解析】∵{an}是等比数列,∴＝qmn＋m－m(n－1)－m＝qm,∴＝＝(qm)m＝qm2.【名师点睛】本题主要考查等比数列及其性质的应用以及学生分析问题解决问题的能力,试题活而不难,注意高考试卷中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意数列相关性质的灵活应用,尽量避免小题大做.10.(2013福建,理10)设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x1,x2∈S,当x1＜x2时,恒有f(x1)＜f(x2),那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是()．A．A＝N*,B＝NB．A＝{x|－1≤x≤3},B＝{x|x＝－8或0＜x≤10}C．A＝{x|0＜x＜1},B＝RD．A＝Z,B＝Q二、填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.11.(2013福建,理11)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a,则事件“3a－1＞0”发生的概率为________【答案】【解析】由3a－1＞0得,由几何概型知.【名师点睛】本题主要考查均匀随机数及几何概型的计算问题,属容易题,几何概型试题多以客观题形式出现,难度不大.求与长度有关的几何概型的概率计算方法是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度,然后求解.12.(2013福建,理12)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是________．13.(2013福建,理13)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC＝,AB＝,AD＝3,则BD的长为________．【答案】【解析】∵AD⊥AC,∴∠DAC＝.∵sin∠BAC＝,∴,∴cos∠BAD＝.由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝＋32－2××3×＝3.∴BD＝.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题及运算能力,解决这类问题一般要用到三角形内角和定理,诱导公式,正弦定理及余弦定理.若已知两角和一边求角，或已知两边与一边所对角，求另一边所对角,常用正弦定理,若已知两边和夹角,求第三边,常用余弦定理.14.(2013福建,理14)椭圆Γ：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2C．若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________15.(2013福建,理15)当x∈R,|x|＜1时,有如下表达式：1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝.两边同时积分得：,从而得到如下等式：.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算：________.【答案】【解析】由＝(1＋x)n,两边同时积分得：,＝.【名师点睛】本题考查归纳类比及定积分的计算问题,难度较大.注意在进行类比推理时,要充分考虑已知对象的推理过程,然后通过类比,推导出类比对象的性质.归纳推理的关键是找规律,类比推理的关键是看共性.三、解答题：本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(2013福建,理16)(本小题满分13分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问：他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大？17.(2013福建,理17)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时,求曲线y＝f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；(1)求函数f(x)的极值．【答案】(1)x＋y－2＝0;(2)参考解析【解析】函数f(x)的定义域为(0,＋∞),f′(x)＝1－.(1)当a＝2时,f(x)＝x－2lnx,f′(x)＝1－(x＞0),因而f(1)＝1,f′(1)＝－1,18.(2013福建,理18)(本小题满分13分)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10)．分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9.连结OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N*,1≤i≤9)．(1)求证：点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程；(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若△OCM与△OCN的面积比为4∶1,求直线l的方程．【答案】(1)x2＝10y;(2)3x－2y＋20＝0或3x＋2y－20＝0【解析】解法一：(1)依题意,过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x＝i,Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为y＝x.(2)同解法一．【名师点睛】本题第一问实质是求轨迹方程问题,可先表示出两直线的方程,再消去参数,即可得到抛物线E的方程,第二问是直线与圆锥曲线问题,要注意根与系数的关系在解题中的应用,另外,这类问题一般运算量比较大,要注意运算的准确性.19.(2013福建,理19)(本小题满分13分)如图,在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB∥DC,AA1＝1,AB＝3k,AD＝4k,BC＝5k,DC＝6k(k＞0)．(1)求证：CD⊥平面ADD1A1(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为,求k的值；(3)现将与四棱柱ABCD－A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱．规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为f(k),写出f(k)的解析式．(直接写出答案,不必说明理由)20.(2013福建,理20)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的周期为π,图象的一个对称中心为.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象．(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；(2)是否存在x0∈,使得f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列？若存在,请确定x0的个数；若不存在,说明理由；(3)求实数a与正整数n,使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0,nπ)内恰有2013个零点．【答案】(1)f(x)＝cos2x,g(x)＝sinx;(2)存在;(3)参考解析解法二：(1)、(2)同解法一．(3)依题意,F(x)＝asinx＋cos2x＝－2sin2x＋asinx＋1.现研究函数F(x)在(0,2π]上的零点的情况．设t＝sinx,p(t)＝－2t2＋at＋1(－1≤t≤1),则函数p(t)的图象是开口向下的抛物线,又p(0)＝1＞0,p(－1)＝－a－1,p(1)＝a－1.当a＞1时,函数p(t)有一个零点t1∈(－1,0)(另一个零点t2＞1,舍去),F(x)在(0,2π]上有两个零点x1,x2,且x1,x2∈(π,2π)；当a＜－1时,函数p(t)有一个零点t1∈(0,1)(另一个零点t2＜－1,舍去),F(x)在(0,2π]上有两个零点x1,x2,且x1,x2∈(0,π)；21.(2013福建,理21)本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分．如果多做,则按所做的前两题计分．作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中．(1)选修4—2：矩阵与变换已知直线l：ax＋y＝1在矩阵对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1.①求实数a,b的值；②若点P(x0,y0)在直线l上,且,求点P的坐标．【答案】①②(1,0)【解析】①设直线l：ax＋y＝1上任意点M(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M′(x′,y′)．由,得又点M′(x′,y′)在l′上,所以x′＋by′＝1,即x＋(b＋2)y＝1,依题意得解得②由,得解得y0＝0.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0＝1.故点P的坐标为(1,0)．【名师点睛】本题将直线的变换与矩阵知识结合在一起考查,同时考查学生的计算问题,试题是常规题型,难度不大.