2022-2023学年广东省肇庆市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2022-2023学年广东省肇庆市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(50题)1.设y＝x－5，则dy＝（）．A.A.－5dxB.－dxC.dxD.(x－1)dx

2.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2()．A.A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解

3.设z=y2x，则等于()．A.2xy2x-11

B.2y2x

C.y2xlny

D.2y2xlny

4.

5.

6.函数y=ex+arctanx在区间[-1,1]上

A.单调减少B.单调增加C.无最大值D.无最小值

7.()A.A.条件收敛

B.绝对收敛

C.发散

D.收敛性与k有关

8.

9.

10.

11.设un≤aυn(n=1，2，…)(a＞0)，且收敛，则()A.必定收敛B.必定发散C.收敛性与a有关D.上述三个结论都不正确

12.函数y=sinx在区间[0，n]上满足罗尔定理的ξ=A.A.0B.π/4C.π/2D.π

13.（）。A.

B.

C.

D.

14.A.A.2B.1C.0D.-1

15.

16.

17.

A.

B.

C.

D.

18.

A.

B.1

C.2

D.＋∞

19.A.0B.1C.2D.任意值

20.设f(x)在点x0处取得极值，则()

A.f"(x0)不存在或f"(x0)=0

B.f"(x0)必定不存在

C.f"(x0)必定存在且f"(x0)=0

D.f"(x0)必定存在，不一定为零

21.等于()。A.-1B.-1/2C.1/2D.1

22.

23.

24.

25.

26.曲线Y=x-3在点(1，1)处的切线的斜率为()．

A.-1

B.-2

C.-3

D.-4

27.

28.

29.

30.A.A.0B.1/2C.1D.∞31.（）。A.为无穷小B.为无穷大C.不存在，也不是无穷大D.为不定型

32.f(x)在[a，b]上可导是f(x)在[a，b]上可积的()。

A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.无关条件

33.

34.A.1B.0C.2D.1/235.设f(x)=e3x，则在x=0处的二阶导数f"(0)=A.A.3B.6C.9D.9e

36.

37.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.以上都不对38.A.－cosxB.－ycosxC.cosxD.ycosx

39.

40.（）。A.

B.

C.

D.

41.A.A.0B.1/2C.1D.2

42.

43.

44.

45.A.f(1)－f(0)

B.2[f(1)－f(0)]

C.2[f(2)－f(0)]

D.

46.极限等于()．A.A.e1/2B.eC.e2D.1

47.

48.

49.下列函数在指定区间上满足罗尔中值定理条件的是（）。A.

B.

C.

D.

50.A.3B.2C.1D.1/2二、填空题(20题)51.52.设曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，则该切线方程为______．53.

54.

55.56.微分方程y"+y'=0的通解为______．57.方程cosxsinydx+sinxcosydy=0的通解为___________.

58.

59.______。

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.二元函数z=x2+3xy+y2+2x，则=________。

67.

68.

69.幂级数的收敛半径为______．70.过原点且与直线垂直的平面方程为______．三、计算题(20题)71.72.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

73.

74.

75.76.求曲线在点(1，3)处的切线方程．77.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．78.79.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．80.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．81.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

82.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

83.求微分方程的通解．84.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．85.证明：86.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．87.

88.

89.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

90.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则四、解答题(10题)91.

92.

93.

94.95.设区域D为：96.设函数y=sin(2x-1),求y'。

97.

98.

99.

100.五、高等数学(0题)101.求函数

六、解答题(0题)102.

参考答案

1.C本题考查的知识点为微分运算．

因此选C．

2.B本题考查的知识点为线性常系数微分方程解的结构．

已知y1，y2为二阶线性常系数齐次微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个解，由解的结构定理可知C1y1+C2y2为所给方程的解，因此应排除D．又由解的结构定理可知，当y1，y2线性无关时，C1y1+C2y2为y"+p1y'+p2y=0的通解，因此应该选B．

本题中常见的错误是选C．这是由于忽略了线性常系数微分方程解的结构定理中的条件所导致的错误．解的结构定理中指出：“若y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个线性无关的特解，则C1y1+C2y2为所给微分方程的通解，其中C1，C2为任意常数．”由于所给命题中没有指出)y1，y2为线性无关的特解，可知C1y1+C2y2不一定为方程的通解．但是由解的结构定理知C1y1+C2y2为方程的解，因此应选B．

3.D本题考查的知识点为偏导数的运算．

z=y2x，若求，则需将z认定为指数函数．从而有

可知应选D．

4.C

5.D

6.B本题考查了函数的单调性的知识点，

因y'=ex+1/（1+x2）＞0处处成立,于是函数在(-∞,+∞)内都是单调增加的，故在[-1,1]上单调增加。

7.A

8.D

9.A

10.C

11.D由正项级数的比较判定法知，若un≤υn，则当收敛时，也收敛；若也发散，但题设未交待un与υn的正负性，由此可分析此题选D。

12.Cy=sinx在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，sin0=sinπ=0，可

知y=sinx在[0，π]上满足罗尔定理，由于(sinx)'=cosx，可知ξ=π/2时，cosξ=0，因此选C。

13.D由所给二次积分可知区域D可以表示为0≤y≤l，y≤x≤1。其图形如右图中阴影部分．又可以表示为0≤x≤1，0≤y≤x。因此选D。

14.C

15.A

16.D解析：

17.B本题考查的知识点为交换二次积分次序。由所给二次积分可知积分区域D可以表示为1≤y≤2，y≤x≤2，交换积分次序后，D可以表示为1≤x≤2，1≤y≤x，故应选B。

18.C

19.B

20.A若点x0为f(x)的极值点，可能为两种情形之一：(1)若f(x)在点x0处可导，由极值的必要条件可知f"(x0)=0；(2)如f(x)=|x|在点x=0处取得极小值，但f(x)=|x|在点x=0处不可导，这表明在极值点处，函数可能不可导。故选A。

21.C本题考查的知识点为定积分的运算。

故应选C。

22.D

23.A

24.A解析：

25.C解析：

26.C点(1，1)在曲线．由导数的几何意义可知，所求切线的斜率为-3，因此选C．

27.A

28.A解析：

29.C

30.A

31.D

32.B∵可导一定连续，连续一定可积；反之不一定。∴可导是可积的充分条件

33.A

34.C

35.Cf(x)=e3x，f'(x)=3e3x，f"(x)=9e3x，f"(0)=9，因此选C。

36.D

37.D本题考查了判断函数极限的存在性的知识点.

极限是否存在与函数在该点有无定义无关.

38.C本题考查的知识点为二阶偏导数。由于z＝ysinx，因此可知应选C。

39.B

40.A

41.C本题考查的知识点为函数连续性的概念．

42.C解析：

43.A

44.B

45.D本题考查的知识点为定积分的性质；牛顿－莱布尼茨公式．

可知应选D．

46.C本题考查的知识点为重要极限公式．

由于，可知应选C．

47.B

48.B

49.C

50.B，可知应选B。

51.52.y=f(1)本题考查的知识点有两个：一是导数的几何意义，二是求切线方程．

设切点为(x0，f(x0))，则曲线y=f(x)过该点的切线方程为

y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)．

由题意可知x0=1，且在(1，f(1))处曲线y=f(x)的切线平行于x轴，因此应有f'(x0)=0，故所求切线方程为

y=f(1)=0．

本题中考生最常见的错误为：将曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程写为

y-f(x0)=f'(x)(x-x0)

而导致错误．本例中错误地写为

y-f(1)=f'(x)(x-1)．

本例中由于f(x)为抽象函数，一些考生不习惯于写f(1)，有些人误写切线方程为

y-1=0．

53.

54.

解析：55.56.y=C1+C2e-x，其中C1，C2为任意常数本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程的求解．

二阶线性常系数齐次微分方程求解的一般步骤为：先写出特征方程，求出特征根，再写出方程的通解．

微分方程为y"+y'=0．

特征方程为r3+r=0．

特征根r1=0．r2=-1．

因此所给微分方程的通解为

y=C1+C2e-x，

其牛C1，C2为任意常数．

57.sinx·siny=Csinx·siny=C本题考查了可分离变量微分方程的通解的知识点.

由cosxsinydx+sinxcosydy=0,知sinydsinx+sinxdsiny=-0,即d(sinx·siny)=0,两边积分得sinx·siny=C,这就是方程的通解.

58.59.本题考查的知识点为极限运算。

所求极限的表达式为分式，其分母的极限不为零。

因此

60.3/2

61.

62.

63.7/5

64.π/8

65.(-22)66.因为z=x2+3xy+y2+2x，

67.连续但不可导连续但不可导

68.(1+x)269.0本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

所给幂级数为不缺项情形

因此收敛半径为0．70.2x+y-3z=0本题考查的知识点为平面方程和平面与直线的关系．

由于已知直线与所求平面垂直，可知所给直线的方向向量s平行于所求平面的法向量n．由于s=(2，1，-3)，因此可取n=(2，1，-3)．由于平面过原点，由平面的点法式方程，可知所求平面方程为2x+y-3z=0

71.

72.

73.74.由一阶线性微分方程通解公式有

75.

76.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

77.

78.

79.

80.

列表：

说明

81.

82.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

83.84.由二重积分物理意义知

85.

86.函数的定义域为

注意

87.

则

88.

89.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

90.由等价无穷小量的定义可知

91.

92.

93.94.本题考查的知识点为求曲线的切线方程．切线方程为y+3=一3(x+1)，或写为3x+y+6=0．求曲线y=f(x，y)的切线方程，通常要找出切点及函数在切点处的导数值．所给问题没有给出切点，因此依已给条件找出切点是首要问题．得出切点、切线的斜率后，可依直线的点斜式方程求出