2022-2023学年四川省仁寿校南校区高二年级上册学期期末模拟（一） 数学试题

2022-2023学年四川省仁寿第一中学校南校区高二上学期期末模拟（一）数学试题一、选择题1．“椭圆的离心率为”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件2.已知点P是抛物线C：y2＝4x上一点，点F为抛物线C的焦点，点M（2，1），则△PMF的周长的最小值为（）A． B． C． D．3．在椭圆上有一点，、是椭圆的左右焦点，为直角三角形，则这样的点P有（）A.2个 B.4个 C.6个 D.8个4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．36 B．72 C．108 D．2165.用一个与圆柱母线成60°角的平面截圆柱，截面是一个椭圆，则此椭圆的离心率是（）A. B. C. D.6.四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，ABCD是边长为的正方形，若四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为54，则球O的表面积为（）A.36π B.64π C.100π D.144π7．过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于两点，且，这样的直线可以作2条，则的取值范围是（）A． B． C． D．8.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，是棱的中点，则平面与平面的交线与直线所成角的正切值为（）A. B. C. D.如右图在一个二面角的棱上有两个点，，线段,分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，,,，则这个二面角的度数为()A.30° B.60° C.90° D.120°10．已知圆和圆只有一条公切线，若且，则的最小值为（）A.2B.4C.8D.911．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．12.设、分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的值为（）A．B． C． D．二、填空题13．能够说明“方程的曲线是椭圆”为假命题的一个m的值是．14.若过点的直线l将圆的周长分为2：1两部分，则直线l的斜率为．15．如图，已知、是椭圆的左、右焦点，是椭圆短轴的一个端点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则的最大值为．16.在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为______.三、解答题17.已知：，：方程表示双曲线.（1）若是真命题，求的取值范围；（2）若是充分不必要条件，求的取值范围.18.已知两定点F1(－,0)，F2(,0)，点P是曲线E上任意一点，且满足条件．①求曲线E的轨迹方程；②若直线y＝kx﹣1与曲线E交于不同两点A，B两点，求k的范围．19．如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面内的射影恰好是的中点，且．（1）求证：平面⊥平面；（2）若二面角﹣﹣的余弦值为，求斜三棱柱的高．20.已知椭圆C：经过点A（0，1）接圆C的四个顶点得到的菱形的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，问：|OM|•|ON|是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．21.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，，平面ABCD，，E是的中点.（1）证明：平面；（2）求直线CD与平面所成角的正弦值.22.已知椭圆的左顶点是A，右焦点是，过点F且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，B为线段AP的中点，O为坐标原点，直线AP与BO的斜率之积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l为圆的切线，且l与C相交于S，T两点，求的取值范围.

高2021级高二上期末模拟试题一、选择题1．“椭圆的离心率为”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件C2.已知点P是抛物线C：y2＝4x上一点，点F为抛物线C的焦点，点M（2，1），则△PMF的周长的最小值为（D）A．3 B．1 C．+1 D．+33．在椭圆上有一点P，、是椭圆的左右焦点，为直角三角形，则这样的点P有（）A.2个 B.4个 C.6个 D.8个D4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．36 B．72 C．108 D．216解：由题意可知，几何体三棱锥，如图A﹣BCD所示，因为正方体的棱长为6，所以几何体的体积为＝36．故选：A．5.用一个与圆柱母线成60°角的平面截圆柱，截面是一个椭圆，则此椭圆的离心率是（B）A. B. C. D.6.四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，ABCD是边长为的正方形，若四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为54，则球O的表面积为（）A.36π B.64π C.100π D.144π答案：C【解析】设球心到平面的距离为h，球O的半径为r，根据题意，当P到平面距离最大，即为r+h时，四棱锥的体积最大，所以，解得，又都在球面上，设平面所在圆心为，由题意得，所以，解得，所以表面积.故选：C7．过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于两点，且，这样的直线可以作2条，则的取值范围是（D）A． B． C． D．【解析】由题意过双曲线﹣=1（b＞0）的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=6，A，B位于双曲线的左支，即当直线的斜率不存在时，丨AB丨最短，这样的直线有且仅有两条，则=b2＜|AB|=6，解得0＜b＜，故选D．8.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，是棱的中点，则平面与平面的交线与直线所成角的正切值为（）A. B. C. D.答案：A【解析】延长与直线相交于，连接，则平面与平面的交线为，而，∴为平面与平面的交线与直线所成角，∵是棱的中点，且，∴，∴，故选：A．如右图在一个二面角的棱上有两个点，，线段,分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，,,，则这个二面角的度数为()A.30° B.60° C.90° D.120°答案：B【解析】过点作且，连接，则，即为二面角的平面角，由题意，得，由余弦定理，得，则，即这个二面角的度数为；故选B.10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．答案：C【解析】如图，作于点于点B，因为与圆相切，所以，在中，，所以．又点M在双曲线上，由双曲线的定义可得：所以，整理得：，所以，所以双曲线的渐近线方程为．故选C．11．已知圆和圆只有一条公切线，若且，则的最小值为（D）A.2B.4C.8D.9【答案】D12.设、分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的值为（）A．B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，设|F1M|=m，|F2M|=n，则m+n=2a1，m﹣n=2a2，m2+n2=4c2，可得：=2c2，可得=2，，解得e2=．故选：B．二、填空题13．能够说明“方程的曲线是椭圆”为假命题的一个m的值是．【答案】中任取一值即为正确答案14.若过点的直线l将圆的周长分为2：1两部分，则直线l的斜率为．圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4的圆心（3，2），半径为2．设直线的斜率为k，则直线方程为y﹣1＝k（x﹣1），设直线与圆的交点为A，B，由题意可得△ABC是顶角为120°的等腰三角形，则几何关系可得圆心到直线的距离为×2＝1，即kx﹣y﹣k+1＝0．即：d＝＝1，整理可得：3k2﹣4k＝0，解得k＝0或k＝．15．如图，已知、是椭圆的左、右焦点，是椭圆短轴的一个端点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则的最大值为．32【解析】点F1关于∠F1PF2的外角平分线PQ的对称点M在直线F2P的延长线上，故|F2M|=|PF1|+|PF2|=2a=34，又OQ是△F2F1M的中位线，故|OQ|=17，∴点Q的轨迹是以原点为圆心，17为半径的圆，∵A是椭圆短轴的一个端点，b=15，∴|AQ|的最大值为17+15=32．故答案为：32．在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为______.【答案】三、解答题17.已知：，：方程表示双曲线.（1）若是真命题，求的取值范围；（2）若是充分不必要条件，求的取值范围.【解析】（1）由题意可得，解得或.故的取值范围为.（2）由题意可得：或.因为是的充分不必要条件，所以，解得.故的取值范围为.18.已知两定点F1(－,0)，F2(,0)，点P是曲线E上任意一点，且满足条件．①求曲线E的轨迹方程；②若直线y＝kx﹣1与曲线E交于不同两点A，B两点，求k的范围．【解析】①由双曲线的定义可知，曲线E是以，为焦点的双曲线的左支，且，a＝1，∴b＝＝1故曲线E的方程为：x2﹣y2＝1（x＜0）②设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意建立方程组消去y，得（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有解得：19．如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面内的射影恰好是的中点，且．（1）求证：平面⊥平面；（2）若二面角﹣﹣的余弦值为，求斜三棱柱的高．【解析】（1）取BC中点M，连接B1M，则B1M⊥平面ACB，∴B1M⊥AC又AC⊥BC，且B1M∩BC=M，∴AC⊥平面B1C1CB因为AC⊂平面ACC1A1，所以平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）以CA为ox轴，CB为oy轴，过点C与面ABC垂直方向为oz轴，建立空间直角坐标系CA=BC=2，设B1M=t，则A（2，0，0），B（0，2，0），M（0，1，0），B1（0，1，t），C1（0，﹣1，t）即设面AB1B法向量，∴，同理面AB1C1法向量因为二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为，∴，∴t4+29t2﹣96=0∴t2=3，所以斜三棱柱的高为．20.已知椭圆C：经过点A（0，1）接圆C的四个顶点得到的菱形的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，问：|OM|•|ON|是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．

【解析】（Ⅰ）由题意，得b2＝1，再由连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为可得，所以．所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线AP的方程为．令y＝0，得点M的横坐标．又y1＝kx1，从而，同理，．由，得（1+2k2）x2﹣2＝0，则x1+x2＝0，，所以|OM|•|ON|＝||＝||＝|＝2，即|OM|·|ON|为定值2．21.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，，平面ABCD，，E是的中点.（1）证明：平面；（2）求直线CD与平面所成角的正弦值.【解析】（1）如图所示：取中点，设为，连接，，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，从而，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，所以.所以直线与平面所成角的正弦值是.22.已知椭圆的左顶点是A，右焦点是，过点F且斜率