Gh材料力学弯曲变形

Gh材料力学(cáiliàolìxué)弯曲变形第一页，共69页。弯曲(wānqū)变形的概念积分法求梁的变形(biànxíng)叠加法计算梁的挠度(náodù)和转角

简单超静定梁本章内容小结本章根本要求背景材料第二页，共69页。背景材料零件变形(biànxíng)过大将使加工精度受到影响。第三页，共69页。机架变形过大将使加工(jiāgōng)无法正常进行。第四页，共69页。有的情况下应该防止构件产生过大的变形，有的情况下那么(nàme)可以利用构件的变形。第五页，共69页。能正确(zhèngquè)应用积分法求梁的挠度曲线函数。能正确熟练地利用(lìyòng)叠加法计算梁中指定截面的广义位移。掌握(zhǎngwò)弯曲超静定问题的分析方法。本章基本要求第六页，共69页。挠度(náodù)(deflection)w=w(x)转角以x轴正向(zhènɡxiànɡ)逆时针旋转为正。挠度(náodù)以y轴正向为正。数学工具箱xyo变形前位置xyo变形后位置变形前位置xyoxyw(x)oxxyw(x)ox

(x)xyw(x)oxdxdw

(x)7.1弯曲变形的概念转角(slope)

1.

挠度与转角第七页，共69页。挠度(náodù)(deflection)w=w(x)转角(zhuǎnjiǎo)以x轴正向逆时针旋转为正。挠度(náodù)以y轴正向为正。xyo变形前位置xyo变形后位置变形前位置xyoxyw(x)oxxyw(x)ox

(x)xyw(x)oxdxdw

(x)7.1弯曲变形的概念转角(slope)

1.

挠度与转角注意

在弹性范围内，梁的挠度曲线必定是连续光滑的曲线。第八页，共69页。挠度(náodù)(deflection)w=w(x)转角以x轴正向(zhènɡxiànɡ)逆时针旋转为正。挠度(náodù)以y轴正向为正。xyo变形前位置xyo变形后位置变形前位置xyoxyw(x)oxxyw(x)ox

(x)xyw(x)oxdxdw

(x)7.1弯曲变形的概念转角(slope)

1.

挠度与转角注意在梁的弯曲变形中，梁轴线各点的轴向位移比横向位移〔挠度〕要小很多，因此一般不予考虑。第九页，共69页。曲率(qūlǜ)计算公式当时，曲线为凸形。xyo数学工具箱2.中性层曲率(qūlǜ)与弯矩的关系当时，曲线为凹形。可以利用(lìyòng)这个式子判断挠度曲线的大致形状。第十页，共69页。2.中性(zhōngxìng)层曲率与弯矩的关系xMq可以利用这个式子判断挠度曲线的大致(dàzhì)形状。q凸曲线凹曲线注意(zhùyì)判断挠度曲线的形状时应注意(zhùyì)梁的约束条件。第十一页，共69页。LLLmmmmmmmmmm分析(fēnxī)和讨论哪一种挠度曲线是正确的？第十二页，共69页。LLLPLPPLPPLP分析和讨论哪一种挠度曲线(qūxiàn)是正确的？PLP直线PLP直线第十三页，共69页。LLLmmmmmmmm分析和讨论哪一种挠度(náodù)曲线是正确的？直线mm直线第十四页，共69页。分析(fēnxī)和讨论哪一种挠度曲线是正确的？aaPPPPP第十五页，共69页。分析和讨论哪一种(yīzhǒnɡ)挠度曲线是正确的？PaaPPPP第十六页，共69页。例当P至少为多大时，才可能使梁的根部与圆柱外表产生贴合(tiēhé)？当P足够大，使梁己经与圆柱面贴合(tiēhé)，试根据P决定贴合(tiēhé)的长度。至少应使梁根部挠曲线的曲率半径与R相同，才可能(kěnéng)产生贴合。若在C

处REIPLLRPEICx第十七页，共69页。3.挠度(náodù)微分方程EI

：抗弯刚度

(bendingstiffness)等截面梁中挠度(náodù)各阶导数的意义：xyw(x)ox

(x)曲率(qūlǜ)的符号规定与弯矩相同。重要公式)()(xwE

IxM¢¢=第十八页，共69页。7.2积分法求梁的挠度(náodù)EI是常数(chángshù)7.2.1弯矩方程积分(jīfēn)的一般方法挠曲线微分方程积分一次再积分一次积分常数由约束条件确定第十九页，共69页。当弯矩方程为分段函数时，那么应分段积分(jīfēn)，分段点存在光滑连接条件在分段点处：挠度(náodù)是连续的：挠度(náodù)是光滑的：aFL简支端处挠度为零。固定端处挠度为零，转角为零。aFLaFLaFLaFLw(a

+)w(a

–)aFL(a

–)(a

+)第二十页，共69页。Lqxy例求图示梁的挠度(náodù)曲线。qLqL2/

2x弯矩转角(zhuǎnjiǎo)挠度(náodù)边界条件第二十一页，共69页。适于用积分法求梁的挠度曲线(qūxiàn)的情况1)单个梁2)等截面(jiémiàn)梁qEI非等截面(jiémiàn)梁的挠度曲线方程应分段建立。非单梁的挠度曲线方程应分段建立。qqqEI2EI第二十二页，共69页。例悬臂梁未加载时为微弯曲线。今有移动(yídòng)荷载F的作用，假设要使F力作用点始终保持在水平线上，求初始曲线方程。微弯梁的挠度(náodù)仍可按直梁计算。故有FFFFFFFxy(x)设初始(chūshǐ)曲线方程为y(x)。F

作用而产生的挠度为由题设w(x)Fx第二十三页，共69页。q2qaaa分析和讨论哪一种挠度曲线(qūxiàn)是正确的？第二十四页，共69页。qaa分析和讨论哪一种挠度(náodù)曲线是正确的？第二十五页，共69页。q2qaaa分析和讨论哪一种挠度曲线(qūxiàn)是正确的？第二十六页，共69页。q2qaaaq2qaaaqaa分析(fēnxī)和讨论如果下面三种梁截面一样，它们(tāmen)的应力情况一样吗？第二十七页，共69页。公式(gōngshì)是对的，结论是错的。结论(jiélùn)是对的，公式是错的。公式是精确(jīngquè)的，结论是近似的。结论是精确的，公式是近似的。分析和讨论如何把两者统一起来？对于如图的结构，有人认为，梁中弯矩处处相等，故挠度曲线的曲率处处相等，故有结论：挠度曲线为圆弧。但这一结论与书上的公式不吻合。对于这种矛盾，正确的理解是：对于如图的结构，有人认为，梁中弯矩处处相等，故挠度曲线的曲率处处相等，故有结论：挠度曲线为圆弧。但这一结论与书上的公式不吻合。对于这种矛盾，正确的理解是：对于如图的结构，有人认为，梁中弯矩处处相等，故挠度曲线的曲率处处相等，故有结论：挠度曲线为圆弧。但这一结论与书上的公式不吻合。对于这种矛盾，正确的理解是：mEI第二十八页，共69页。分析(fēnxī)和讨论mEIR对于如图的结构，有人(yǒurén)认为，梁中弯矩处处相等，故挠度曲线的曲率处处相等，故有结论：挠度曲线为圆弧。但这一结论与书上的公式不吻合。对于这种矛盾，正确的理解是：高阶小量第二十九页，共69页。a/

24qaA2EI2aB3qa2EI求B点转角(zhuǎnjiǎo)7.3叠加法计算梁的挠度(náodù)和转角动脑又动笔(dònɡbǐ)求A点挠度aa2qaAEI求A点转角利用已有结果计算：2aB3qa2EIa/

24qaA2EI第三十页，共69页。BAFa

2a

2BAFa

2a

2Aaa3qa2EIAaa3qa2EI动脑又动笔利用已有结果计算：求A点转角(zhuǎnjiǎo)例求图示自由端的(duāndì)挠度。w1w2第三十一页，共69页。1.荷载的分解(fēnjiě)或重组叠加法的常用(chánɡyònɡ)手法依据：若荷载A在K点引起的（广义）位移为a，荷载B在K点引起的同类位移为b，则荷载（A+B）在K点引起的位移为a+b。依据：若荷载A在K点引起的（广义）位移为a，荷载B在K点引起的同类位移为b，则荷载（A+B）在K点引起的位移为a+b。依据：若荷载A在K点引起的（广义）位移为a，荷载B在K点引起的同类位移为b，则荷载（A+B）在K点引起的位移为a

+

b。叠加原理(yuánlǐ)在处于稳定状态的线弹性小变形杆件中，内力、变形量、应力、应变关于外荷载均满足叠加原理。KAaKBbKABab第三十二页，共69页。EIq0AL2L2例求图示自由端的(duāndì)挠度。w

1Lq0q0L2L2w

2w

3BL2L2第三十三页，共69页。FAEIaa/2CBFABCwC点的挠度，是由AB段变形(biànxíng)的影响和BC段变形(biànxíng)的影响共同构成的。FABCw1FABC变形体刚体w1FABCFFa2w1FABCw1FABCw1w2FABCw1w2FABC刚体变形体w1w2FAw2BCFABCw依据：假设结构可分为假设干部份，且各部份在荷载作用下的变形不是相互独立的，那么，结构中A点的位移是各个(gègè)部份在这一荷载作用下的变形在A点所引起的位移的叠加。2.逐段刚化法第三十四页，共69页。AFEIEIaa注意：在刚架中，由构件轴向拉压所引起的变形量往往比弯曲(wānqū)所引起的变形量小很多，因此一般可以忽略不计。AFvAAFv1AFv1刚体变形体AFv2AF变形体刚体v2AFvA例求图示A端的(duāndì)竖向位移。分析(fēnxī)和讨论竖梁压缩对A端竖向位移的奉献有多大？竖梁压缩量竖梁弯曲的奉献两者之比以圆杆为例第三十五页，共69页。aa/4qEIAw3例求如图外伸梁A点的竖向位移(wèiyí)。w1

1w

2

2第三十六页，共69页。aa/4qEIA例求如图外伸梁A点的竖向位移(wèiyí)。w1

1w

2

2w3第三十七页，共69页。动脑又动笔利用已有结果计算A点挠度。aa/

2mEIAaa/

2mEIAaa/

2mEIA第三十八页，共69页。例求图示结构(jiégòu)中A点的竖向位移。LLLEAEIEIPA第三十九页，共69页。LLLEAEIEIPA例求图示结构(jiégòu)中A点的竖向位移。w2w3w1u1PPP第四十页，共69页。例求C点竖向位移(wèiyí)v。PLaABCPTTTTTw2PPPPw1PPPPPw3第四十一页，共69页。3.利用结构、荷载和变形特点建立(jiànlì)简化计算模型利用(lìyòng)结构、荷载对称性简化计算对称结构承受(chéngshòu)对称荷载情况对称面〔点〕上剪力、扭矩为零变形对称内力对称对称面〔点〕上转角为零对称面〔点〕上轴力、弯矩一般不为零对称面〔点〕上垂直于对称轴的位移为零对称面〔点〕上沿对称轴的位移一般不为零第四十二页，共69页。3.利用结构、荷载和变形特点(tèdiǎn)建立简化计算模型利用结构、荷载对称性简化(jiǎnhuà)计算对称面〔点〕上剪力、扭矩一般(yībān)不为零变形反对称内力反对称对称面〔点〕上转角一般不为零对称面〔点〕上轴力、弯矩为零对称面〔点〕上沿对称轴的位移为零对称结构承受反对称荷载情况对称面〔点〕上垂直于对称轴的位移一般不为零第四十三页，共69页。aqEIaaa例求图示简支梁中点处的竖向位移(wèiyí)w。梁的变形(biànxíng)如图。aqEIaaa根据梁的对称性，其中(qízhōng)点处的竖向位移与图示悬臂梁自由端处的位移w相等。aqEIaaaqaqaqEIaaqawqEIaaqawaw1aw2aqaw3a第四十四页，共69页。例求图示简支梁中点处的竖向位移(wèiyí)w。结构(jiégòu)的荷载等同于图示两种荷载的组合q2q2q2qEIL2L2q2q2q2第四十五页，共69页。例画刚架各部的抗弯刚度(ɡānɡdù)为EI，求AB两点间的相对位移。AFFBaaa由于结构对称而荷载反对(fǎnduì)称，结构下梁中点处弯矩为零，但剪力不为零。这样结构便可只考虑其一半，并简化如图：AFF这一半的结构上下对称，因此(yīncǐ)可进一步简化。AB两点间的相对位移为AFAFAF第四十六页，共69页。分析(fēnxī)和讨论在以下不同的加载方式(fāngshì)中，哪一种刚度最高？L/

3qLL/

3L/

3qLL/

2L/

2Lq第四十七页，共69页。分析(fēnxī)和讨论分析(fēnxī)和讨论在以下(yǐxià)不同的支承方式中，哪一种刚度最高？qqq第四十八页，共69页。分析(fēnxī)和讨论梁由混凝土材料(cáiliào)制成，如果横截面从左图改为右图，能够改善强度吗？梁的材料由普通钢改为优质钢，能够(nénggòu)改善强度吗？能够改善刚度吗？梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善刚度吗？q第四十九页，共69页。7.4简单(jiǎndān)超静定梁第五十页，共69页。qLB3qL/

8qL2/

85qL/

8例画出如图结构(jiégòu)的剪力弯矩图。xFS3qL/

85qL/

8xMqL2/

89qL2/

128wqRwRqB第五十一页，共69页。求解超静定梁问题(wèntí)的步骤1)将某个约束(yuēshù)确定为“多余〞约束(yuēshù)，解除这个约束(yuēshù)，使结构成为静定结构〔称为静定基〕，并将所解除的约束(yuēshù)用“多余约束(yuēshù)力〞代替。2)在静定基上，分别(fēnbié)求出原荷载和“多余约束力〞在解除约束处的挠度或转角。3)根据解除约束处的实际位移情况建立协调方程，并从这个方程中求出“多余约束力〞。第五十二页，共69页。qLB静定结构(jiégòu)的选择不是唯一的R3qL/

8qL2/

85qL/

8mAAmAqBmA第五十三页，共69页。例画出如图结构(jiégòu)的剪力弯矩图。左梁右梁协调(xiétiáo)条件故有FSxqL/87qL/8LLqEI2EILLqEI2EIRRqL/8qL2

/87qL/83qL2

/8xM3qL2/8qL2/8qL2/128第五十四页，共69页。如图的两个(liǎnɡɡè)长度均为a的简支梁在中点垂直相交。求中点的挠度。动脑又动笔(dònɡbǐ)a2a2FEI2EI第五十五页，共69页。aaEIEIEAaqACB例

求图示

A处的支反力。B处位移(wèiyí)BC的变形(biànxíng)量EIqCREIABREACBaRACBwCwB设BC杆对简支梁的支撑力为RBC杆的支撑(zhīchēng)使结构成为超静定假设BC杆为刚性杆，协调条件如何表达？ACBwBwCC

处位移

BC杆为弹性杆，协调条件如何表达？第五十六页，共69页。ACBwBwCa协调(xiétiáo)条件A处支反力支反力偶矩例

求图示

A处的支反力。AFmCBwBwC第五十七页，共69页。三次(sāncì)超静定问题L/

2L/

2PL/

2L/

2PmL/

2L/

2PmRmAmm无轴向力：二次超静定问题利用(lìyòng)对称性：一次超静定问题第五十八页，共69页。由于(yóuyú)对称性，设两端的支反力偶矩均为m。E=10GPaI=2.8107mm4L=5.5m例体重(tǐzhòng)为450N的运发动位于平衡木中点处，求平衡木中的最大位移。取简支梁为静定(jìnɡdìnɡ)基。协调条件最大位移在中点处L/

2L/

2PAPPmAmm第五十九页，共69页。由于对称性，可以只考虑(kǎolǜ)一半。E=10GPaI=2.8107mm4L=5.5m例体重为450N的运发动位于(wèiyú)平衡木中点处，求平衡木中的最大位移。L/

2L/

2PL/

2P/

2L/

2P/

2mL/

2P/

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2–m+PL/4第六十页，共69页。BqaaACEIq/

2q/

2q/

2例求图示结构(jiégòu)C点挠度。图示的情况(qíngkuàng)可视为下述两种情况(qíngkuàng)的合成。由于(yóuyú)反对称性，图示第二种情况中，C点挠度为零。因此原结构中C点的挠度与笫一种情况下C点的挠度相等。由于对称性，可只考虑一半。q/

2q/

2m设左半部自由端力偶矩为

m。第六十一页，共69页。BqaaACEIq/

2m由C点转角(zhuǎnjiǎo)为零可得由此可得C点挠度(náodù)q/

2第六十二页，共69页