二重积分计算课件

柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积一、问题的提出3.1二重积分的概念与性质第3章重积分1柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶播放

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．2播放求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积3步骤如下：用若干个小平先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量4２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近二、二重积分的概念5二、二重积分的概念5积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素6积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素6对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．7对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，

在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为8在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质9性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有10性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）11性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）11如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］3.2二重积分的计算12如果积分区域为：其中函数、应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得13应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得13如果积分区域为：［Y－型］14如果积分区域为：［Y－型］14

X型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.15X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相例1计算其中是由直线和所围成的闭区域.解如图,既是型,又是型.若视为型,则原式16例1计算其中是由直线和所围成的例1计算其中是由直线和所围成的闭区域.解若视为型,则原积分若视为型,则分次序对重积分的计算非常重要.故合理选择积其中关于的积分计算比较麻烦,17例1计算其中是由直线和所围成的解18解18例3计算二重积分其中是由抛物线及直线所围成的闭区域.解如图,(见P141图3-12)既是型,也是型.但易见选择前者计算较麻烦,需将积分区域划分为两部分来计算,择后者.故选19例3计算二重积分其中是由抛物线及直线例3计算二重积分其中是由抛物线及直线所围成的闭区域.解如图,(见P141图3-11)既是型,也是型.但易见选择前者计算较麻烦,需将积分区域划分为两部分来计算,择后者.故选20例3计算二重积分其中是由抛物线及直线例4计算二重积分其中区域是由围成的矩形.如图,因为是矩形区域,且所以解21例4计算二重积分其中区域是由围成的矩形.如图,因为是矩形区域解22解22例6交换二次积分的积分次序.解题设二次积分的积分限:可改写为:所以23例6交换二次积分的积分次序.解题设二次积分的积分限:可改写为例7交换二次积分的积分次序.解题设二次积分的积分限:可改写为所以原式24例7交换二次积分的积分次序.解题设二次积分的积分限:可改写为二、利用极坐标系计算二重积分25二、利用极坐标系计算二重积分25二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图26二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图26二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图27二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图27注：极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图28注：极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域解29解29解30解30例3计算二重积分其中是由所确定的圆域.解如图,可表示为故区域在极坐标下31例3计算二重积分其中是由所确定的圆域.解如图,可表示为故区域柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积一、问题的提出3.1二重积分的概念与性质第3章重积分32柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶播放

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．33播放求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积34步骤如下：用若干个小平先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量35２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近二、二重积分的概念36二、二重积分的概念5积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素37积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素6对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．38对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，

在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为39在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质40性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有41性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）42性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）11如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］3.2二重积分的计算43如果积分区域为：其中函数、应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得44应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得13如果积分区域为：［Y－型］45如果积分区域为：［Y－型］14

X型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.46X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相例1计算其中是由直线和所围成的闭区域.解如图,既是型,又是型.若视为型,则原式47例1计算其中是由直线和所围成的例1计算其中是由直线和所围成的闭区域.解若视为型,则原积分若视为型,则分次序对重积分的计算非常重要.故合理选择积其中关于的积分计算比较麻烦,48例1计算其中是由直线和所围成的解49解18例3计算二重积分其中是由抛物线及直线所围成的闭区域.解如图,(见P141图3-12)既是型,也是型.但易见选择前者计算较麻烦,需将积分区域划分为两部分来计算,择后者.故选50例3计算二重积分其中是由抛物线及直线例3计算二重积分其中是由抛物线及直线所围成的闭区域.解如图,(见P141图3-11)既是型,也是型.但易见选择前者计算较麻烦,需将积分区域划分为两部分来计算,择后者.故选51例3计算二重积分其中是由抛物线及直线例4计算二重积分其中区域是由围成的矩形.如图,因为是矩形区域,且所以解52例4计算二重积分其中区域是由围成的矩形.如图,因为是矩形区域解53解22例6交换二次积分的积分次序.解题设二次积分的积分限:可改写为:所以54例6交换二次积分的积分次序.解题设二次积分的积分限:可改写为例7交换二次积分的积分次序.解题设二次积分的积分限:可改写为所以原式55例7交换二次积分的积分次序.解题设二次积分的积分限:可改写为二、利用极坐标系计算二重积分56二、利用极坐标系计算二重积分25二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图57二重积