传热学教学讲解课件

第一章

绪论.第一章

绪论.1§1-0概述一、基本概念1、传热学

传热学是研究热量传递规律的学科。

1)物体内只要存在温差，就有热量从物体的高温部分传向低温部分；

2)物体之间存在温差时，热量就会自发的从高温物体传向低温物体。.§1-0概述.22、热量传递过程

根据物体温度与时间的关系，热量传递过程可分为两类：（1）稳态传热过程；（2）非稳态传热过程。1）稳态传热过程（定常过程）

凡是物体中各点温度不随时间而变的热传递过程均称稳态传热过程。.2、热量传递过程.3

2）非稳态传热过程（非定常过程）

凡是物体中各点温度随时间的变化而变化的热传递过程均称非稳态传热过程。

各种热力设备在持续不变的工况下运行时的热传递过程属稳态传热过程；而在启动、停机、工况改变时的传热过程则属非稳态传热过程。

.

2）非稳态传热过程（非定常过程）.4二、讲授传热学的重要性及必要性

1、传热学是热工系列课程教学的主要内容之一，是建环专业必修的专业基础课。是否能够熟练掌握课程的内容，直接影响到后续专业课的学习效果。2、传热学在生产技术领域中的应用十分广泛。如：(1)日常生活中的例子：.二、讲授传热学的重要性及必要性1、传热学是热工系列课程教5a人体为恒温体。若房间里气体的温度在夏天和冬天都保持20度，那么在冬天与夏天、人在房间里所穿的衣服能否一样？为什么？b夏天人在同样温度（如：25度）的空气和水中的感觉不一样。为什么？c北方寒冷地区，建筑房屋都是双层玻璃，以利于保温。如何解释其道理？越厚越好？(1)日常生活中的例子：.a人体为恒温体。若房间里气体的温度在夏天和冬天都保持206(2)特别是在下列技术领域大量存在传热问题动力、化工、制冷、建筑、机械制造、新能源、微电子、核能、航空航天、微机电系统（MEMS）、新材料、军事科学与技术、生命科学与生物技术….(2)特别是在下列技术领域大量存在传热问题动力、化工、制冷7(3)几个特殊领域中的具体应用a航空航天：高温叶片气膜冷却与发汗冷却；火箭推力室的再生冷却与发汗冷却；卫星与空间站热控制；空间飞行器重返大气层冷却；超高音速飞行器（Ma=10）冷却；核热火箭、电火箭；微型火箭（电火箭、化学火箭）；太阳能高空无人飞机.(3)几个特殊领域中的具体应用a航空航天：高温叶片气膜8b微电子：电子芯片冷却c生物医学：肿瘤高温热疗；生物芯片；组织与器官的冷冻保存d军事：飞机、坦克；激光武器；弹药贮存e制冷：跨临界二氧化碳汽车空调/热泵；高温水源热泵f新能源：太阳能；燃料电池.b微电子：电子芯片冷却.9三、传热学的特点、研究对象及研究方法

1）理论性、应用性强

传热学是热工系列课程内容和课程体系设置的主要内容之一。是一门理论性、应用性极强的专业基础课，在热量传递的理论分析中涉及到很深的数学理论和方法。在生产技术领域应用十分广泛。传热学的发展促进了生产技术的进步。

1、特点.三、传热学的特点、研究对象及研究方法1）理论性、应用性强102)有利于创造性思维能力的培养

传热学是建筑环境与设备工程专业的主干专业课之一，在教学中重视学生在学习过程中的主体地位，启迪学生学习的积极性，在时间上给学生留有一定的思维空间。从而进一步培养创新的思维能力。对综合性、应用性强的传热问题都有详细地分析讨论。同时介绍了传热学的发展动态和前景。从而给学生开辟了广阔且纵深的思考空间。

.2)有利于创造性思维能力的培养.113）教育思想发生了本质性的变化

传热学课程教学内容的组织和表达方面从以往单纯的为后续专业课学习服务转变到重点培养学生综合素质和能力方面，这是传热学课程理论联系实际的核心。从实际工程问题中、科学研究中提炼出综合分析题，对培养学生解决分析综合问题的能力起到积极的作用。.3）教育思想发生了本质性的变化.122、研究对象

传热学研究的对象是热量传递规律。

3、研究方法

研究的是由微观粒子热运动所决定的宏观物理现象，而且主要用经验的方法寻求热量传递的规律，认为研究对象是个连续体，即各点的温度、密度、速度是坐标的连续函数，即将微观粒子的微观物理过程作为宏观现象处理。

.2、研究对象.13由前可知，热力学的研究方法仍是如此，但是热力学虽然能确定传热量（稳定流能量方程），但不能确定物体内温度分布。4、学习目的

通过学习能熟练掌握传热过程的基本规律、实验测试技术及分析计算方法，从而达到认识、控制、优化传热过程的目的。

.由前可知，热力学的研究方法仍是如此，但是热力学虽然能确定传热14§1-2热量传递的三种基本方式

一、导热（热传导）

1、概念

定义：物体各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的热运动而产生的热量传递称导热。如：固体与固体之间及固体内部的热量传递。.§1-2热量传递的三种基本方式一、导热（热传导）.15从微观角度分析气体、液体、导电固体与非金属固体的导热机理。

（1）气体中：导热是气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果，温度升高，动能增大，不同能量水平的分子相互碰撞，使热能从高温传到低温处。

.从微观角度分析气体、液体、导电固体与非金属固体的导热机理。16（2）导电固体：其中有许多自由电子，它们在晶格之间像气体分子那样运动。自由电子的运动在导电固体的导热中起主导作用。（3）非导电固体：导热是通过晶格结构的振动所产生的弹性波来实现的，即原子、分子在其平衡位置附近的振动来实现的。.（2）导电固体：其中有许多自由电子，它们在晶格之间像气体17（4）液体的导热机理：存在两种不同的观点：第一种观点类似于气体，只是复杂些，因液体分子的间距较近，分子间的作用力对碰撞的影响比气体大；第二种观点类似于非导电固体，主要依靠弹性波（晶格的振动，原子、分子在其平衡位置附近的振动产生的）的作用。

说明：只研究导热现象的宏观规律。

.（4）液体的导热机理：存在两种不同的观点：第一种观点类似182、导热的基本规律

1）傅立叶定律（1822年，法国物理学家）

如图1-1所示的两个表面分别维持均匀恒定温度的平板，是个一维导热问题。对于x方向上任意一个厚度为的微元层来说，根据傅里叶定律，单位时间内通过该层的导热热量与当地的温度变化率及平板面积A成正比，即.2、导热的基本规律1）傅立叶定律.19式中是比例系数，称为热导率，又称导热系数，负号表示热量传递的方向与温度升高的方向相反。

（1-1）.式中是比例系数，称为热导率，又称导热系数，负号表示热20..212）热流量

单位时间内通过某一给定面积的热量称为热流量，记为，单位w。3）热流密度（面积热流量）

单位时间内通过单位面积的热量称为热流密度，记为q，单位w/㎡。当物体的温度仅在x方向放生变化时，按傅立叶定律，热流密度的表达式为:.2）热流量.22

说明：傅立叶定律又称导热基本定律，式（1-1）、（1-2）是一维稳态导热时傅立叶定律的数学表达式。通过分析可知：

（1-2）.

说明：傅立叶定律又称导热基本定律，式（1-1）、（123（1）当温度t沿x方向增加时，＞０而q＜０，说明此时热量沿x减小的方向传递；（2）反之，当<0时，q>0，说明热量沿x增加的方向传递。（3）导热系数λ表征材料导热性能优劣的参数，是一种物性参数，单位：w/mk。.（1）当温度t沿x方向增加时，＞０而q24

不同材料的导热系数值不同，即使同一种材料导热系数值与温度等因素有关。金属材料最高，良导电体，也是良导热体，液体次之，气体最小。.

不同材料的导热系数值不同，即使同一种材料导热系数值与温度等25二、对流

1、基本概念

1)对流：是指由于流体的宏观运动，从而使流体各部分之间发生相对位移，冷热流体相互掺混所引起的热量传递过程。对流仅发生在流体中，对流的同时必伴随有导热现象。

.二、对流.262、对流换热的分类

1）根据对流换热时是否发生相变分：有相变的对流换热和无相变的对流换热。2）根据引起流动的原因分：自然对流和强制对流。2)对流换热：流体流过一个物体表面时的热量传递过程，称为对流换热。

.2、对流换热的分类2)对流换热：流体流过一个物体表面时271）自然对流：由于流体冷热各部分的密度不同而引起流体的流动。

如：暖气片表面附近受热空气的向上流动。2）强制对流：流体的流动是由于水泵、风机或其他压差作用所造成的。3）沸腾换热及凝结换热：

液体在热表面上沸腾及蒸汽在冷表面上凝结的对流换热，称为沸腾换热及凝结换热（相变对流沸腾）。

.1）自然对流：.283、对流换热的基本规律<牛顿冷却公式>

流体被加热时：

流体被冷却时：式中，及分别为壁面温度和流体温度，℃。

（1-3）（1-4）.3、对流换热的基本规律<牛顿冷却公式>流体被加热时29如果把温差（亦称温压）记为，并约定永远取正值，则牛顿冷却公式可表示为

其中h—比例系数（表面传热系数）单位。

（1-5）（1-6）.如果把温差（亦称温压）记为，并约定永远取正值，则牛顿30

h的物理意义：单位温差作用下通过单位面积的热流量。表面传热系数的大小与传热过程中的许多因素有关。它不仅取决于物体的物性、换热表面的形状、大小相对位置，而且与流体的流速有关。.

h的物理意义：单位温差作用下通过单位面积的热流量。.31一般地，就介质而言：水的对流换热比空气强烈；就换热方式而言：有相变的强于无相变的；强制对流强于自然对流。对流换热研究的基本任务：用理论分析或实验的方法推出各种场合下表面换热导数的关系式。

.一般地，就介质而言：水的对流换热比空气强烈；.32三、热辐射

1、基本概念

1）辐射和热辐射

物体通过电磁波来传递能量的方式称为辐射。因热的原因而发出辐射能的现象称为热辐射。2）辐射换热

辐射与吸收过程的综合作用造成了以辐射方式进行的物体间的热量传递称辐射换热。

.三、热辐射1、基本概念.33自然界中的物体都在不停的向空间发出热辐射，同时又不断的吸收其他物体发出的辐射热。说明：辐射换热是一个动态过程，当物体与周围环境温度处于热平衡时，辐射换热量为零，但辐射与吸收过程仍在不停的进行，只是辐射热与吸收热相等。.自然界中的物体都在不停的向空间发出热辐射，同时又不断的吸收其343）导热、对流、辐射的评述①导热、对流两种热量传递方式，只在有物质存在的条件下，才能实现，而热辐射不需中间介质，可以在真空中传递，而且在真空中辐射能的传递最有效。②在辐射换热过程中，不仅有能量的转换，而且伴随有能量形式的转化。.3）导热、对流、辐射的评述.35在辐射时，辐射体内热能→辐射能；在吸收时，辐射能→受射体内热能，因此，辐射换热过程是一种能量互变过程。③辐射换热是一种双向热流同时存在的换热过程，即不仅高温物体向低温物体辐射热能，而且低温物体向高温物体辐射热能，

..36④辐射换热不需要中间介质，在真空中即可进行，而且在真空中辐射能的传递最有效。因此，又称其为非接触性传热。⑤热辐射现象仍是微观粒子性态的一种宏观表象。

⑥物体的辐射能力与其温度性质有关。这是热辐射区别于导热，对流的基本特点。

.④辐射换热不需要中间介质，在真空中即可进行，而且在真空中辐射372、热辐射的基本规律：

所谓绝对黑体：把吸收率等于1的物体称黑体，是一种假想的理想物体。黑体的吸收和辐射能力在同温度的物体中是最大的而且辐射热量服从于斯忒藩——玻耳兹曼定律。黑体在单位时间内发出的辐射热量服从于斯忒藩——玻耳兹曼定律，即.2、热辐射的基本规律：.38（1-7）其中T——黑体的热力学温度K；

——斯忒潘—玻耳兹曼常数（黑体辐射常数），其值为；

A——辐射表面积m2。.（1-7）其中T——黑体的热力学温度K；.39

实际物体辐射热流量根据斯忒潘——玻耳兹曼定律求得：

其中Φ——物体自身向外辐射的热流量，而不是辐射换热量；

——物体的发射率（黑度），其值总小于1，它与物体的种类及表面状态有关。（1-8）.实际物体辐射热流量根据斯忒潘——玻耳兹曼定律求得：（40

要计算辐射换热量，必须考虑投到物体上的辐射热量的吸收过程，即收支平衡量，详见第八章。

物体包容在一个很大的表面温度为的空腔内，物体与空腔表面间的辐射换热量

（1-9）.

要计算辐射换热量，必须考虑投41§1-3传热过程和传热系数

一、传热过程1、概念

热量由壁面一侧的流体通过壁面传到另一侧流体中去的过程称传热过程。

.§1-3传热过程和传热系数一、传热过程.422、传热过程的组成

传热过程一般包括串联着的三个环节组成，即：①热流体→壁面高温侧；②壁面高温侧→壁面低温侧；

③壁面低温侧→冷流体。

若是稳态过程则通过串联环节的热流量相同。

.2、传热过程的组成.43..443、传热过程的计算

（a）（b）（c）

针对稳态的传热过程，即Q=const如图1-3，其传热环节有三种情况，则其热流量的表达式如下：.3、传热过程的计算（a）（b）（c）针对稳态45将式（a）、（b）、（c）改写成温差的形式：（d）（e）（f）.将式（a）、（b）、（c）改写成温差的形式：（d）（e）（f46三式相加，整理可得:也可以表示成:式中，称为传热系数，单位为。

（1-10）（1-11）.三式相加，整理可得:也可以表示成:式中，称为传热系47二、传热系数

1、概念

是指用来表征传热过程强烈程度的指标。数值上等于冷热流体间温差℃，传热面积时热流量的值。K值越大，则传热过程越强，反之，则弱。其大小受较多的因素的影响：

①参与传热过程的两种流体的种类；②传热过程是否有相变.二、传热系数.48

说明：若流体与壁面间有辐射换热现象，上述计算未考虑之。要计算辐射换热，则：表面传热系数应取复合换热表面传热系数，包含由辐射换热折算出来的表面传热系数在内。其方法见8-4节。传热系数的表达式为:

（1-12）.说明：若流体与壁面间有辐射换热现象，上述计算未考虑49

传热系数的表达式揭示了传热系数的构成，即它等于组成传热过程诸环节的、及之和的倒数。如果对式（1-12）取倒数，还可理解得更深刻些。此时或（1-13）（1-14）.传热系数的表达式揭示了传热系数的构成，即它等于组成传热50此式与欧姆定律比较，具有电阻之功能。由此可见：传热过程热阻是由各构成环节的热阻组成。串联热阻叠加原则：在一个串联的热量传递过程中，如果通过各个环节的热流量都相等，则串联热量传递过程的总热阻等于各串联环节热阻之和。.此式与欧姆定律比较，具51§1-3传热学发展简史18世纪30年代工业化革命促进了传热学的发展导热（Heatconduction）钻炮筒大量发热的实验（B.T.Rumford,1798年）两块冰摩擦生热化为水的实验（H.Davy,1799年）.§1-3传热学发展简史18世纪30年代工业化革命促进了传热52导热热量和温差及壁厚的关系（J.B.Biot,1804年）Fourier导热定律(J.B.J.Fourier,1822年）G.F.B.Riemann/H.S.Carslaw/J.C.Jaeger/M.Jakob

.导热热量和温差及壁厚的关系（J.B.Biot,1853对流换热（Convectionheattransfer）不可压缩流动方程（M.Navier,1823年)流体流动Navier-Stokes基本方程(G.G.Stokes,1845年）雷诺数(O.Reynolds,1880年）自然对流的理论解（L.Lorentz,1881年）管内换热的理论解（L.Graetz,1885年；W.Nusselt,1916年）

.对流换热（Convectionheattransfer54凝结换热理论解（W.Nusselt,1916年）强制对流与自然对流无量纲数的原则关系（W.Nusselt,1909年/1915年）流体边界层概念（L.Prandtl,1904年）热边界层概念（E.Pohlhausen,1921年）湍流计算模型（L.Prandtl,1925年；Th.VonKarman,1939年；R.C.Martinelli,1947年）.凝结换热理论解（W.Nusselt,1916年）.55本章小结：(1)导热

Fourier定律：

(2)对流换热

Newton冷却公式：

(3)热辐射

Stenfan-Boltzmann定律：

(4)传热过程.本章小结：(1)导热

Fourier定律：

(2)56第二章

导热基本定律

及稳态导热.第二章

导热基本定律

及稳态导热.571、重点内容：

①傅立叶定律及其应用；

②导热系数及其影响因素；

③导热问题的数学模型。

2、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法

3、了解内容：多维导热问题

.1、重点内容：.58§2-1导热基本定律

一、温度场

（Temperaturefield）1、概念

温度场是指在各个时刻物体内各点温度分布的总称。由傅立叶定律知，物体的温度分布是坐标和时间的函数：

其中为空间坐标，为时间坐标。

.§2-1导热基本定律一、温度场（Temperat592、温度场分类

1）稳态温度场（定常温度场）（Steady-stateconduction）

是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式：.2、温度场分类.602）非稳态温度场（非定常温度场）

（Transientconduction）

是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布随时间而变化的温度场称非稳态温度场，其表达式：

若物体温度仅一个方向有变化，这种情况下的温度场称一维温度场。

.2）非稳态温度场（非定常温度场）（Transientc61等温面与等温线等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到一个等温线簇等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的面.等温面与等温线等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个平面上62等温面与等温线的特点：(1)温度不同的等温面或等温线彼此不能相交(2)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物体的边界上物体的温度场通常用等温面或等温线表示.等温面与等温线的特点：(1)温度不同的等温面或等温线彼此不63等温线图的物理意义：若每条等温线间的温度间隔相等时，等温线的疏密可反映出不同区域导热热流密度的大小。如图所示是用等温线图表示温度场的实例。.等温线图的物理意义：.64..65二、导热基本定律

1、导热基本定律（傅立叶定律）

1）定义：在导热现象中，单位时间内通过给定截面所传递的热量，正比例于垂直于该截面方向上的温度变化率，而热量传递的方向与温度升高的方向相反，即2）数学表达式：

.二、导热基本定律1、导热基本定律（傅立叶定律）2）66（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反）

3）傅里叶定律用热流密度表示：其中——热流密度(单位时间内通过单位面积的热流量)

——物体温度沿x轴方向的变化率.（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反）3）傅里叶定律67当物体的温度是三个坐标的函数时，其形式为:是空间某点的温度梯度；

是通过该点等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向；是该处的热流密度矢量。

式中：.当物体的温度是三个坐标的函数时，其形式为:是空间某点的温度梯682、温度梯度与热流密度矢量的关系

如图2-2（a）所示，表示了微元面积dA附近的温度分布及垂直于该微元面积的热流密度矢量的关系。1）热流线

定义：热流线是一组与等温线处处垂直的曲线，通过平面上任一点的热流线与该点的热流密度矢量相切。.2、温度梯度与热流密度矢量的关系.692）热流密度矢量与热流线的关系：

在整个物体中，热流密度矢量的走向可用热流线表示。如图2-2（b）所示，其特点是相邻两个热流线之间所传递的热流密度矢量处处相等，构成一热流通道。.2）热流密度矢量与热流线的关系：.70..71三、导热系数（导热率、比例系数）

1、导热系数的含义

导热系数的定义式由傅里叶定律的数学表达式给出：数值上等于在单位温度梯度作用下物体内所产生的热流密度矢量的模。

2、影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等.三、导热系数（导热率、比例系数）1、导热系数的含义723、保温材料（隔热、绝热材料）

把导热系数小的材料称保温材料。我国规定：≤350℃时，≤0.12w/mk保温材料导热系数界定值的大小反映了一个国家保温材料的生产及节能的水平。越小，生产及节能的水平越高。我国50年代0.23W/mk80年代GB4272-840.14w/mkGB427-920.12w/mk.3、保温材料（隔热、绝热材料）.734、保温材料热量转移机理(高效保温材料)

高温时：（1）蜂窝固体结构的导热（2）穿过微小气孔的导热更高温度时：（1）蜂窝固体结构的导热（2）穿过微小气孔的导热和辐射.4、保温材料热量转移机理(高效保温材料).745、超级保温材料

采取的方法：（1）夹层中抽真空（减少通过导热而造成热损失）（2）采用多层间隔结构（1cm达十几层）

特点：间隔材料的反射率很高，减少辐射换热，垂直于隔热板上的导热系数可达：10-4w/mk.5、超级保温材料.756、各向异性材料

指有些材料（木材，石墨）各向结构不同，各方向上的也有较大差别，这些材料称各向异性材料。此类材料必须注明方向。相反，称各向同性材料。.6、各向异性材料.76§2-2导热微分方程式及定解条件

由前可知：（1）对于一维导热问题，根据傅立叶定律积分，可获得用两侧温差表示的导热量。（2）对于多维导热问题，首先获得温度场的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空间各点的热流密度矢量。

.§2-2导热微分方程式及定解条件由前可知：.77一、导热微分方程

1、定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导热微分方程。

2、导热微分方程的数学表达式

导热微分方程的推导方法，假定导热物体是各向同性的。

.一、导热微分方程2、导热微分方程的数学表达式.781）针对笛卡儿坐标系中微元平行六面体

由前可知，空间任一点的热流密度矢量可以分解为三个坐标方向的矢量。

同理，通过空间任一点任一方向的热流量也可分解为x、y、z坐标方向的分热流量，如图2-4所示。.1）针对笛卡儿坐标系中微元平行六面体.79..80①通过x=x、y=y、z=z，三个微元表面而导入微元体的热流量：фx、фy、фz的计算。根据傅立叶定律得

(a).①通过x=x、y=y、z=z，三个微元表面而导81②通过x=x+dx、y=y+dy、z=z+dz三个微元表面而导出微元体的热流量фx+dx、фy+dy、фz+dz的计算。根据傅立叶定律得：

(b).②通过x=x+dx、y=y+dy、z=z+dz82③对于任一微元体根据能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热平衡关系：

导入微元体的总热流量+微元体内热源的生成热=导出微元体的总热流量+微元体热力学能（内能）的增量(c).③对于任一微元体根据能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热83微元体热力学能的增量=微元体内热源的生成热=其中——微元体的密度、比热容、单位时间内单位体积内热源的生成热及时间。.微元体热力学能的增量=微元体内热源的生成热=其中84导入微元体的总热流量导出微元体的总热流量

.导入微元体的总热流量.85将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：

这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式。其物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。

.将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：这是笛卡尔坐标系中三861）对上式化简：

①导热系数为常数

式中，，称为热扩散率。②导热系数为常数、无内热源

.1）对上式化简：①导热系数为常数式中，87③导热系数为常数、稳态

④导热系数为常数、稳态、无内热源

.③导热系数为常数、稳态④导热系数为常数、稳态、无882）圆柱坐标系中的导热微分方程：

3）球坐标系中的导热微分方程：

.2）圆柱坐标系中的导热微分方程：3）球坐标系中的导热微分方89综上说明：

（1）导热问题仍然服从能量守恒定律；（2）等号左边是单位时间内微元体热力学能的增量（非稳态项）；（3）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微分元体在单位时间内增加的能量(扩散项)；（4）等号右边最后项是源项；（5）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。.综上说明：.90二、定解条件

1、定义：是指使导热微分方程获得适合某一特定导热问题的求解的附加条件。

通过导热微分方程可知，求解导热问题，实际上就是对导热微分方程式的求解。预知某一导热问题的温度分布，必须给出表征该问题的附加条件。.二、定解条件1、定义：是指使导热微分方程获得适合某一特912、分类

1）初始条件：初始时间温度分布的初始条件；2）边界条件：导热物体边界上温度或换热情况的边界条件。说明：

①非稳态导热定解条件有两个；②稳态导热定解条件只有边界条件，无初始条件。.2、分类.923、导热问题的常见边界条件可归纳为

以下三类

（1）规定了边界上的温度值，称为第一类边界条件。对于非稳态导热，这类边界条件要求给出以下关系式：.3、导热问题的常见边界条件可归纳为

以下三类（193（2）规定了边界上的热流密度值，称为第二类边界条件。对于非稳态导热，这类边界条件要求给出以下关系式：.（2）规定了边界上的热流密度值，称为第二类边界条件。对于非稳94（3）规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数及周围流体的温度，称为第三类边界条件。第三类边界条件可表示为.（3）规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数及周围流体的951、热扩散率的物理意义

由热扩散率的定义可知：1）是物体的导热系数，越大，在相同温度梯度下，可以传导更多的热量。2）是单位体积的物体温度升高1℃所需的热量。越小，温度升高1℃所吸收的热量越少，可以剩下更多的热量向物体内部传递，使物体内温度更快的随界面温度升高而升高。三、有关说明.1、热扩散率的物理意义三、有关说明.96由此可见ɑ物理意义：①ɑ越大，表示物体受热时，其内部各点温度扯平的能力越大。②ɑ越大，表示物体中温度变化传播的越快。所以，ɑ也是材料传播温度变化能力大小的指标，亦称导温系数。

.由此可见ɑ物理意义：.972、导热微分方程的适用范围1）适用于q不很高，而作用时间长。同时傅立叶定律也适用该条件。2）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。3）若属极底温度（-273℃）时的导热不适用。

.2、导热微分方程的适用范围.98§2-3通过平壁，圆筒壁，球壳和其它变截面物体的导热本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板和圆柱内的导热。直角坐标系：.§2-3通过平壁，圆筒壁，球壳和本节将针对一维、稳态、常991单层平壁的导热oxa几何条件：单层平板；b物理条件：、c、

已知；无内热源c时间条件：d边界条件：第一类.1单层平壁的导热oxa几何条件：单层平板；b物100xot1tt2根据上面的条件可得：第一类边条：控制方程边界条件.xot1tt2根据上面的条件可得：第一类边条：控制边界条件101直接积分，得：带入边界条件：.直接积分，得：带入边界条件：.102带入Fourier定律热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况线性分布.带入Fourier定律热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源1032、热阻的含义

热量传递是自然界的一种转换过程,与自然界的其他转换过程类同,如:电量的转换,动量、质量等的转换。其共同规律可表示为:过程中的转换量=过程中的动力/过程中的阻力。在电学中，这种规律性就是欧姆定律，即.2、热阻的含义在电学中，这种规律性就是欧姆定律，即.104在平板导热中，与之相对应的表达式可改写为这种形式有助于更清楚地理解式中各项的物理意义。式中：热流量为导热过程的转移量；

温压为转移过程的动力；

分母为转移过程的阻力。.在平板导热中，与之相对应的表达式可改写为这种形式有助于更清楚105由此引出热阻的概念：1）热阻定义：热转移过程的阻力称为热阻。2）热阻分类：不同的热量转移有不同的热阻，其分类较多，如：导热阻、辐射热阻、对流热阻等。对平板导热而言又分：

面积热阻RA：单位面积的导热热阻称面积热阻。热阻R：整个平板导热热阻称热阻。

.由此引出热阻的概念：.1063）热阻的特点：

串联热阻叠加原则：在一个串联的热量传递过程中，若通过各串联环节的热流量相同，则串联过程的总热阻等于各串联环节的分热阻之和。

.3）热阻的特点：.1073多层平壁的导热多层平壁：由几层不同材料组成例：房屋的墙壁—白灰内层、水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上各处的温度相等.3多层平壁的导热多层平壁：由几层不同材料组成例：房屋的墙108t1t2t3t4t1t2t3t4三层平壁的稳态导热.t1t2t3t4t1t2t3t4三层平壁的稳态导热.109边界条件：热阻：.边界条件：热阻：.110由热阻分析法：问：现在已经知道了q，如何计算其中第i层的右侧壁温？第一层：第二层：第i层：.由热阻分析法：问：现在已经知道了q，如何计算其中第i层的1114单层圆筒壁的导热圆柱坐标系：假设单管长度为l，圆筒壁的外半径小于长度的1/10。.4单层圆筒壁的导热圆柱坐标系：假设单管长度为l，圆筒壁的112..113一维、稳态、无内热源、常物性：第一类边界条件：(a).一维、稳态、无内热源、常物性：第一类边界条件：(a).114对上述方程(a)积分两次:第一次积分第二次积分应用边界条件获得两个系数将系数带入第二次积分结果显然，温度呈对数曲线分布.对上述方程(a)积分两次:第一次积分第二次积分应用边界条件获115下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况虽然是稳态情况，但热流密度q与半径r成反比！求导根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为：.下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况虽然是稳态情况1165多层圆筒壁由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算通过单位长度圆筒壁的热流量.5多层圆筒壁由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按1176、通过球壳的导热对于内、外表面维持均匀衡定温度的空心球壁的导热，再球坐标系中也是一个一维导热问题。相应计算公式为：温度分布：热流量：热阻：.6、通过球壳的导热对于内、外表面维持均匀衡定温度的空心球壁的1187其它变面积或变导热系数问题求解导热问题的主要途径分两步：求解导热微分方程，获得温度场；根据Fourier定律和已获得的温度场计算热流量；对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。.7其它变面积或变导热系数问题求解导热问题的主要途径分两步119此时，一维Fourier定律：当＝(t)时，.此时，一维Fourier定律：当＝(t)时，.120分离变量后积分，并注意到热流量Φ与x无关(稳态)，得.分离变量后积分，并注意到热流量Φ与x无关(稳态)，得.121当随温度呈线性分布时，即＝0＋at，则实际上，不论如何变化，只要能计算出平均导热系数，就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式，只是需要将换成平均导热系数。.当随温度呈线性分布时，即＝0＋at，则实际上，122§2-4通过肋片的导热一基本概念

1、肋片：指依附于基础表面上的扩展表面2、常见肋片的结构：针肋直肋环肋大套片3、肋片导热的作用及特点

1）作用：增大对流换热面积及辐射散热面,以强化换热.§2-4通过肋片的导热一基本概念.1232）特点：在肋片伸展的方向上有表面的对流换热及辐射散热，肋片中沿导热热流传递的方向上热流量是不断变化的。即：Φ≠const。

4、分析肋片导热解决的问题

一是：确定肋片的温度沿导热热流传递的方向是如何变化的？

二是：确定通过肋片的散热热流量有多少？

.2）特点：在肋片伸展的方向上有表面的对流换热及辐射散热，1241通过等截面直肋的导热已知：矩形直肋肋根温度为t0，且t0>t肋片与环境的表面传热系数为h.，h和Ac均保持不变求：温度场t和热流量

.1通过等截面直肋的导热已知：.125分析：假设1）肋片在垂直于纸面方向(即深度方向)很长，不考虑温度沿该方向的变化，因此取单位长度分析；

2）材料导热系数λ及表面传热系数h均为常数，沿肋高方向肋片横截面积Ac不变；

3）表面上的换热热阻1/h，远大于肋片的导热热阻δ/λ，即肋片上任意截面上的温度均匀不变；

4）肋片顶端视为绝热，即dt/dx=0；

.分析：.126

在上述假设条件下，把复杂的肋片导热问题转化为一维稳态导热如图（b）所示并将沿程散热量视为负的内热源，则导热微分方程式简化为.

在上述假设条件下，把复杂的肋片导热问题127导热微分方程：引入过余温度。令则有：.导热微分方程：引入过余温度。令则有：.128混合边界条件：方程的通解为：应用边界条件可得：.混合边界条件：方程的通解为：应用边界条件可得：.129最后可得等截面内的温度分布：双曲余弦函数双曲正切函数双曲正弦函数.最后可得等截面内的温度分布：双曲余弦函数双曲正切函数双曲正弦130稳态条件下肋片表面的散热量=通过肋基导入肋片的热量肋端过余温度：即x＝H.稳态条件下肋片表面的散热量=通过肋基导入肋片的热量肋端过1312肋片效率

为了从散热的角度评价加装肋片后换热效果，引进肋片效率.2肋片效率.132肋片的纵剖面积.肋片的纵剖面积.133影响肋片效率的因素：肋片材料的热导率、肋片表面与周围介质之间的表面传热系数h、肋片的几何形状和尺寸（P、A、H）可见，与参量有关，其关系曲线如图所示。这样，矩形直肋的散热量可以不用公式计算，而直接用图查出，散热量

.影响肋片效率的因素：肋片材料的热导率、肋片表面与周围介1343通过环肋及三角形截面直肋的导热

为了减轻肋片重量、节省材料，并保持散热量基本不变，需要采用变截面肋片，环肋及三角形截面直肋是其中的两种。对于变截面肋片来讲，由于从导热微分方程求得的肋片散热量计算公式相当复杂，因此，人们仿照等截面直肋。利用肋片效率曲线来计算方便多了，书中图2－14和2－15分别给出了三角形直肋和矩形剖面环肋的效率曲线。.3通过环肋及三角形截面直肋的导热.135图2－14.图2－14.136图2－15.图2－15.137第三章

非稳态导热.第三章

非稳态导热.138１、重点内容：

①非稳态导热的基本概念及特点；②集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。

2、掌握内容：

①确定瞬时温度场的方法；②确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。

3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。

.１、重点内容：.139§3-1非稳态导热的基本概念1非稳态导热的定义

物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。

2非稳态导热的分类周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化

瞬态非稳态导热：物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值.§3-1非稳态导热的基本概念1非稳态导热的定义2140着重讨论瞬态非稳态导热

3温度分布：.着重讨论瞬态非稳态导热3温度分布：.1414两个不同的阶段

非正规状况阶段(右侧面不参与换热

)：温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大正规状况阶段(右侧面参与换热)：当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受to影响，主要取决于边界条件及物性，此时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。.4两个不同的阶段非正规状况阶段(右侧面不参与142非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态导热过程的三个阶段二类非稳态导热的区别：前者存在着有区别的两个不同阶段，而后者不存在。.非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态导热过程的1435热量变化Φ1－－板左侧导入的热流量Φ2－－板右侧导出的热流量.5热量变化Φ1－－板左侧导入的热流量.1446学习非稳态导热的目的：(1)温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律(2)非稳态导热的导热微分方程式：.6学习非稳态导热的目的：(2)非稳态导热的导热微分方程式145(3)求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换近似分析法：

集总参数法、积分法数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子动力学模拟.(3)求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法分析解法：分1467、讨论物体处于恒温介质中的第三类边界条件问题

在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征与边界条件参数的关系。

已知：平板厚、初温、表面传热系数h、平板导热系数，将其突然置于温度为的流体中冷却。由于面积热阻与的相对大小的不同，平板中温度场的变化会出现以下三种情形：

.7、讨论物体处于恒温介质中的第三类边界条件问题在第三类边界147..148（1）

这时，由于表面对流换热热阻几乎可以忽略，因而过程一开始平板的表面温度就被冷却到。并随着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于。（2）

这时，平板内部导热热阻几乎可以忽略，因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀，并随着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于。.（1）这时，由于表面对流换热热阻149

这时，平板中不同时刻的温度分布介于上述两种极端情况之间。（3）与的数值比较接近

由此可见，上述两个热阻的相对大小对于物体中非稳态导热的温度场的变化具有重要影响。为此，我们引入表征这两个热阻比值的无量纲数毕渥数：.这时，平板中不同时刻的温度分布介于上述两种极1501）毕渥数的定义：毕渥数属特征数（准则数）。

2）Bi物理意义：Bi的大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律。3）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过程特征的无量纲数。4）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺度。.1）毕渥数的定义：毕渥数属特征数（准则数）。2）Bi物理151§3-2集总参数法的简化分析1定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法。此时，，温度分布只与时间有关，即，与空间位置无关，因此，也称为零维问题。.§3-2集总参数法的简化分析1定义：忽略物体内部导热热阻1522温度分布如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。将其突然置于温度恒为的流体中。.2温度分布将其突然置于温度恒为的流体中。.153当物体被冷却时（t>t）,由能量守恒可知方程式改写为：，则有初始条件控制方程.当物体被冷却时（t>t）,由能量守恒可知方程式改写为：，154

积分过余温度比其中的指数：.积分过余温度比其中的指数：.155

是傅立叶数物体中的温度呈指数分布方程中指数的量纲：.是傅立叶数物体中的温度呈指数分布方程中指数的量纲：156即与的量纲相同，当时，则此时，上式表明：当传热时间等于时，物体的过余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。称为时间常数，用表示。.即与的量纲相同，当时，则此时，上式157应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线.应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线.158如果导热体的热容量（Vc）小、换热条件好（h大），那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时间常数(Vc/hA)小。对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的（微细热电偶、薄膜热电阻）工程上认为=4Vc/hA时导热体已达到热平衡状态.如果导热体的热容量（Vc）小、换热条件好（h大），那么1593瞬态热流量：导热体在时间0~内传给流体的总热量：当物体被加热时(t<t)，计算式相同（为什么？）.3瞬态热流量：导热体在时间0~内传给流体的总热量：1604物理意义无量纲热阻无量纲时间Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，因而，物体各点地温度就越接近周围介质的温度。.4物理意义无量纲热阻无量纲时间Fo越大，161采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%对厚为2δ的无限大平板对半径为R的无限长圆柱对半径为R的球5集总参数法的应用条件是与物体几何形状有关的无量纲常数.采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%对厚为2δ162§3-3一维非稳态导热的分析解1.无限大的平板的分析解λ=const a=const h=const因两边对称，只研究半块平壁.§3-3一维非稳态导热的分析解1.无限大的平板的分析解λ=163此半块平板的数学描写：导热微分方程初始条件边界条件(对称性).此半块平板的数学描写：导热微分方程(对称性).164引入变量－－过余温度令上式化为：.引入变量－－过余温度令上式化为：.165用分离变量法可得其分析解为：此处Bn为离散面(特征值)若令则上式可改写为：*.用分离变量法可得其分析解为：*.166μn为下面超越方程的根为毕渥准则数，用符号Bi表示书上P73表3-1给出了部分Bi数下的μ1值.μn为下面超越方程的根.167因此 是F0,Bi和函数，即注意：特征值 特征数（准则数）.因此 是F0,Bi和函数，即注意：特征值 特1682.非稳态导热的正规状况

对无限大平板当取级数的首项，板中心温度，误差小于1%

.2.非稳态导热的正规状况对无限大平板.169与时间无关.与时间无关.170若令Q为

内所传递热量--时刻z的平均过余温度考察热量的传递Q0

--非稳态导热所能传递的最大热量.考察热量的传递Q0--非稳态导热所能传递的最大热量.171

对无限大平板，长圆柱体及球：

及可用一通式表达无限大平板长圆柱体及球此处此处的A，B及函数见P74表3-2.对无限大平板，长圆柱体及球：

1723正规热状况的实用计算方法－拟合公式法对上述公式中的A，B，μ1，J0可用下式拟合式中常数a,b,c,d见P75表3-3

a`,b`,c`,d`见P75表3-4.3正规热状况的实用计算方法－拟合公式法对上述公式中的A，1733正规热状况的实用计算方法－线算图法诺谟图三个变量，因此，需要分开来画以无限大平板为例，F0>0.2时，取其级数首项即可先画.3正规热状况的实用计算方法－线算图法诺谟图三个变量，因此174(2)再根据公式(3-23)绘制其线算图(3)于是，平板中任一点的温度为同理，非稳态换热过程所交换的热量也可以利用（3－24）和（3－25）绘制出。.(2)再根据公式(3-23)(3)于是，平板中任一点的温175解的应用范围书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程，并且F0>0.2.解的应用范围书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第三类边界176§3-4二维及三维问题的求解考察一无限长方柱体(其截面为的长方形).§3-4二维及三维问题的求解考察一无限长方柱体(其截面为177..178利用以下两组方程便可证明.利用以下两组方程便可证明.179及.及.180

即证明了是无限长方柱体导热微分方程的解，这样便可用一维无限大平壁公式、诺谟图或拟合函数求解二维导热问题其中其中.即证明了是无限长方柱体导热微181..182限制条件：（1）一侧绝热，另一侧三类（2）两侧均为一类（3）初始温度分布必须为常数.限制条件：.183§3-5半无限大的物体半无限大物体的概念.§3-5半无限大的物体半无限大物体的概念.184..185误差函数：令

无量纲坐标引入过余温度问题的解为

误差函数无量纲变量.误差函数：令无量纲坐标引入过余温度问题的解为186说明：(1)无量纲温度仅与无量纲坐标

有关.(2)一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的时间无论x有多么大，该处总能感受到温度的化。(3)

但解释Fo,a时，仍说热量是以一定速度传播的，这是因为，当温度变化很小时，我们就认为没有变化。.说明：.187

令

若

即可认为该处温度没有变化

.令

若

188几何位置若对一原为2δ的平板，若即可作为半无限大物体来处理两个重要参数:.几何位置两个重要参数:.189时间若对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只适用于物体的非稳态导热的初始阶段，那在惰性时间以内即任一点的热流通量：

.即任一点的热流通量：

.190[0,]内累计传热量吸热系数令即得边界面上的热流通量.[0,]内累计传热量吸热系数令即得边界面上的191第四章

导热问题

的数值解法.第四章

导热问题

的数值解法.1921、重点内容：

①掌握导热问题数值解法的基本思路；②利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。2、掌握内容：数值解法的实质。3、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。

.1、重点内容：.193

求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，这些数值解法主要有以下几种：

（1）有限差分法

（2）有限元方法（3）边界元方法

.求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件194分析解法与数值解法的异同点：

•

相同点：根本目的是相同的，即确定①t=f(x，y，z)；②。•

不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。.分析解法与数值解法的异同点：.195•

数值解法的实质

对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。

这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。

.•

数值解法的实质.196§4-1导热问题数值求解的基本思想

及内部节点离散方程的建立建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程是否收敛解的分析改进初场是否物理问题的数值求解过程1.§4-1导热问题数值求解的基本思想

及197二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题2例题条件（a）.二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题2例题条件（a）198（b）xynm(m,n)MN3基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题.（b）xynm(m,n)MN3基本概念：控制容积、网格线、199

如图（a）所示二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下：

（1）建立控制方程及定解条件

针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：

.如图（a）所示二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热200（2）区域离散化（确立节点）

用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区域，用网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点(结点)，节点的位置用该节点在两个方向上的标号m，n表示。

相邻两节点间的距离称步长。如图(b)所示。.（2）区域离散化（确立节点）用一系列与201（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程）

节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程如下：•

首先划分各节点的类型；•

其次，建立节点离散方程；•

最后，代数方程组的形成。

对节点(m,n)的代数方程，当△x=△y时，有：

.（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程）节点上物理量的202（4）设立迭代初场

代数方程组的求解方法有直接解法与迭代解法，传热问题的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解时，需对被求的温度场预先设定一个解，这个解称为初场，并在求解过程中不断改进。

.（4）设立迭代初场.203（5）求解代数方程组

求解时遇到的问题：①线性；

②非线性；

③收敛性等。如图（b），除m=1的左边界上各节点的温度已知外，其余(M-1)N个节点均需建立离散方程，共有(M-1)N个方程，则构成一个封闭的代数方程组。1）线性代数方程组：代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不再变化；

.（5）求解代数方程组

求解时遇到的问题：.2042）非线性代数方程组：代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不断更新。3）是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方程是否收敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所得之解的偏差是否小于允许值。.2）非线性代数方程组：代数方程一经建立，其中各项系数205（6）解的分析

通过求解代数方程，获得物体中的温度分布，根据温度场应进一步计算通过的热流量，热应力及热变形等。因此，对于数值分析计算所得的温度场及其它物理量应作详细分析，以获得定性或定量上的结论。.（6）解的分析通过求解代数方程，获得物2064建立离散方程的常用方法：(1)Taylor（泰勒）级数展开法；(2)多项式拟合法；(3)控制容积积分法；(4)控制容积平衡法(也称为热平衡法).4建立离散方程的常用方法：(1)Taylor（泰勒）级数207(1)泰勒级数展开法根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j)的温度ti-1,j.(1)泰勒级数展开法根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的208将上两式相加可得将上式改写成的表达式，有同样可得：表示未明确写出的级数余项中的ΔX的最低阶数为2.将上两式相加可得将上式改写成的表达式，有同样可得209

根据导热问题的控制方程(导热微分方程)若△x=△y则有

得.

根据导热问题的控制方程(导热微分方程)若△x=△y210(2)控制容积平衡法(热平衡法)基本思想：是傅里叶导热定律和能量守恒定律的体现。对每个元体，可用傅里叶导热定律写出其能量守恒的表达式。如图所示，

从节点(m-1,n)通过界面w传导到节点(m,n)的热流量：

同理：通过界面e,n,s传导给节点（m,n）的热流量也可求得（省略）.(2)控制容积平衡法(热平衡法)基本思想：是傅里叶导热定律211对元体(m,n).根据能量守恒定律可知：

其中，规定：导入元体（m,n）的热流量为正；导出元体（m,n）的热流量为负。

.对元体(m,n).根据能量守恒定律可知：其中，规定：导212说明：①上述分析与推导是在笛卡儿坐标系中进行的；②热平衡法概念清晰，过程简捷；③热平衡法与建立微分方程的思路与过程一致，但不同的是前者是有限大小的元体，后者是微元体。

.说明：.2134-2边界节点离散方程的建立及代数方程的求解对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。而对于第二类或第三类边界条件的导热问题，所有内节点的离散方程组成的代数方程组是不封闭的，因未知边界温度，因而应对位于该边界上的节点补充相应的代数方程，才能使方程组封闭，以便求解。为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流密度表达式。为使结果更具一般性，假设物体具有内热源Φ(不必均匀分布)。.4-2边界节点离散方程的建立对于第一类边界条件的热214如图所示边界节点(m,n)只能代表半个元体，若边界上有向该元体传递的热流密度为，据能量守恒定律对该元体有：

1.边界节点离散方程的建立：(1)平直边界上的节点.如图所示边界节点(m,n)只能代表半个元体，若边界上有215xyqw.xyqw.216(2)外部角点如图所示，二维墙角计算区域中，该节点外角点仅代表1/4个以为边长的元体。假设边界上有向该元体传递的热流密度为，则据能量守恒定律得其热平衡式为：

.(2)外部角点如图所示，二维墙角计算区域中，该节点外角点仅217xyqw.xyqw.218(3)内部角点如图所示内部角点代表了3/4个元体，在同样的假设条件下有.(3)内部角点如图所示内部角点代表了3/4个元体，在同219xyqw.xyqw.220讨论关于边界热流密度的三种情况：

（1）绝热边界即令上式即可。

（2）值不为零流入元体，取正，流出元体，取负使用上述公式（3）对流边界此时，将此表达式代入上述方程，并将此项中的与等号前的合并。对于的情形有.讨论关于边界热流密度的三种情况：（1）绝热边界即令上式221（a）平直边界（b）外部角点（c）内部角点.（a）平直边界（b）外部角点（c）内部角点.2222代数方程的求解方法

2）迭代法：先对要计算的场作出假设（设定初场），在迭代计算中不断予以改进，直到计算前的假定值与计算结果相差小于允许值为止的方法，称迭代计算收敛。1）直接解法：通过有限次运算获得精确解的方法，如：矩阵求解，高斯消元法。

.2代数方程的求解方法2）迭代法：先对要计算的场作出假设2232迭代法目前应用较多的是：

1）高斯——赛德尔迭代法：每次迭代计算，均是使用节点温度的最新值。2）用雅可比迭代法：每次迭代计算，均用上一次迭代计算出的值。.2迭代法目前应用较多的是：1）高斯——赛德尔迭代法：224设有一三元方程组：

其中（i=1,2,3；j=1,2,3）及是已知的系数（均不为零）及常数。.设有一三元方程组：其中（i=1,2,3；j225采用高斯——赛德尔迭代法的步骤：

（1）将三元方程变形为迭式方程：

.采用高斯——赛德尔迭代法的步骤：.226（2）假设一组解（迭代初场），记为：并代入迭代方程求得第一次解每次计算均用最新值代入。

（3）以新的初场重复计算，直到相邻两次迭代值之差小