【高考数学专题】专题05 函数的周期性和对称性-解题模板B-高中数学解题模板

函数的周期性和对称性-解题模板B解题方法模板四：数列的周期性专题使用情景：数列是特殊的函数，若所给数列的递推关系不易求得通项公式，但是通过计算数列的前若干项可确定数列为周期数列解题模板：第一步利用所给的递推关系式计算数列的前面若干项第二步结合计算的结果确定数列的周期现象第三步结合周期现象解决所给的问题例4数列{an}中，，那么______.【答案】17【解析】解题模板选择：本题中所给的数列不易求得通项公式，故选取解题方法模板四数列的周期性进行解答.解题模板应用：第一步利用所给的递推关系式计算数列的前面若干项由题意结合递推关系可得：，，，第二步结合计算的结果确定数列的周期现象故数列是周期为9的数列，第三步结合周期现象解决所给问题由于，故.故答案为：17.【典型例题】1.若数列满足：存在正整数T，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为T．已知数列满足，则下列结论错误的是A.若，则可以取3个不同的数；B.若，则数列是周期为3的数列；C.存在，且，数列是周期数列；D.对任意且，存在，使得是周期为的数列．【答案】C【解析】【详解】试题分析：A:当时，由得时，由得；时，得；正确.B:所以，正确．C：命题较难证明，先考察命题D．D：命题的否定为“对任意的，且，不存在，使得是周期为的数列”，而由B显然这个命题是错误的，因此D正确，从而只有C是错误．考点：命题的真假判断与应用．【名师点睛】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．此题首先要理解新定义“周期为T的数列”，然后对A、B、C、D四个命题一一验证，A、B两个命题按照数列的递推公式进行计算即可，命题C较难证明，但出现在选择题中，考虑到数学选择题中必有一个选项正确，因此我们先研究D命题，并且在命题D本身也很难的情况下，采取“正难则反”的方法，考虑命题D的否定，命题D的否定由命题B很容易得出是错误的，从而命题D是正确的．2.在数列中，若存在非零整数，使得对于任意的正整数均成立，那么称数列为周期数列，其中叫做数列的周期，若数列满足，如（），当数列的周期最小时，该数列的前2016项的和是A.672 B.673 C.1342 D.1344【答案】D【解析】【详解】试题分析:当时,由题设可得,所以（舍去）或,所以,所以,所以数列的前项的和是,没有答案．当时,由题设可得,所以,而,且当时,,即;当时,,即（不成立,应舍去）．所以数列的前2016项和的值为,应选D．考点：周期数列的性质与求和．【易错点晴】本题以数列的有关知识为背景,考查的是归纳猜想的合情推理等知识的综合运用所学知识的综合问题．求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用题设观察出这些数的特征和规律,然后再计算出,而,进而利用数列的周期性求出数列的前项和的值为．3.已知周期数列满足．若，，则当该数列的周期最小时，数列的前2002项的和是（）．A.2002 B.1335 C.1949 D.1428【答案】B【解析】【详解】设数列的周期为．，．若．则．得或2．由得．与或2矛盾．故．时，由得或．由得．故或1．此时，数列分别为1，0，1，1，0，1，…，或1，1，0，1，1，0，…．故．选B.4.若存在正整数T，对于任意正整数n都有成立，则称数列为周期数列，周期为T，已知数列满足：，，关于下列命题：①当时，；②若，则数列是周期为3的数列；③若，则m可以取3个不同的值；④且，使得数列的周期为6；其中真命题的个数是A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【详解】试题分析：对于①，当时，易求得：，故①为真；对于②，当时，可求得：，，∴数列是周期为3的数列，故②为真；对于③，由题意得或，∵，∴或，又或，且，∴或或，故③为真；对于④，当或5时，显然数列不是周期数列，当时，要使得数列的周期为6，必有，即，此时，故④为假命题，应选C．考点：数列新定义【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列“周期”性，可以从函数角度进行研究，本题着重从分段函数对应关系，求函数值，以算验证和推导数列周期．数列的周期性是数列的函数性质之一，其解法往往是依题意列出数列的前若干项，从而发现规律找到周期．对于数列新定义问题要做到以下两点1．准确转化:解决数列新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,将题目所给定义转化成题目要求的形式,切忌同已有概念或定义相混淆．2．方法选取:对于数列新定义问题,搞清定义是关键,仔细认真地从前几项（特殊处、简单处）体会题意,从而找到恰当的解决方法．5.在数列中，如果存在非零的常数，使得对于任意正整数均成立，那么就称数列为周期数列，其中叫做数列的周期.已知数列满足，若，当数列的周期为时，则数列的前项的和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】因为数列的周期为,则可知,结合及周期性即可求得的值.【详解】由题意可知,数列的周期为且满足当时,,则所以而则所以选D【点睛】本题考查了数列的周期性与求和,发现为定值是解决此问题的关键,属于基础题.解题方法模板五：函数自身的对称性使用情景：单一的函数本身具有轴对称或中心对称的特征解题模板：第一步由所给的函数性质确定函数的对称性常见函数的对称性包括：定理1函数y=f(.x)的图像关于点A(a，b)对称的充要条件是f(.x)+f(2a-x)=2b.推论1：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0.定理2函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x)，即f(x)=f(2a-x).推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(-x).第二步结合函数的对称性确定结论例5定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5-x)=f(5+x)，则f(x)一定是（）A.是偶函数，也是周期函数B.是偶函数，但不是周期函数C.是奇函数，也是周期函数D.是奇函数，但不是周期函数【答案】A【解析】解题模板选择：本题中所给的函数可以根据函数的特征确定其对称性和周期性，故选取解题方法模板五函数自身的对称性进行解答.解题模板应用：第一步由所给的函数性质确定函数的对称性f(10+x)为偶函数，则f(10+x)=f(10-x).故函数f(x)有两条对称轴x=5与x=10.第二步结合函数的对称性确定结论因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，故x=0，即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数.故选A.【典型例题】6.对于函数，给出如下四个结论：其中正确的结论有______个.（1）这个函数的值域为；（2）这个函数在区间上单调递减；（3）这个函数图象具有中心对称性；（4）这个函数至少存在两个零点.【答案】4【解析】【分析】首先根据题意得到，，即可判断（1）正确，根据得到函数关于点中心对称，故（3）正确.根据，，和，，得到（4）正确，再根据时，，当时，，且函数又有零点，即可判断（1）正确.【详解】，定义域：且且.当，，所以在单调递减，故（2）正确.因为，，所以关于点中心对称，故（3）正确.，，所以函数在上有零点，同理，，函数在上有零点，故（4）正确.当时，，当时，，且函数又有零点，所以函数的值域为，故（1）正确.故答案为：【点睛】本题主要考查函数的对称性，零点和值域，同时考查了利用导数研究函数的单调性，属于较难题.7.函数图象的对称中心为_____【答案】【解析】【分析】设对称中心的坐标为，利用对任意均成立可求出，.【详解】由题意设对称中心的坐标为，则有对任意均成立，代入函数解析式得，整理得到：，整理得到对任意均成立，所以，所以，.，即对称中心．故答案为．【点睛】若，则的图像关于直线对称；若，则的图像关于点对称．8.对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”根据此发现，若函数，计算__________.【答案】2019【解析】【分析】求导得到，然后可得，并得到对称中心，根据，计算得到答案.【详解】由题可知：，则，所以令，则，又，故的对称中心为，故，令所以所以，则故答案为：.【点睛】本题考查了求函数的导数，新定义问题，利用函数的对称性求值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，属基础题.9.若函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则的值为_______．【答案】【解析】【分析】推导出，可得出函数的图象关于点对称，【详解】因为，所以，所以，.故答案为：.【点睛】本题考查函数对称性的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10.已知函数，则________.【答案】【解析】【分析】因为，故，，即可求得答案.【详解】，故，，，.故答案为：.【点睛】本题考查了已知函数解析式求函数值，解题关键是求出是定值，考查了分析能力和计算能力.属于中档题.解题方法模板六：不同函数的对称性使用情景：解析式有关系的两个函数具有轴对称或中心对称的特征解题模板：第一步由所给的函数性质确定函数的对称性常见函数的对称性包括：（1）函数y=f(x)与函数2b-y=f(2a-x)关于点(a，b)对称，等价于函数y=f(x)与函数y=g(x)关于点(a，b)对称，则g(x)=2b-f(2a-x)，结构特征是：横坐标之和为2a，纵坐标之和为2b.特别地，函数y=f(x)与函数-y=f(-x)关于点(0，0)对称.（2）函数y=f(x)与函数y=f(2a-x)关于直线x=a对称，结构特征是：横坐标之和为2a，纵坐标相等.特别地，函数y=f(x)与函数y=f(-x)关于直线x=0，即y轴对称.（3）函数y=f(x)与函数2b-y=f(x)关于直线y=b对称，结构特征是：横坐标相等，纵坐标之和为2b.特别地，函数y=f(x)与函数-y=f(x)关于直线y=0，即x轴对称.（4）函数y=f(x)与函数x=f(y)关于直线y=x对称，结构特征是：横坐标，纵坐标互换.（5）函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图像关于直线对称.（6）函数y=f(x)与a-x=f(a-y)的图像关于直线x+y=a成轴对称（7）函数y=f(x)与x-a=f(y+a)的图像关于直线x-y=a成轴对称第二步结合函数的对称性确定结论例6设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解题模板选择：本题中所给的两个函数明显具有轴对称性，故选取解题方法模板六不同函数的对称性进行解答.解题模板应用：第一步由所给的函数性质确定函数的对称性注意到函数与函数互为反函数，其图像关于y=x对称，第二步结合函数的对称性确定结论所以|PQ|的最小值即为函数上的点到直线y=x的距离的最小值的两倍.而函数上的点到直线y=x的距离为，设函数，则，据此可得，故由图像关于y=x对称，得|PQ|最小值为.故选：B.【典型例题】11.已知是定义域为的偶函数，对，有，且当时，，函数.现给出以下命题：①是周期函数；②的图象关于直线对称；③当时，在内有一个零点；④当时，在上至少有六个零.其中正确命题的序号为________.【答案】①②④【解析】【分析】①根据，有，利用周期函数的定义判断；②根据是定义域为的偶函数，有，再结合判断；③令，即，在同一坐标系中作出，用数形结合法判断；④在同一坐标系中作出，用数形结合法判断.【详解】①因为对，有，所以是周期函数，故正确；②因为是定义域为的偶函数，所以，又因为对，有，所以，即，所以的图象关于直线对称，故正确；③当时，令，即，在同一坐标系中作出的图象如图所示：所以在内无零点，故错误；④当时，令，在同一坐标系中作出，的图象如下图所示：，而，当时，与至少有三个交点，与为偶函数，与至少有六个交点，所以在上至少有六个零点，故正确.所以正确命题的序号为①②④故答案为：①②④【点睛】本题主要考查函数奇偶性、周期性的应用，函数的零点，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12.已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，，…，，则______．【答案】18【解析】【分析】由题意得函数f（x）与g（x）的图像都关于点对称，结合函数的对称性进行求解即可．【详解】函数为奇函数，函数关于点对称，，函数关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，与图像的交点为，，…，,两两关于点对称，.故答案为18【点睛】本题考查了函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档题.13.已知函数为奇函数，函数.若函数与函数的图象的交点坐标为，，…，，则_____.【答案】4040【解析】【分析】由题意结合函数图象的平移可知函数的对称中心为，由三角恒等变换得，可知点也为函数的对称中心；再由中心对称的性质即可得解.【详解】函数为奇函数，函数的对称中心为，函数的对称中心为，又，点也为函数的对称中心，函数与函数的图象的交点两两关于点成中心对称，.故答案为：4040.【点睛】本题考查了函数图象平移的应用及对称性的应用，考查了三角恒等变换与三角函数性质的应用，属于中档题.14.函数y＝的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________．【答案】8【解析】【分析】在同一坐标系内画出两函数的图象，观察图象的特点，根据图象中心对称的特点可求得交点横坐标的和．【详解】在同一坐标系内画出两函数的图象，如下图所示，由图象可得，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，在[－2,4]上共8个公共点，且每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.故选D．【点睛】本题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题，解题的关键是画出图象、然后根据图象的对称性得到交点的横坐标的和．15.若函数与像的交点为，，，则____________.【答案】2【解析】【分析】利用复合函数的单调性得出的单调性，再结合两函数的对称性确定交点个数与性质后可得结论．【详解】由是增函数，在是单调递增，在单调递增得在上是增函数，又，所以的图象关于直线对称，易知也是的对称轴，在上是减函数，而，，因此与的图象在上有一个交点，时，，时，，，与的图象在上无交点，所以在上它们只有一个交点，根据对称性在上也只有一个交点，且这两个交点关于直线对称．所以．故答案为：2．【点睛】本题考查两函数图象交点问题，解题方法是研究函数的性质：单调性，对称性，确定交点个数及性质．解题方法模板七：