留数在定积分计算中的应用

关于留数在定积分计算中的应用第一页，共三十页，2022年，8月28日一、形如的积分思想方法

:封闭路线的积分（围道积分法）

.把定积分化为一个复变函数沿某条两个重要工作:1)积分区域的转化2)被积函数的转化第二页，共三十页，2022年，8月28日当历经时,绕行一周.z沿正向单位圆周从而积分化为沿正向单位圆周的积分：第三页，共三十页，2022年，8月28日z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.包围在单位圆周内的诸孤立奇点.第四页，共三十页，2022年，8月28日例1解故积分有意义.第五页，共三十页，2022年，8月28日第六页，共三十页，2022年，8月28日第七页，共三十页，2022年，8月28日因此第八页，共三十页，2022年，8月28日例2计算解令第九页，共三十页，2022年，8月28日极点为:(在单位圆内)(在单位圆外)第十页，共三十页，2022年，8月28日二、形如的积分若有理函数R(x)的分母至少比分子高两次,并且分母在实轴上无孤立奇点.一般设分析可先讨论最后令即可.第十一页，共三十页，2022年，8月28日2.

积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线,使与区间一起构成一条封闭曲线,并使R(z)在其内部除有限孤立奇点外处处解析.(此法常称为“围道积分法”)1.

被积函数的转化:(当z在实轴上的区间内变动时,R(z)=R(x))可取

f(z)=R(z).第十二页，共三十页，2022年，8月28日O这里可补线(以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周)与一起构成封闭曲线C,R(z)在C及其内部(除去有限孤立奇点）处处解析.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点都包在这积分路线内.根据留数定理得:z1z2z3-RRxznyCR第十三页，共三十页，2022年，8月28日即从而第十四页，共三十页，2022年，8月28日例3计算积分解

在上半平面有二级极点一级极点第十五页，共三十页，2022年，8月28日第十六页，共三十页，2022年，8月28日例4计算积分解

在上半平面有两个单极点：第十七页，共三十页，2022年，8月28日三、形如的积分积分存在要求:R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,并且R(x)在实轴上无孤立奇点.z1z2z3zn-RROxyCR同前一类型:

补线与曲线C,使R(z)所有的在上半都包在这积分路线内.一起构成封闭平面内的极点第十八页，共三十页，2022年，8月28日由留数定理:就可以求出积分第十九页，共三十页，2022年，8月28日则约当引理：证第二十页，共三十页，2022年，8月28日得由约当不等式（如右图）第二十一页，共三十页，2022年，8月28日从而根据约当引理及以上的讨论得：第二十二页，共三十页，2022年，8月28日将实虚部分开，可得积分第二十三页，共三十页，2022年，8月28日例5计算积分解

在上半平面只有二级极点又第二十四页，共三十页，2022年，8月28日注意以上两型积分中被积函数中的R(z)在实轴上无孤立奇点.第二十五页，共三十页，2022年，8月28日例6计算积分解

因函数在实轴上有一级极点若被积函数中的R(z)在实轴上有孤立奇点，则第二十六页，共三十页，2022年，8月28日第二十七页，共三十页，2022年，8月28日小结与思考

本课应用“围道积分法”计算了三类实积分,熟练掌握应用留数计