2022-2023学年甘肃省酒泉市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2022-2023学年甘肃省酒泉市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(50题)1.

2.

3.

4.（）。A.

B.

C.

D.

5.

6.

7.在下列函数中，在指定区间为有界的是()。

A.f(x)=22z∈(一∞，0)

B.f(x)=lnxz∈(0，1)

C.

D.f(x)=x2x∈(0，+∞)

8.当x→0时，与x等价的无穷小量是（）

A.

B.ln(1+x)

C.

D.x2(x+1)

9.设等于()A.A.-1B.1C.-cos1D.1-cos1

10.

11.设函数f(x)在[0，b]连续，在(a，b)可导，f′(x)>0．若f(a)·f(b)<0，则y=f(x)在(a，b)()．

A.不存在零点

B.存在唯一零点

C.存在极大值点

D.存在极小值点

12.极限等于()．A.A.e1/2B.eC.e2D.1

13.

14.

15.

16.

17.微分方程y"+y'=0的通解为

A.y=Ce-x

B.y=e-x+C

C.y=C1e-x+C2

D.y=e-x

18.

19.A.

B.

C.e-x

D.

20.A.A.x2+cosy

B.x2-cosy

C.x2+cosy+1

D.x2-cosy+1

21.当x→0时，3x2+2x3是3x2的()。A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小但不是等价无穷小D.等价无穷小

22.

23.

24.函数f(x)=2x3-9x2+12x-3单调减少的区间为A.(-∞，1]B.[1，2]C.[2，+∞)D.[1，+∞)

25.

26.设函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，则方程f(x)=0有（）。A.一个实根B.两个实根C.三个实根D.无实根

27.

28.（）。A.0

B.1

C.2

D.＋∞

29.交换二次积分次序等于()．A.A.

B.

C.

D.

30.f(x)是可积的偶函数，则是()。A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶D.可奇可偶31.（）。A.为无穷小B.为无穷大C.不存在，也不是无穷大D.为不定型32.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x，则k等于()。A.2B.1C.-1D.-2

33.函数y=ex+arctanx在区间[-1，1]上（）

A.单调减少B.单调增加C.无最大值D.无最小值

34.设f(x)的一个原函数为x2，则f'(x)等于()．

A.

B.x2

C.2x

D.2

35.曲线y=x2+5x+4在点(-1，0)处切线的斜率为（）A.A.2B.-2C.3D.-3

36.

A.1

B.

C.0

D.

37.

38.设Y=x2-2x+a，贝0点x=1()。A.为y的极大值点B.为y的极小值点C.不为y的极值点D.是否为y的极值点与a有关

39.当x→0时，x是ln(1+x2)的

A.高阶无穷小B.同阶但不等价无穷小C.等价无穷小D.低阶无穷小

40.

41.

42.

A.1

B.2

C.x2+y2

D.TL

43.A.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.无关条件

44.

45.设函数f(x)在区间[0，1]上可导，且f(x)＞0，则()

A.f(1)＞f(0)B.f(1)＜f(0)C.f(1)=f(0)D.f(1)与f(0)的值不能比较

46.A.

B.

C.－cotx＋C

D.cotx＋C

47.微分方程y'=1的通解为A.y=xB.y=CxC.y=C-xD.y=C+x48.设函数在x=0处连续，则等于()。A.2B.1/2C.1D.-249.

50.

二、填空题(20题)51.函数f(x)=2x2-x+1，在区间[-1，2]上满足拉格朗日中值定理的ξ=_________。

52.

=_________．53.

54.55.

56.

57.

58.

59.设y=1nx，则y'=__________．

60.

61.

62.

63.过坐标原点且与平面2x-y+z+1=0平行的平面方程为______.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

三、计算题(20题)71.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

72.

73.74.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．75.

76.

77.证明：78.79.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．80.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

81.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

82.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

83.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

84.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．85.86.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则87.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．88.

89.求微分方程的通解．90.求曲线在点(1，3)处的切线方程．四、解答题(10题)91.92.93.设z=z(x，y)由x2+y3+2z=1确定，求

94.

95.

96.设x2为f(x)的原函数．求．

97.

98.

99.

100.五、高等数学(0题)101.求六、解答题(0题)102.设y=x2ex，求y'。

参考答案

1.C

2.D解析：

3.C

4.D

5.A

6.D

7.A∵0<2x<1x∈(一∞，0)∴f(x)=2x在区间(一∞，0)内为有界函数。

8.B?

9.B本题考查的知识点为可变上限的积分．

由于，从而知

可知应选B．

10.D解析：

11.B由于f(x)在[a，b]上连续f(z)·fb)<0，由闭区间上连续函数的零点定理可知，y=f(x)在(a，b)内至少存在一个零点．又由于f(x)>0，可知f(x)在(a，b)内单调增加，因此f(x)在(a，b)内如果有零点，则至多存在一个．

综合上述f(x)在(a，b)内存在唯一零点，故选B．

12.C本题考查的知识点为重要极限公式．

由于，可知应选C．

13.C

14.B解析：

15.A

16.A

17.C解析：y"+y'=0，特征方程为r2+r=0，特征根为r1=0，r2=-1；方程的通解为y=C1e-x+C1，可知选C。

18.C

19.A

20.A

21.D本题考查的知识点为无穷小阶的比较。

由于，可知点x→0时3x2+2x3与3x2为等价无穷小，故应选D。

22.D

23.D

24.Bf(x)=2x3-9x2+12x-3的定义域为(-∞，+∞)

f'(x)=6x2-18x+12=6(x23x+2)=6(x-1)(x-2)。

令f'(x)=0得驻点x1=1，x2=2。

当x＜1时，f'(x)＞0，f(x)单调增加。

当1＜x＜2时，f'(x)＜0，f(x)单调减少。

当x＞2时，f'(x)＞0，f(x)单调增加。因此知应选B。

25.C

26.B

27.B

28.B

29.B本题考查的知识点为交换二次积分次序．

由所给二次积分可知积分区域D可以表示为

1≤y≤2，y≤x≤2，

交换积分次序后，D可以表示为

1≤x≤2，1≤y≤x，

故应选B．

30.Bf(x)是可积的偶函数；设令t=-u,是奇函数。

31.D

32.D本题考查的知识点为可变限积分求导。由原函数的定义可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

33.B因处处成立，于是函数在（-∞，+∞)内都是单调增加的，故在[-1，1]上单调增加.

34.D解析：本题考查的知识点为原函数的概念．

由于x2为f(x)的原函数，因此

f(x)=(x2)'=2x，

因此

f'(x)=2．

可知应选D．

35.C点(-1，0)在曲线y=x2+5x+4上．y=x2+5x+4，y'=2x+5，由导数的几何意义可知，曲线y=x2+5x+4在点(-1,0)处切线的斜率为3，所以选C．

36.B

37.C

38.B本题考查的知识点为一元函数的极值。求解的一般步骤为：先求出函数的一阶导数，令偏导数等于零，确定函数的驻点．再依极值的充分条件来判定所求驻点是否为极值点。由于y=x2-2x+a，可由y'=2x-2=0，解得y有唯一驻点x=1．又由于y"=2，可得知y"|x=1=2＞0。由极值的充分条件可知x=1为y的极小值点，故应选B。如果利用配方法，可得y=(x-1)2+a-1≥a-1，且y|x=1=a-1，由极值的定义可知x=1为y的极小值点，因此选B。

39.D解析：

40.C解析：

41.B解析：

42.A

43.D

44.C

45.A由f"(x)＞0说明f(x)在[0，1]上是增函数，因为1＞0，所以f(1)＞f(0)。故选A。

46.C本题考查的知识点为不定积分基本公式．

47.D

48.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。由于f(x)在点x=0连续，因此，故a=1，应选C。

49.D

50.C解析：

51.1/2

52.。

53.

本题考查的知识点为定积分的换元法．

解法1

解法2

令t＝1＋x2，则dt＝2xdx．

当x＝1时，t＝2；当x＝2时，t＝5．

这里的错误在于进行定积分变量替换，积分区间没做变化．

54.R55.(－1，1)。

本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间。

所给级数为不缺项情形。

(－1，1)。注《纲》中指出，收敛区间为(－R，R)，不包括端点。本题一些考生填1，这是误将收敛区间看作收敛半径，多数是由于考试时过于紧张而导致的错误。

56.

57.

58.11解析：

59.

60.

61.

62.

解析：63.已知平面的法线向量n1=(2，-1，1)，所求平面与已知平面平行，可设所求平面方程为2x-y+z+D=0，将x=0，y=0，z=0代入上式，可得D=0，因此所求平面方程为2x-y+z=0．

64.(-∞2)

65.

66.(-∞．2)

67.

68.

69.本题考查的知识点为定积分的换元法．

70.(-∞0]

71.

72.

73.

74.

列表：

说明

75.由一阶线性微分方程通解公式有

76.

77.

78.

79.由二重积分物理意义知

80.

81.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

82.函数的定义域为

注意

83.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

84.

85.86.由等价无穷小量的定义可知

87.

88.

则

89.90.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

91.解法1原式(两次利用洛必达法则)解法2原式(利用等价无穷小代换)本题考查的知识点为用洛必达法则求极限．

由于问题为“∞-∞”型极限问题，应先将求极限的函数通分，使所求极限化为“”型问题．

如果将上式右端直接利用洛必达法则求之，则运算复杂．注意到使用洛必达法则求极限时，如果能与等价无穷小代换相结合，则问题常能得到简化，由于当x→0时，sinx～x，因此

从而能简化运算．

本题考生中常见的错误为：由于当x→0时，sinx～x，因此

将等价无穷小代换在加减法运算中使用，这是不允许的．

92.

93.本题考查的知识点为求二元隐函数的偏导数．

若z=z(x，y)由方程F(x，y，z)=0确定，求z对x，y的偏导数通常有两种方法：

一是利用偏导数公式，当需注意F'x，F'yF'z分别表示F(x，y，z)对x，y，z的偏导数．上面式F(z，y，z)中将z，y，z三者同等对待，各看做是独立变元．

二是将F(x，y，z)=