高三数学寒假课程第10讲-数列的通项与求和

第六讲数列的通项与求和【知识回顾】一、数列通项数列通项公式的求法：（1）观察分析法；（2）公式法：；（3）转化成等差、等比数列；（4）累加、累乘法；（5）递推法.二、数列的求和基本公式法：等差数列求和公式：等比数列求和公式： ；；.错位相消法：给各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前项和.一般适应于数列的前项求和，其中成等差数列，成等比数列.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：若是公差为的等差数列，则；；；；；；；.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的.【考点剖析】考点一数列的通项公式与递推公式例1、根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式．（1）－，，－，，…；（2）1，2，6，13，23，36，…；选题意图：本题考查观察法求通项公式解析：（1）（2）例2、.选题意图：本题考查累加法求通项解析：.变式训练1：已知数列满足，，求.解析：由条件知：所以，，.例3、选题意图：本题考查累乘法求数列的通项解析：由条件知，代入上式得又，.变式训练2：已知数列满足，，则的通项解析：由已知，得，用此式减已知式，得当时，，即，又，，将以上个式子相乘，得，经验证时不符合这个式子.点评：累乘问题，同时也是非常经典的需要验证首项的数列题.例4、已知数列中，，，求.选题意图：本题考查一阶递推式求数列通项解析：设递推公式可以转化为即.故递推公式为，又，所以是以为首项，2为公比的等比数列，则，所以.变式训练3：解析：是以为首项，以为公比的等比数列.例5、已知数列{an}中，a1=1，Sn=，求{an}的通项公式．选题意图：本题考查由求通项答案解析：由，∴是以1为首项，公差为2的等差数列．∴=1+2（n－1）=2n－1，即Sn=．∴an=Sn－Sn－1==∴an=变式训练：已知正数数列{an}的前n项和Sn=，求{an}的通项公式．答案解析：S1=a1=，所以a1=1．∵an=Sn－Sn－1∴2Sn=Sn－Sn－1+∴Sn+Sn－1=，即Sn2－Sn－12=1∴是以1为首项，公差为1的等差数列．∴Sn2=n，即Sn=∴an=Sn－Sn－1=－（n≥2），又n=1时也适合上式，∴an=－．考点二数列的求和例6、求和选题意图：本题考查分组求和法解析：由可知变式训练：求数列的前n项和Sn.例7、求和选题意图：本题考查裂项相消法求和解析：变式训练：求和：解析：设数列的通项为an，则，变式训练：求数列的前n项和.解析：设（裂项）则（裂项求和）＝＝例8、求和选题意图：本题考查错位相减法求和.解析：当时，；当时，，则（1）式-（2）式，得，故例9、求和选题意图：本题考查倒序相加法求和解析：根据组合数性质，将倒序写为，两式相加，得，考点三数列的应用例10、一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列{ak}（k＝1，2，3，…，n）．试求：（1）a1，a2，a3；（2）邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋多少个？选题意图：本题考查学生的分析问题，建立数学模型的能力难度分级：B解析：（1）由题意得a1＝n－1，a2＝（n－1）＋（n－2）－1＝2n－4，a3＝（n－1）＋（n－2）＋（n－3）－1－2＝3n－9.（2）在第k站出发时，放上的邮袋共：（n－1）＋（n－2）＋…＋（n－k）个，而从第二站起，每站放下的邮袋共：1＋2＋3＋…＋（k－1）个，故ak＝（n－1）＋（n－2）＋…＋（n－k）－[1＋2＋…＋（k－1）]＝kn－eq\f(1,2)k（k＋1）－eq\f(1,2)k（k－1）＝kn－k2（k＝1，2，…，n），即邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋个数为kn－k2（k＝1，2，…，n）．例11、设等差数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式及前n项和公式；（2）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由．选题意图：本题考查数列的综合应用答案解析：（1）设等差数列{an}的公差为d.由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＋a13＝34，,3a2＝9，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋8d＝17，,a1＋d＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.))故an＝2n－1，Sn＝n2.（2）由（1）知bn＝eq\f(2n－1,2n－1＋t).要使b1，b2，bm成等差数列，必须2b2＝b1＋bm，即2×eq\f(3,3＋t)＝eq\f(1,1＋t)＋eq\f(2m－1,2m－1＋t)，整理得m＝3＋eq\f(4,t－1)，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当t＝2时，m＝7；当t＝3时，m＝5；当t＝5时，m＝4.故存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列．例12、已知数列的前n项和为，且.数列满足，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值．选题意图：本题考查数列的综合应用答案解析：（1）当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)n2＋\f(11,2)n))－＝n＋5.而当n＝1时，n＋5＝6，∴an＝n＋5.又bn＋2－2bn＋1＋bn＝0，即bn＋2－bn＋1＝bn＋1－bn，∴{bn}是等差数列，又b3＝11，b1＋b2＋…＋b9＝153，解得b1＝5，d＝3.∴bn＝3n＋2.（2）cn＝＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))))＝eq\f(n,2n＋1).∵Tn＋1－Tn＝eq\f(n＋1,2n＋3)－eq\f(n,2n＋1)＝eq\f(1,2n＋32n＋1)＞0，∴Tn单调递增，故（Tn）min＝T1＝eq\f(1,3).令eq\f(1,3)＞eq\f(k,57)，得k＜19，所以kmax＝18.【课后作业】1．设数列的前n项和为，令，称为数列，，…，的“理想数”，已知数列，，…，的“理想数”为2004，那么数列2，，，…，的“理想数”为 （） A．2002 B．2004 C．2006 D．20082．已知数列对任意的满足，且，那么等于（）A． B． C． D．3.数列满足，则的前项和为4.设，则.5.对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是.6.设数列的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡，且，，成等差数列．（1）求的值；（2）求数列的通项公式．（3）证明：对一切正整数n，有.7.已知数列的前n项和，，且Sn的最大值为8.（1）确定常数k，求；（2）求数列的前n项和Tn.8.（1）已知数列中，，前项和与的关系是，试求通项公式.（2）已知数列中，，，求通项公式.9.（1）已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求（2）已知数列的前项和与满足：成等比数列，且，求数列的前项和.10.设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n项和Tn.【参考答案】1.【答案】A【解析】认识信息，理解理想数的意义有：2.【答案】C【解析】由已知＝+＝-12，＝+＝－24，=+=-30，选C．3.【答案】1830【解析】由得，，即，也有，两式相加得，设为整数，则，于是.4.【答案】5【解析】由，整体求和，所求值为5．5.【答案】【解析】，曲线在x=2处的切线的斜率为，切点为，所以切线方程为，令x=0得，令.数列的前n项和为.6.【解析】（1）相减得：，成等差数列（2）得对均成立，得