测量误差及测量平差

关于测量误差及测量平差第一页，共五十二页，2022年，8月28日一、研究测量误差的目的：

第一节测量误差概述分析测量误差产生原因、性质和积累的规律；正确处理观测结果，求出最可靠值；评定测量结果的精度；通过研究误差发生的规律，为选择合理的测量方法提供理论依据。第二页，共五十二页，2022年，8月28日第一节测量误差概述

二、误差产生的原因（观测条件）

仪器原因

仪器精度的局限,轴系残余误差,等。人的原因判断力和分辨率的限制,经验,等。外界影响气象因素(温度变化,风,大气折光,等)

三、真误差（观测误差、误差）：

观测值与真值之差称为测量误差

Δ=l-X观测值真值第三页，共五十二页，2022年，8月28日

3.偶然误差△3

在相同的观测条件下对某量作一系列观测，其误差的出现，大小和符号都具有不确定性，但又服从于一定的统计规律性。也叫随机误差。

2.系统误差△2

在相同的观测条件下对某量作一系列观测，其误差的出现，大小、符号保持不变或按一定的规律变化，如经纬仪竖盘指标差等。四.测量误差的分类第一节测量误差概述1.粗差△1

在相同观测条件下作一系列的观测，其绝对值超过限差的测量偏差。观测时的仪器精度达不到要求、技术规格的设计和观测程序不合理，以及观测者粗心大意和仪器故障或技术上的疏忽等。第四页，共五十二页，2022年，8月28日四.测量误差处理第一节测量误差概述1.粗差

大级量的观测误差

尽量避免出现，含有粗差的观测值都不能使用各类测量规范可有效防止粗差出现。

第五页，共五十二页，2022年，8月28日

2系统误差对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。

例如：在水准测量中采用前后视距相等来消除

视准轴不平行横轴误差、地球曲率差和大气折光差；在水平角观测中采用盘左盘右观测来消除

视准轴误差、横轴误差和照准部偏心差；在钢尺量距时，加尺长改正来消除尺长误差，

加温度改正来消除温度影响，

加高差改正来消除钢尺倾斜的影响等。四.测量误差处理第一节测量误差概述第六页，共五十二页，2022年，8月28日3偶然误差原因不固定、难以控制，既不可避免，又消除不了。但具有规律性如估读误差、照准误差、不断变化的温度、风力等外界环境。

对偶然误差，通常采用多次观测来减少误差、提高观测成果的质量。四.测量误差处理第一节测量误差概述第七页，共五十二页，2022年，8月28日3.偶然误差第一节测量误差概述误差区间为正值为负值个数频率个数频率0~0.2210.1300.650210.1300.6500.2~0.4190.1170.585190.1170.5850.4~0.6150.0930.465120.0740.3700.6~0.890.0560.280110.0680.3400.8~1.090.0560.28080.0490.2451.0~1.250.0310.15560.0370.1851.2~1.410.0060.03030.0180.0901.4~1.610.0060.03020.0120.0601.6以上000000∑800.495820.505第八页，共五十二页，2022年，8月28日3.偶然误差第一节测量误差概述第九页，共五十二页，2022年，8月28日偶然误差的特性1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；（有界性）2、绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；（趋向性）3、绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等；（对称性）4、当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋于零。（抵偿性）

第一节测量误差概述第十页，共五十二页，2022年，8月28日3偶然误差四.测量误差处理第一节测量误差概述正态分布曲线

-21-15-9-3+3+9+15+21-24-18-12-60+6+12+18+24x=

y第十一页，共五十二页，2022年，8月28日第二节衡量观测值精度的标准精度：是指在对某一量值的多次观测中，各个观测值之间的离散程度。若观测值非常集中，则精度高；若观测值非常离散，则精度低。主要取决于偶然误差测量中常用的评定精度标准有：中误差相对误差极限误差第十二页，共五十二页，2022年，8月28日例5-1

对某三角形内角之和观测了5次，与180°相比较其误差分别为+4″、-2″、0″、-4″、+3″，求观测值的中误差。一.中误差i=Li-X解：第十三页，共五十二页，2022年，8月28日例5-2

对某三角形内角和分别由两组各作了10次等精度观测，其真误差如下，求其中误差，并比较两组的精度。第一组：-3″，-2″，2″，4″，-1″，0″，-4″，3″，2″，-3″；第二组：0″，1″，-7″，-2″，-1″，1″，8″，0″，3″，-1″。解：一.中误差第十四页，共五十二页，2022年，8月28日

m1=2.7是第一组观测值的中误差；

m2=3.6是第二组观测值的中误差。一.中误差计算结果表明m1＜m2,第一组观测精度高于第二组观测精度。不难看出，第一组误差分布比较集中，而第二组误差分布比较离散，表明第二组观测结果不稳定，精度比第一组低。中误差的几何意义为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标

第十五页，共五十二页，2022年，8月28日一.中误差中误差的几何意义为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标

第十六页，共五十二页，2022年，8月28日二.相对误差相对误差是中误差的绝对值与观测值之比化成分子为1的分数式

T2<T1，所以200m测量精度较高例：用钢尺分别丈量了100米及200米两段距离，观测值中误差均为±0.01米，则相对误差为

0.0110.011T1=——=——；T2=——=——

1001000020020000第十七页，共五十二页，2022年，8月28日二.相对误差相对误差越小，观测结果越可靠经纬仪测角时，不能用相对误差来衡量测角精度。距离测量相对较差：反映往返测量的符合程度，相对较差越小，结果越可靠

第十八页，共五十二页，2022年，8月28日三.极限误差(容许误差)

通常取两倍或三倍中误差作为极限误差，也称容许误差：限=2m偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率为：

大于一倍中误差的偶然误差出现的可能性为32%大于两倍中误差的偶然误差出现的可能性为5%大于三倍中误差的偶然误差出现的可能性为0.3%

或限=3m

第十九页，共五十二页，2022年，8月28日●如果对某量进行直接观测，则可由观测值的真误差来计算出中误差，从而判断观测成果的质量。●但在实际测量中，有些未知量往往不是直接测量得到的，而是通过观测其他一些相关的量后间接计算出来的。●各独立观测值含有误差时，则其函数必受其误差的影响而相应地产生误差。这种函数误差的大小除了受到观测值误差大小的影响外，也取决于函数关系。●阐述函数中误差与观测值中误差之间关系的定律称为误差传播定律。

第三节误差传播定律

——观测值函数的中误差第二十页，共五十二页，2022年，8月28日第三节误差传播定律

一.观测值的函数例：高差平均距离实地距离三角边和或差函数线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数……第二十一页，共五十二页，2022年，8月28日设有函数：

Z=f（X1，X2，…Xn）

式中X1，X2，…Xn为独立变量，

X1，X2，…Xn中误差分别为m1，m2，…mn，Z的中误差为：一、一般函数的中误差

第二十二页，共五十二页，2022年，8月28日一、一般函数的中误差

泰勒级数展开第二十三页，共五十二页，2022年，8月28日一、一般函数的中误差

设每项独立变量观测了k次第二十四页，共五十二页，2022年，8月28日一、一般函数的中误差

函数中误差：第二十五页，共五十二页，2022年，8月28日Z=f（X1，X2，…Xn）

一、一般函数的中误差

第二十六页，共五十二页，2022年，8月28日

二、求观测值函数的中误差基本步骤1按问题的要求，列出具体的函数关系式2对各观测值求偏导数（或全微分）3写出函数中误差与观测值中误差的关系式4计算相应函数值的中误差。

第二十七页，共五十二页，2022年，8月28日

例5-3

有一长方形建筑物，测得其长为29.40米，宽为9.20米，测量中误差相应为±0.02米和±0.01米。求该建筑物的面积及其中误差。解：设长为x1,宽为x2，面积为S，则有

S=x1x2=29.40×9.20=270.48平方米该建筑物的面积为S=270.48±0.35平方米。

第二十八页，共五十二页，2022年，8月28日三、几种观测值典型函数的中误差1、和差函数的中误差

设有和差函数：

按函数中误差计算公式，得到当等精度观测时：

上式可写成：Z=±x1±x2±···±xn第二十九页，共五十二页，2022年，8月28日2、倍数函数的中误差

设有倍数函数：

按函数中误差计算公式，得到mz=kmx三、几种观测值典型函数的中误差Z=kx第三十页，共五十二页，2022年，8月28日3、线性函数的中误差

设有线性函数：

按函数中误差计算公式，得到三、几种观测值典型函数的中误差Z=k1x1+k2x2+···+knxn第三十一页，共五十二页，2022年，8月28日例1：量得某圆形建筑物得直径D=34.50m,其中误差,求建筑物得圆周长及其中误差。四、中误差计算解：圆周长第三十二页，共五十二页，2022年，8月28日四、中误差计算第三十三页，共五十二页，2022年，8月28日四、中误差计算例3：用长30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为5mm，求全长D及其中误差。第三十四页，共五十二页，2022年，8月28日四、中误差计算化为弧度第三十五页，共五十二页，2022年，8月28日第四节

测量平差原理为了进行检核及提高观测成果的精度，常采用重复测量。重复测量会形成多余观测，在观测值结果之间产生矛盾，也就是说要产生闭合差。因此，必须对这些带有偶然误差的观测成果进行数据处理。采用一定的估计原理处理各种测量数据求测量值和参数的最佳估值并进行精度估计的工作称为测量平差。测量平差的基本原理为最小二乘法原理。

第三十六页，共五十二页，2022年，8月28日第四节

测量平差原理在相同条件下进行的观测是等精度观测，所得到的观测值称为等精度观测值。不同观测条件下所获得的观测值称为不等精度观测值。对一个未知量的直接观测值进行平差，称为直接观测平差。等精度直接观测平差，不等精度直接观测平差。平差结果最接近真值，最或是值，最或是误差

第三十七页，共五十二页，2022年，8月28日一、算术平均值

在相同观测条件下，对某一未知量进行n次观测，其观测值分别为l1、l2、……、ln，则算术平均值是该量的最可靠的值:

第四节等精度观测的直接平差最或是误差：第三十八页，共五十二页，2022年，8月28日二、观测值的中误差v为观测值的改正值（最或是误差）按观测值的改正值计算观测值的中误差的公式第四节等精度观测的直接平差第三十九页，共五十二页，2022年，8月28日三、算术平均值的中误差：由于是等精度观测，m1=m2=···=mn=m，m为观测值的中误差，由此得到计算算术平均值的中误差（最或是值的这些中误差）第四节等精度观测的直接平差对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。第四十页，共五十二页，2022年，8月28日例6距离误差例5：对某距离用精密量距方法丈量六次，求①该距离的算术平均值；②观测值的中误差m

；③算术平均值的中误差M

；④算术平均值的相对中误差：第四十一页，共五十二页，2022年，8月28日例6：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下，

68°25′30″、68°25′36″、68°25′24″、68°25′42″、68°25′18″，求算术平均值、观测值的中误差和算术平均值的中误差。第四节等精度观测的直接平差X=68°25′30″m=±9″mx=±4″第四十二页，共五十二页，2022年，8月28日增加观测次数可以提高算术平均值的精度增加到一定程度精度不再提高，应设法提高观测值本身的精度第四十三页，共五十二页，2022年，8月28日一、权的概念

权用于非等精度观测中；权用于衡量观测值的质量，观测值的权表示该观测值在这组观测值中所占的比重。观测值的精度越高，其权越大；精度越低，其权越小。权只有相对意义，只取正值。第五节不等精度观测的直接平差第四十四页，共五十二页，2022年，8月28日2.权的表示方法

一般取一次观测、一测回、单位长度等的测量误差作为单位权中误差。权p=1的中误差称为“单位权中误差”，通常用或表示，所以权也表示为：式中c为任意正数。

权用字母p表示，并定义权

p与中误差的平方成反比：

第四十五页，共五十二页，2022年，8月28日二.加权平均值1.加权平均值的计算：对某一未知量，以不等精度观测得n个观测值：其中误差分别为：观测值的权为：上式也称为加权平均值或广义算术平均值。

则该未知量的最或是值为：计算加权平均值的实用公式：即第四十六页，共五十二页，2022年，8月28日二.加权平均值1.加权平均值中误差的计算：

单位权中误差：加权平均值中误差：第四十七页，共五十二页，2022年，8月28日例7：对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回计算该水平角的加权平均值。加权平均值的计算

组号测回数各组平均值L权

PLPL加权平均值：124020144282440201774283640