数学检测试卷

数学必修二检测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.在△ABC中，若A＝60°，C＝45°，c＝eq\r(3)，则a等于()\f(3\r(2),2)\f(2\r(3),3)2.设复数z＝eq\f(2i,1＋i)(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是，则该单位青年职员的人数为()0004.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|等于()\r(2)\r(5)\r(6)5.已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为()A.(3，－2) B.(3,2)C.(－3，－2) D.(－3,2)6.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为1尺2寸，盆深1尺8寸，若盆中积水深9寸，则平均降雨量是(注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸)()寸寸寸寸7.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为()\f(1,3)\f(2,3)\f(1,4)\f(2,9)8.正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角的正弦值为()\f(1,2)\f(\r(3),2)\f(\r(3),3)\f(\r(6),3)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中假命题是()A.若m⊥α，m⊥n，则n∥αB.若m∥α，α⊥β，则m⊥βC.若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nD.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n10.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是()A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”11.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是()A.|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))B.|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))C.|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))D.|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝eq\f((\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)))×(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))),|\o(AB,\s\up6(→))|2)12.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝eq\f(1,2)，则下列结论中错误的是()

⊥AF∥平面ABCDC.三棱锥A－BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为，,，若只有1人击中，则飞机被击落的概率为，若2人击中，则飞机被击落的概率为，若3人击中，则飞机一定被击落，则飞机被击落的概率为______.14.已知非零向量a，b满足|a|＝4|b|，且b⊥(a＋2b)，则a与b的夹角为________.15.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________.16.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝b，c2＝2b2(1－sinC)，则C＝________.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(－2,0).(1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角；(2)当t∈[－1,1]时，求|a－tb|的取值范围.18.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠ABC＝90°，PA＝PB＝eq\f(\r(2),2)AB，求证：(1)AD∥平面PBC；(2)平面PBC⊥平面PAD.19.(12分)在△ABC中，cos(A＋C)＝0，sinA＝eq\f(1,3).(1)求sinC的值；(2)设∠ABC的平分线与AC交于D，若AC＝3，求BD的长.20.(12分)某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚，现在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人迟到，处罚时，得到如下数据：处罚金额x(单位：元)50100150200迟到的人数y5040200若用表中数据所得频率代替概率.(1)当处罚金额定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A，B两类：A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为；B类是其他员工.现对A类与B类员工按分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类员工的概率是多少？21.(12分)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.(1)若从第3,4,5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第5组志愿者有被抽中的概率.22.(12分)如图在△AOB中，D是边OB的中点，C是OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→))；(2)过点M的直线与边OA，OB分别交于E，F.设eq\o(OE,\s\up6(→))＝peq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝qeq\o(OB,\s\up6(→))，求eq\f(1,p)＋eq\f(2,q)的值.参考答案：1.答案B解析由正弦理得，a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(3\r(2),2).2.答案A解析z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i(1－i),(1＋i)(1－i))＝eq\f(2i(1－i),2)＝1＋i，对应的点为(1,1)，在第一象限.3.答案C解析由题意知这是一个分层随机抽样问题，∵青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，∴要从该单位青年职员中抽取的人数为eq\f(10,10＋8＋7)×200＝80，∵每人被抽取的概率为，∴该单位青年职员共有eq\f(80,＝400(人).4.答案D解析∵|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b，∴a·b＝eq\f(1,2)，∵|a＋b|2＝|a－b|2＋4a·b，∴|a＋b|2＝6，∴|a＋b|＝eq\r(6).5.答案C解析设c＝(x，y)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝0，,x－2y＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－2.))故c＝(－3，－2).6.答案A解析作出圆台的轴截面如图所示，由题意知，BF＝14寸，OC＝6寸，OF＝18寸，OG＝9寸，即G是OF的中点，∴GE为梯形OCBF的中位线，∴GE＝eq\f(14＋6,2)＝10寸，即积水的上底面半径为10寸，∴盆中积水的体积为eq\f(1,3)π×(100＋36＋10×6)×9＝588π(立方寸)，又盆口的面积为142π＝196π(平方寸)，∴平均降雨量是eq\f(588π,196π)＝3(寸)，即平均降雨量是3寸.7.答案A解析甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所以可能出现的结果列表如下：甲乙锤剪子包袱锤(锤，锤)(锤，剪子)(锤，包袱)剪子(剪子，锤)(剪子，剪子)(剪子，包袱)包袱(包袱，锤)(包袱，剪子)(包袱，包袱)因为由表格可知，共有9种等可能情况.其中平局的有3种(锤，锤)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱).设事件A为“甲和乙平局”，则P(A)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).8.答案C解析如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD与B1C1平行，则直线AD与平面A1BC1所成角的正弦值即为B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值.因为△A1BC1为等边三角形，则B1在平面A1BC1上的投影即为△A1BC1的中心O，则∠B1C1O为B1C1与平面A1BC1所成角.可设正方体边长为1，显然BO＝eq\f(\r(3),3)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),3)，因此B1O＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))2)＝eq\f(\r(3),3)，则sin∠B1C1O＝eq\f(B1O,B1C1)＝eq\f(\r(3),3).9.答案ABC解析A中n可能在α内，A是假命题；B中m也可能在β内，B是假命题；m与n可能平行，C是假命题；m⊥α，α⊥β，则m⊂β或m∥β，若m⊂β，则由n⊥β得n⊥m，若m∥β，则β内有直线c∥m，而易知c⊥n，从而m⊥n，D是真命题.10.答案AB解析“至少有一个黑球”中包含“都是黑球”，A正确；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B正确；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D不正确.11.答案ABD解析eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cosA，由|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cosA＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|可得|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))，即选项A正确，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(BA,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cosB，由|eq\o(BA,\s\up6(→))|·cosB＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|可得|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，即选项B正确，由eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))||eq\o(CD,\s\up6(→))|cos(π－∠ACD)<0，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|2>0，知选项C错误，由图可知Rt△ACD∽Rt△ABC，所以AC·BC＝AB·CD，由选项A，B可得|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝eq\f((\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)))×(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))),|\o(AB,\s\up6(→))|2)，即选项D正确.12答案AD解析A.因为AC⊥BD，而BD∥B1D1，所以AC⊥B1D1，即AC⊥EF，若AC⊥AF，则AC⊥平面AEF，即可得AC⊥AE，由图分析显然不成立，故A不正确；B.因为EF∥BD，EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，故B正确；－BEF＝eq\f(1,3)×S△BEF×eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×EF×BB1×eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,12)×EF×BB1×AC，所以体积是定值，故C正确；D.设B1D1的中点是O，点A到直线EF的距离是AO，而点B到直线EF的距离是BB1，所以AO>BB1，S△AEF＝eq\f(1,2)×EF×AO，S△BEF＝eq\f(1,2)×EF×BB1，所以△AEF的面积与△BEF的面积不相等，D不正确.13.答案解析设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A，B，C，依题意，A，B，C相互独立，故所求事件概率为P＝[P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)Beq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)]×＋[P(ABeq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)BC)＋P(Aeq\x\to(B)C)]×＋P(ABC)＝××＋××＋×××＋××＋××＋×××＋××＝.14答案eq\f(2π,3)解析设a与b的夹角为θ，根据题意，可得b·(a＋2b)＝0，即|a|·|b|cosθ＋2b2＝0，代入|a|＝4|b|，得到cosθ＝－eq\f(1,2)，于是a与b的夹角为eq\f(2π,3).15．答案4解析由题意可得，x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，设x＝10＋t，y＝10－t，则2t2＝8，解得t＝±2，∴|x－y|＝2|t|＝4. 16.答案eq\f(π,4)解析∵c2＝2b2(1－sinC)，∴可得，sinC＝1－eq\f(c2,2b2)，又∵a＝b，由余弦定理可得，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝1－eq\f(c2,2b2)＝sinC，∴sinC－cosC＝0，可得eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C－\f(π,4)))＝0，∵C∈(0，π)，可得C－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，∴C－eq\f(π,4)＝0，可得C＝eq\f(π,4).17.解(1)a－b＝(1，eq\r(3))－(－2,0)＝(3，eq\r(3))，所以a－b的坐标为(3，eq\r(3)).设a－b与a之间的夹角为θ，则cosθ＝eq\f((a－b)·a,|a－b||a|)＝eq\f(3×1＋\r(3)×\r(3),\r(9＋3)×\r(1＋3))＝eq\f(\r(3),2)，而0≤θ≤π，故θ＝eq\f(π,6).(2)因为a－tb＝(1，eq\r(3))－t(－2,0)＝(1＋2t，eq\r(3))，所以|a－tb|＝eq\r((1＋2t)2＋3)＝eq\r(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋3)，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))上递减，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))上递增，所以t＝－eq\f(1,2)时，|a－tb|取最小值为eq\r(3)，t＝1时，|a－tb|取最大值为2eq\r(3)，故|a－tb|的取值范围为[eq\r(3)，2eq\r(3)]18.证明(1)∵BC∥平面PAD，而BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD.∵AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AD∥平面PBC.(2)∵PA＝PB＝eq\f(\r(2),2)AB，满足PA2＋PB2＝AB2，∴PA⊥PB.由∠ABC＝90°知BC⊥AB.又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面PAB.又∵PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA.又∵PB∩BC＝B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，∴PA⊥平面PBC.又∵PA⊂平面PAD，∴平面PBC⊥平面PAD.19．解(1)由cos(A＋C)＝0，得A＋C＝eq\f(π,2)，又由A＋B＋C＝π，所以B＝eq\f(π,2)，所以sinC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝cosA＝eq\f(2\r(2),3).(2)在Rt△ABC中，sinA＝eq\f(1,3)，AC＝3，所以BC＝AC·sinA＝3×eq\f(1,3)＝1，在△DBC中，sin∠BDC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋A))＝eq\f(\r(2),2)(sinA＋cosA)＝eq\f(4＋\r(2),6)，由正弦定理得，eq\f(BD,sinC)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，所以BD＝eq\f(BCsinC,sin∠BDC)＝eq\f(\f(2\r(2),3),\f(4＋\r(2),6))＝eq\f(8\r(2)－4,7).20.解(1)设“当罚金定为100元时，某员工迟到”为事件A，则P(A)＝eq\f(40,200)＝eq\f(1,5)，不处罚时，某员工迟到的概率为eq\f(80,200)＝eq\f(2,5).∴当罚金定为100元时，比不制定处罚，员工迟到的概率会降低eq\f(1,5).(2)由题意知，A类员工和B类员工各有40人，分别从A类员工和B类员工各抽出两人，设从A类员工抽出的两人分别为A1，A2，从B类员工抽出的两人分别为B1，B2，设“从A类与B类员工按分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M，则事件M中首先抽出A1的基本事件有(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)共6种，同理，首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6种，故事件M共有4×6＝24(种)基本事件，设“抽取4人中前两位均为B类员工”为事件N，则事件N有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)共4种基本事件，∴P(N)＝eq\f(4,24)＝eq\f(1,6)，∴抽取4人中前两位均为B类员工的概率是eq\f(1,6).21.解(1)第3组的人数为×100＝30，第4组的人数为×100＝20，第5组的人数为×100＝10，因为第3,4,5组共有60名志愿者，所以利用分层随机抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组eq\f(30,60)×6＝3；第4组eq\f(20,60)×6＝2；第5组eq\f(10,60)×6＝1.所以应从第3,4,5组中分别抽取3人，2人，1人.(2)设“第5组的志愿者有被抽中”为事件A.记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1，则